부분공간의 원소를 이용하여 Rn의 벡터를 나타내기

Rn의 부분 집합인 부분 공간 V를 가지고 있다고 가정해봅시다 그리고 또한 그것의 직교여공간인 V perp가 있다고 해봅시다 이것 또한 Rn의 부분집합일 것입니다 몇 개 전의 강의에서, 바로 전의 강의일 수도 있겠네요 제가 제대로 기억한다면 V의 차원과 또 다른 부분공간인 V의 직교여공간의 차원을 더하면 n과 같을 것이라고 했었죠 차원은 V를 위한 기저에 필요한 선형독립한 벡터의 개수입니다 여기서의 차원은 V의 직교여공간을 위한 기저에 필요한 선형독립한 벡터의 개수가 되겠죠 주어진 정보를 가지고 이 두 개의 부분공간이 어떻게 흥미롭게 연관될 수 있는지 살펴봅시다 혹은 Rn의 모든 벡터와 어떻게 연관될 수 있는지요 그래서 첫 번째 질문은, 이 두 부분공간이 가지는 공통점이 있을까요? 이 두 부분공간이 공통적으로 가지는 벡터가 존재할까요? 그 여부를 살펴보기 위해서 일단 있다고 가정해보고 그 벡터의 특징은 무엇일지 알아봅시다 부분공간 V의 원소인 임의의 벡터 x가 있다고 가정해봅시다 x가 또한 V의 직교여공간의 원소라고 가정해봅시다 이 두 번째 문장은 무엇을 의미하나요? 직교여공간의 관계는, 부분공간의 원소인 v에 대하여 x∙v가 0과 같다는 것을 의미합니다 이렇게 써볼게요 x∙v=0 여기서 v는 부분공간의 원소이다 여기서 v는 부분공간의 원소이다 이것이 V의 직교여공간의 원소라는 것의 의미입니다 x가 V의 원소라고도 가정해봅시다 이 말은 곧, x도 같은 식으로 표현될 수 있음을 의미합니다 V의 임의의 원소에 대해서요 x도 V의 임의의 원소이므로 x∙x=0 이라고 할 수 있겠죠 다른 말로는 x의 길이의 제곱이 0과 같다고 할 수 있습니다 또는 x의 길이가 0과 같다고 할 수 있겠죠 이것은 하나의 벡터에 대해서만 유효합니다 x의 다른 구성성분으로 테스트 해 볼 수도 있습니다 이것을 만족시키는 유일한 벡터는 0의 벡터입니다 그러므로 x는 0의 벡터여야합니다 즉 0의 벡터가 자기 자신과 내적해 0을 얻거나 길이의 제곱이 0인 Rn의 유일한 벡터입니다 아주 예전의 강의에서 증명했었죠 이것이 우리에게 알려주는 것은 V와 V의 여공간의 교집합에서 이 거꾸로 된 U는 교집합을 의미합니다 이 두개의 집합이 교차하는 부분은 0의 벡터를 가지는 부분공간 뿐이라는 것입니다 그러므로 Rn의 모든 원소를 이런 방법으로 그려본다면 이것이 Rn이라고 해봅시다 그리고 부분공간 V를 그려볼게요 V의 직교여공간도 그려볼게요 여기 이 벡터 전부일 거에요 이것이 V의 직교여집합이 될 것입니다 V perp라고 할 수 있죠 이것은 여기의 임의의 벡터와 내적했을 때 0을 얻게되는 모든 벡터입니다 그러므로 V perp이죠 이 둘이 교차하는 부분, 교집합의 유일한 원소는 0의 벡터입니다 유일한 교집합이죠 좋아요 어떤 부분공간이며 동시에 그것의 직교여공간인 유일한 벡터는 0의 벡터입니다 아직까지 그리 심오한 것은 없죠 부분공간과 직교여공간에 대하여 다른 흥미로운 점이 있는지 볼게요 Rn의 임의의 벡터를 살펴보는 건 어떨까요 써보겠습니다, 우리는 부분공간 V의 차원이 k라는 것을 압니다 그렇다면 이 k와 직교여공간의 차원을 더하면 n이 되어야겠죠 Rn에 대하여 다루고 있으니까요 또한 우리는 V의 직교여공간이 Rn의 부분 집합이라는 것을 압니다 바로 여기 그린 것처럼요 V의 차원은 k입니다 이렇게 쓸 수 있죠 그럼 V의 직교여공간의 차원은 어떻게 되죠? 아까 썼듯이, 둘을 더하면 n이 되어야겠죠 그러니까 n에서 k를 뺀 것이 되겠네요 이것이 k라면 말이죠 이것의 차원이 k이니까, 직교여공간의 차원이 n-k여야 둘을 더하면 n-k+k, 즉 n이 되겠죠 그러므로 이것은 n-k의 차원을 가집니다 차원은 무엇을 의미한다고 했죠? 기저를 형성하기 위한 선형독립한 벡터의 개수라고 했죠 V의 기저를 위해 k개의 벡터가 필요합니다 v1, v2, ... , vk까지의 벡터가 있겠네요 이것은 V의 기저를 이룹니다 모두 선형독립한다는 뜻이죠 그리고 그들은 V를 생성합니다 V의 임의의 원소는 이 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있습니다 다음으로, V의 직교여공간의 차원은 n-k라고 했죠 그러니까 n-k개의 벡터가 있겠네요 w1, w2로 시작해 w(n-k)까지의 벡터가 있다고 합시다 n-k개의 벡터가 있는 것이죠 이들은 V의 직교여공간의 기저를 위한 집합입니다 그래서 여기 임의의 벡터는 이들의 선형결합으로 표현될 수 있습니다 그리고 이들은 모두 선형독립합니다 그러니까 중복되는 벡터는 없는 것이죠 자 이제 더 알아봅시다 어떤 결론에 도달하고 싶은지 먼저 말해줄게요 이 두개의 집합을 합치면 Rn 전체를 위한 기저를 얻을 수 있는지 살펴볼거에요 이것이 우리가 확인할 부분입니다 임의의 상수를 이용하여 다음과 같이 써봅시다 c1v1+c2v2+ ... + ckvk+ 여기서는 상수를 d로 쓰도록 하죠 c1v1+c2v2+ ... + ckvk+d1w1+ c1v1+c2v2+ ... + ckvk+ d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k) 이렇게 쓸 수 있겠죠 몇 개의 계수들을 0의 벡터로 가정하므로써 이 합을 0이라 할 수 있는지 살펴봅시다 계수들은 c와 d들이죠 우리는 이를 만족하는, 적어도 한 개의 집합이 있다는 것을 압니다 우리는 이 상수들, c1, c2, ck, d1, d2, d(n-k)까지 모두 곱할 수 있습니다 이들은 모두 0이 될 수 있겠죠 한 개보다 많은 해가 있을 수도 있어요 사실, 유일한 해가 이 상수들이 모두 0일 때라면 이 벡터들이 서로에 대해 모두 선형독립하다는 것을 알 수 있습니다 그리고 서로에 대해 모두 선형독립하다면 Rn의 기저가 될 수 있음을 압니다 하지만 아직 우리는 모르죠 이 상수들이 모두 0인 것이 유일한 해인지는 아직 모릅니다 우리가 이것으로 약간의 실험을 할 수 있는지 봅시다 방금 쓴 이 식에서 모든 상수, c와 d가 0인 것이 한 개의 해인 것은 알지만 유일한 해인지는 모른다고 했습니다 이 식의 양쪽에서 모든 w 벡터를 빼봅시다 그럼 어떻게 되죠? c1v1+c2v2+ ... c1v1+c2v2+ ... + ckvk 식의 양쪽에서 빼니까 왼쪽의 나머지 부분은 0이 되겠죠 굳이 쓸 필요는 없지만 이해하기 편하도록 쓸게요 이 부분을 양쪽에서 뺀 것이므로 오른쪽은 다음과 같을 것입니다 0-(d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) 이렇게요 식의 양쪽에서 이 항들을 단순히 뺀 것입니다 중복되니까 여기 0을 쓸 필요도 사실 없습니다 어쨌든 방금 구한 것은 V의 기저벡터의 임의의 결합이라고 할 수 있겠네요 그러니까 이것은 V의 기저벡터의 임의의 선형결합입니다 이것을 벡터 x라고 부를게요 c1v1+c2v2+ ... +ckvk 이 부분을 x라고 해봅시다 이것이 V의 기저벡터의 선형결합이므로 x는 V의 원소입니다 정의에 의해, 부분공간을 위한 어떤 기저벡터의 선형결합은 그 부분공간의 원소입니다 같은 방법으로 하면, 이 식의 우측 항은 어떻게 되죠? 이 식의 우측 항에는 V의 여집합을 위한 기저벡터의 임의의 선형결합이 있습니다 여기 항 전부에 마이너스 사인을 붙일 수는 있지만, 그렇다고 해서 이것이 V의 여집합을 위한 기저벡터의 선형결합이라는 사실은 변하지 않습니다 그러니까 여기의 이 벡터는 이 또한 x라고 할 수 있겠죠 그러니까 x는 이것과도 같고 이것과도 같겠죠, 그리고 V의 직교여공간의 기저 벡터, 혹은 V perp의 기저벡터의 선형결합으로 표현될 수 있으므로 V perp의 원소여야할 것입니다 헷갈릴 수 있으니 복습해볼게요 헷갈릴 수 있으니 복습해볼게요 이런 식을 세워보았습니다 우리는 모든 상수가 0인, 적어도 하나의 해가 존재한다는 것을 압니다 이건 누구나 할 수 있죠 그리고 이 노란색 항들을 양쪽 항에서 뺀 후, 이런 등식을 얻었어요 좌측 항은 V의 기저벡터의 선형결합입니다 V의 기저벡터의 임의의 선형결합은 V의 원소이죠 이것이 기저벡터의 정의입니다 그러니까 이 좌측 항과 동일한 x를 가정한다면 그 x는 V의 원소가 되겠네요 x가 좌측 항과 같다면, 등식이니까 우측 항과도 같겠죠 우측 항은 V perp, 그러니까 V의 직교여공간의 기저벡터의 임의의 선형결합입니다 x는 또한 V perp의 원소라는 것을 알려주죠 이게 무슨 뜻이죠? x가 0과 같아야한다는 것을 의미합니다 강의의 시작부분에서 부분공간의 원소이며 그 여집합의 원소인 유일한 벡터는 0의 벡터라고 했습니다 그러니까 이들이 직교여공간의 관계에 있기 때문에 x가 0이어야한다는 것을 우리는 압니다 그러니까 반복하자면, 0이 이 식의 양쪽을 모두 만족해야 합니다 그리고 이들은 같은 상수들입니다 그리고 이들은 같은 상수들입니다 이 두 집합에 대해 무엇을 알고 있죠? 0의 벡터가 이것과 같아야한다는 것을 알고 있습니다 0의 벡터는 V의 원소이며 동시에 V의 직교여공간의 원소인 Rn의 유일한 벡터입니다 자, 이것은 0의 벡터이고 이와 동일한 V의 선형결합이 있어요 여기 상수에 대해 무엇을 알고 있죠? 그러니까 c1, c2, ... , ck는 어떤 값을 가져야 하나요? 우리는v1에서 vk에 이르는 벡터가 V를 위한 기저라는 것을 알고 있어요 이것은 그들이 V를 생성하며 선형독립한다는 것을 의미하죠 정의에 의해, 선형독립은 이 식의 유일한 해가 모든 상수가 0일 때 라는 것을 의미합니다 그러니까 선형독립이라는 것은 c1, c2, ... , ck가 모두 0이어야 한다는 것을 알려주죠 여기 이 상수가 모두 0입니다 이 상수도 마찬가지죠 모두 0이어야 합니다 자 이제 이 식의 우측 항을 살펴봅시다 마이너스 기호를 붙여도 똑같은 것이 성립하죠 V perp의 기저벡터의 선형결합은 0과 같습니다 이것의 유일한 해는 이 식이 0일 때이므로, 여기 각각의 w1, w2, w(n-k)들이 모두 선형독립하기 때문에 상수들이 모두 0이어야 합니다 그렇게 되면 선형독립이 아니게 되죠 여기 마이너스 기호가 혼란스럽다면 도움이 될 지 모르겠지만 이 기호를 밖으로 빼내어 -d1이 0과 같고 -d2이 0과 같으며, -d, -k 각각이 0과 같다고 생각해보세요 아무튼 동일한 개념이긴 합니다 선형독립은 기저집합이라는 사실을 벗어나게 하며, 이것의 유일한 해는 이 식이 0일 때, 즉 각각의 상수가 0일 때임을 시사합니다 그 말은 곧 d1, d2, ... , d(n-k)까지 각각이 0이어야한다는 것이죠 위에 써 놓은 걸로 돌아가봅시다 이것이 우리가 실험적으로 다루어보려 했던 원래의 식입니다 이 식을 약간 조작함으로써 V와 V perp의 유일한 교집합이 0의 벡터임을 이해했습니다 그리고 이 벡터들이 0이 되는 유일한 해가 각각의 상수가 0일 때 존재하는 경우 선형독립을 가진다는 것입니다 그 때 이 모든 항들, c1에서 ck까지 d1에서 d(n-k)까지 이르는 모든 항이 0이라는 것을 알 수 있습니다 이것이 여기 위에 쓴 식의 유일한 해입니다 이 거대한 식의 유일한 해는 각각의 상수가 0일 때입니다 이것이 의미하는 바는 v1, v2, ... , vk에 이르는 집합에 w1, w2, ... , wn을 포함하는 V perp의 기저벡터를 더하게 되면 그것이 바로 선형독립한 집합이 된다는 것입니다 또한 이는, 이 식의 유일한 해가 각각의 상수가 0일 때 존재함을 알기에 알 수 있습니다 이것이 선형독립의 의미입니다 이것이 이를 시사하죠 선형독립이 이것을 의미합니다 우리는 c1에서 ck가 모두 0이라는 것을 얻기 위해서 선형독립이 이들 모두가 0임을 의미한다는 점을 이용했습니다 또한 이것이 0의 벡터와 같다는 것을 알아낼 때도 이용했습니다 여기 모든 d가 0과 같아야한다는 것을 우리는 알고 있었죠 기억할지 모르겠지만, 0의 벡터는 이것이 두 집합 모두의 원소인 유일한 벡터였죠 반복적으로 얘기하고 있는 것은 알지만 이것이 순환 논리의 증명이 아니라는 것을 이해했으면 합니다 우리는 이 식을 세웠고 해가 무엇인지 알아내기 위해 다른 방식으로 썼고 등식의 양쪽이 각각 V와 V perp를 나타낸다고 했습니다 양쪽 모두의 원소인 유일한 벡터는 0의 벡터입니다 그래서 이 식의 양쪽은 모두 0이어야 합니다 이 경우 유일한 해는 여기 모든 상수가 0인 것인데, 이는 이들 각각이 선형독립하는 집합이기 때문이죠 그러므로 이 항들이 모두 0이어야 합니다 그리고 기저벡터를 모두 합친 이 증가된 집합은 선형독립합니다 아주 오래 전 강의에서 n차원의 부분공간이 존재할 때 그 부분공간에 속하는 n개의 선형독립하는 벡터가 있으며 이 n개의 벡터 혹은 n개의 벡터의 집합은 부분공간의 기저가 된다고 배웠습니다 Rn은 부분공간 자체이죠 Rn은 n차원의 부분공간입니다 Rn의 차원이 n과 같다고 할 수 있죠 Rn에 n개의 선형독립하는 벡터가 있습니다 그 말은 곧 이들이 Rn의 기저가 된다는 것입니다 n개의 선형독립하는 벡터들이 있죠 V perp에는 n-k의 벡터가 있구요 V 혹은 그 부분공간의 기저로부터 오는 n개의 백터가 있습니다 그래서 총 n개의 벡터가 있는 것이죠 이들은 선형독립하며 모두 Rn의 원소입니다 그래서 Rn의 기저를 이룹니다 즉, 놀랍게도 Rn의 임의의 벡터는 이들의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것이죠 그러므로 이것은 Rn의 기저입니다 그러니까 임의의 벡터가 a가 Rn의 원소인 임의의 벡터라고 해보죠 이것이 Rn의 기저이므로 a도 이들의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것입니다 그러니까 c1v1+c2v2+ ... + ckvk 와 같이 쓸 수 있습니다 이번 강의의 앞 부분에서 쓴 식과 다르다는 것을 확실히 하기 위해서 다른 알파벳을 사용하도록 할게요 그러니까 이렇게 쓰고 다음의 항들을 더해서 쓸 수 있습니다 예를 들면 e1에 V perp 기저벡터인 w1를 곱하여 더하고 e2에 이를 곱하여 더하고, 같은 방법으로 e(n-k)에 V perp의 기저벡터 n-k를 곱하여 더할 수 있죠 Rn의 어떤 임의의 벡터라도 이런 식으로 표현할 수 있습니다 다른 방법도 있어요 이것은 무엇이죠? 부분공간 V의 원소인 어떤 벡터이죠 그렇다면 이것은 V의 직교여공간의 원소인 임의의 벡터입니다 V perp의 기저벡터의 하나의 선형결합인 것이죠 이것은 V의 기저벡터의 선형결합입니다 Rn의 기저가 되는 이 모든 것들이 주어짐에 따라 Rn의 임의의 원소는 이들의 선형결합으로 표현될 수 있습니다 이 말은 Rn의 임의의 원소를 부분공간 V의 원소와 V perp의 원소의 합으로 표현할 수 있다는 것을 의미하기도 합니다 이것은 V의 원소이고 이것은 V perp의 원소입니다 이것은 정말 흥미로운 개념입니다 부분공간이 주어지면 그 직교여공간을 구할 수 있죠 Rn의 다른 벡터는 부분공간의 벡터와 그 직교여공간의 벡터의 결합이나 합으로 표현할 수 있습니다 다음 질문으로 이 표현이 고유한 것인지 물을 수 있겠네요 그래서 이것은 고유한 표현인가요? 고유하지 않다고 가정하고 테스트 해봅시다 그렇다면 Rn의 원소인 임의의 벡터 a를 표현하는 데 두 가지 방법이 있다고 볼 수 있겠죠 부분공간 V의 임의의 원소와 V의 직교여공간의 임의의 원소의 합과 같다고 나타낼 수 있습니다 이렇게요 혹은 부분공간 V의 임의의 원소와 직교여공간의 또 다른 임의의 원소의 합으로 나타낼 수도 있습니다 그러니까 x1와 x2는 V perp의 원소입니다 v1와 v2는 V의 원소이구요 고유한 표현이 아니라고 가정할 때 두 가지 방법이 있다고 했죠 이렇게 두 가지 벡터로 나타낼 수 있는 것입니다 분명하게도 식의 이쪽 항은 이것과 같습니다 이것은 둘 다 a를 표현한 것입니다 이것을 조금 재조정하여 써볼게요 v2를 양쪽 항에서 빼면 좌측 항은 v1-v2가 되고 x1를 역시 양쪽 항에서 빼면 우측 항을 x2-x1로 정리할 수 있습니다 이들은 모두 부분공간 V의 원소입니다 그리고 덧셈이나 뺄셈 후에도 닫혀있는 부분공간은, 이 경우에는 덧셈이겠죠 벡터 v1은, 이렇게 써봅시다 서로의 동일한 이들과 역시 동일한 벡터합을 z라 합시다 벡터합을 z라 합시다 z는 v1-v2의 벡터입니다 덧셈 후에도 닫혀있는 부분공간에서 두 개의 벡터와 그 차이를 찾는다면, 그 차도 또한 부분공간에 속합니다 z는 부분공간의 원소가 될 것입니다 우리가 벡터 z와 같다고 한 여기 이 벡터는 V perp의 원소가 될 것입니다 V perp의 원소가 될 것입니다 왜 그렇죠? 왜냐하면 x1와 x2 둘 다 부분공간 V의 직교여공간의 원소이기 때문이죠 이것 역시 부분공간입니다 그러므로 덧셈과 뺄셈 후에도 닫혀있죠 그러므로 이것도 부분공간의 원소가 됩니다 또한 우리는 z가 V perp, 혹은 V의 직교여공간의 원소라고 할 수 있죠 이미 여러 번 했습니다 이 강의에서 제일 처음으로 했던 거였죠 부분공간의 원소이며 그 직교여공간의 원소인 유일한 벡터는 0의 벡터입니다 따라서 z는 0의 벡터여야겠죠 그래서 이것은 0의 벡터입니다 이 둘이 모두 0의 벡터라면 v1-v2가 0의 벡터이므로 v1와 v2는 같겠죠 그리고 x2-x1 또한 0의 벡터와 같다는 것을 알고 있습니다 x2는 x1와 동일한 것이죠 Rn에 속하는 임의의 벡터를 표현하는 방법에는 두 가지가 있다고 증명하려 했습니다 여기 써놨었죠 하지만 v1가 v2와 같고 x1이 x2와 같다는 것을 발견했네요 그러므로 Rn의 원소를 부분공간 V의 벡터와 V의 직교여공간의 벡터의 합으로 나타내는 데에는 한 가지의 고유한 방법만이 존재하는 것입니다