직교보공간의 직교보공간

V라는 Rn의 부분공간이 있다고 해볼게요 이렇게 그리도록 하죠 저것이 Rn입니다 그리고 여기 V라고 부르는 Rn의 부분공간이 있어요 저게 부분공간 V 입니다 V의 직교보공간이 Rn의 모든 원소의 집합과 같다는 것을 알죠 따라서 x는 Rn의 원소입니다 부분공간 V의 모든 원소 v에 대해서 x·v = 0입니다 따라서 부분공간에 있는 직교보공간은 이 모든 벡터에 대해 직교인 모든 벡터가 됩니다 이전에 두 집합이 유일하게 겹치는 부분을 본 적이 있죠 동시에 양쪽 집합의 원소인 벡터는 오직 하나입니다 그것은 바로 영벡터입니다 바로 저기에 있죠 이제 직교보공간을 취해보죠 이 분홍색을 집합이라고 합시다 그럼 이것이 직교보공간이 됩니다 좋아요 이제, 직교보공간의 직교보공간을 구하려면 무엇을 해야 할까요? 자, 이 분홍색이 직교보공간입니다 이 분홍색의 직교보공간을 구하고 싶어요 따라서 이게 모든 x의 원소가 될 것입니다 이렇게 쓰도록 하죠 x·w = 0을 만족하는 Rn의 모든 원소 x가 있습니다 x·w = 0을 만족하는 Rn의 모든 원소 x가 있습니다 V의 직교보공간의 원소인 모든 w에 대해서 말이죠 V의 직교보공간의 원소인 모든 w에 대해서 말이죠 이것이 말하고자 하는 바입니다 따라서 이것은 여기 모든 것에 대해 직교하는 Rn의 모든 벡터를 말합니다 명백하게, V에 있는 모든 것들은 저것의 원소가 될 거에요 왜냐하면 이것들은 이들 모두에 수직이기 때문이죠 왜냐하면 이것들은 이들 모두에 수직이기 때문이죠 그러나 이것은 아마 직교보공간의 직교보공간의 부분집합일 것입니다 그래서 아마도 이 파란색은 이렇게 보일거에요 V보다 약간 더 넓을 것 같네요 아마도 파란색으로 빗금친 부분은 V의 직교보공간에 수직이지만 V 밖에 있는 일부 벡터가 있을 것 같습니다 그 사실은 아직 모르죠 이 공간이 존재할지는 아직 모릅니다 혹은 V로 다시 돌아오게끔 하는 직교보공간의 직교보공간일 수도 있죠 직교보공간의 직교보공간일 수도 있죠 마치 기존의 부분공간으로 돌아가는 전치행렬이나 역함수처럼 말이죠 더 자세히 살펴봅시다 더 자세히 살펴봅시다 직교보공간의 직교보공간의 일부 원소를 가지고 있다고 합시다 그리고 직교보공간의 직교보공간의 원소인 벡터 x가 있다고 합시다 저번 강의에서 보았듯이 Rn의 어떤 벡터든 부분공간과 부분공간의 여공간에 있는 몇몇 벡터의 합으로 나타낼 수 있습니다 따라서 x를 두 벡터의 합으로 나타낼 수 있습니다 따라서 x를 두 벡터의 합으로 나타낼 수 있습니다 V에서의 한 벡터와 V의 직교보집합에서의 한 벡터의 합으로 말이죠 그러므로 V의 한 벡터를 v라 하고 V의 직교보공간에 있는 한 벡터를 w로 부르도록 합시다 이런 식으로 쓰도록 할게요 벡터 v는 부분공간 V의 원소이고 벡터 w는 V의 직교보공간의 원소입니다 맞죠? 따라서 이것은 어떤 집합에 대한 원소입니다 이 집합의 원소일 수도 있고 이 집합의 원소일 수도 있어요 그것은 직교보공간의 직교보공간의 원소입니다 V가 부분집합이 되는 여기 있는 모든 공간이죠 하지만 V와 이 공간이 같다는 보장은 없습니다 하지만 V와 이 공간이 같다는 보장은 없습니다 하지만 직교보공간의 직교보공간에 있는 어떤 것이든 Rn의 원소가 될 것입니다 Rn의 원소가 될 것입니다 그리고 Rn의 어떤 벡터든 V의 한 벡터와 V의 직교보공간의 한 벡터의 합으로 나타낼 수 있습니다 따라서 여기 쓴 것이 다입니다 그렇다면 x와 w를 내적하면 어떻게 될까요? 무엇과 같을까요? 이건 직교보공간의 직교보공간이에요 이건 직교보공간의 직교보공간이에요 여기에 있는 임의의 벡터와 직교보공간에 있는 임의의 벡터 즉, 이 벡터를 내적해 봅시다 그렇죠? 정의에 의해 0이 나올 것입니다 이들은 모든 벡터입니다 이 인수는 명백히 V의 직교보공간에 수직입니다 그렇지 않나요? V의 직교보공간의 직교보공간에 있는 어떤 벡터든 V의 직교보공간에 있는 어떤 벡터든 서로 수직입니다 따라서 이 값은 0이 되는 것이죠 하지만 x와 w의 내적을 다르게 쓰는 방법은 뭐죠? 이렇게 쓸 수 있어요 (v+w)·w와 같죠 즉 v·w + w·w와 같습니다 그렇다면, v·w는 뭐죠? v는 기존 부분공간의 원소입니다 그리고 만약 기존 부분공간의 임의의 벡터와 그 직교보공간의 임의의 벡터를 내적하면 0이 나올 것입니다 그래서 여기 이 항은 0이 될겁니다 그리고 곧 이 항이 벡터 w의 제곱의 절댓값과 같다는 것을 알게 됩니다 이제, 이 값은 0이 되어야만 하죠 기억하세요 단지 x·w 라고 썼습니다 x는 직교보공간의 직교보공간의 원소입니다 x는 직교보공간의 직교보공간의 원소입니다 따라서 직교보공간의 어떤 벡터와 내적해도 0이 나올 것입니다 하지만 다른 방식으로, 만약 v+w로 쓰고 w를 전개한다면 이 값이 w 절대값의 제곱과 같습니다 이 값이 w 절대값의 제곱과 같습니다 그래서 w 절대값의 제곱은 0이 되어야 합니다 w 절대값의 제곱 혹은 길이의 제곱은 0이 되어야만 하죠 즉, w가 영벡터라는 뜻입니다 이것이 그 벡터의 길이에 제곱을 할 때 0이 나오는 Rn의 유일한 인수입니다 그러나 그냥 그 길이를 구할 수도 있습니다 그럼 이것이 무슨 말일까요? 저건 기존의 벡터 x가 v+w와 같다는 걸 의미해요 w는 0이죠 따라서 벡터 x가 v와 같다는 것을 말합니다 따라서 벡터 x가 v와 같다는 것을 말합니다 그리고 v는 부분공간 V의 원소입니다 맞죠? 따라서 x가 부분공간 V의 원소라는 말이 됩니다 만약 어떤 벡터가 직교보공간의 직교보공간의 원소라면 만약 어떤 벡터가 직교보공간의 직교보공간의 원소라면 이 동일한 벡터는 기존 부분공간의 원소가 되어야 합니다 이 동일한 벡터는 기존 부분공간의 원소가 되어야 합니다 그러므로 직교보공간의 직교보공간에는 있지만 기존의 부분공간에는 없는 그런 원소는 존 ㅡ ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ 재하지 않습니다 여기 모든 것은 이곳 안에 있어야 하죠 즉, 저런 파란 공간은 없어요 만약 이런 방식으로 생각한다면 저것들 모두가 기존의 부분공간입니다 만약 이런 방식으로 생각한다면 저것들 모두가 기존의 부분공간입니다 강의 초반에 부분공간의 어떤 원소든 직교보공간의 원소가 된다고 했었습니다 직교보공간의 원소가 된다고 했었습니다 한 번 생각해 볼 수 있죠 조금 더 엄밀하게 따져보기 위해 동일한 논리를 사용해보죠 현재로써는 만약 직교보공간의 직교보공간의 어떤 벡터가 있다면 그것은 기존의 부분공간이 된다고 할 수 있습니다 그것은 기존의 부분공간이 된다고 할 수 있습니다 다른 방식으로 생각해보죠 이와 같이 기존의 부분공간에 어떤 벡터가 있다고 합시다 이와 같이 기존의 부분공간에 어떤 벡터가 있다고 합시다 여기에 다른 그래프를 그릴게요 상당히 유용하거든요 Rn 공간을 다시 그려보죠 이렇게요 이제 직교보공간이 있습니다 이걸 먼저 그리도록 할게요 그러면 이게 V의 직교보공간이고 직교보공간의 직교보공간은 여기 이 집합입니다 맞죠? 이것이 V의 직교보공간입니다 아직 부분공간 V를 그리지 않았어요 보여준 모든 것은 V의 직교보공간이라고 부른 어떤 부분공간이 여기 있다는 것입니다 그리고 저 부분공간의 직교보공간이 있습니다 이 말은 Rn의 어떤 벡터든 여기 있는 한 벡터와 여기 있는 한 벡터의 합으로 나타낼 수 있다는 것이죠 보라색으로 하죠 벡터 w를 이렇게 써보겠습니다 벡터 v는 벡터 w와 벡터 x의 합으로 나타낼 수 있어요 w는 V의 직교보공간에 있고 x는 그것의 직교보공간의 원소입니다 x는 그것의 직교보공간의 원소입니다 말하고자 하는 바는 이 집합을 S로 부를 수 있다라는 것을 알아두세요 그러면 이것은 S와 그것의 직교보공간이 되겠죠 그러면 이것은 S와 그것의 직교보공간이 되겠죠 Rn의 어떤 것이든 부분공간의 어떤 벡터와 부분공간의 직교보공간의 어떤 벡터의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 배웠습니다 그래서 v가 이것과 어느 정도 연관이 있다는 것은 중요하지 않아요 그것은 여기 있는 이 벡터와 저기 있는 저 벡터의 합으로 나타낼 수 있어요 좋습니다 이제 v와 w를 내적하면 어떻게 될까요? 전에 했던 것과 완전히 동일한 논리를 펼치고 있어요 만약, 기존의 부분공간의 원소를 그것의 직교보공간의 임의의 원소와 내적한다면 0이 됩니다 다른 것들은 어떻게 될까요? 만약 이런 식으로 v를 쓴다면 v와 w의 내적은 이것과 w의 내적과 같을 거에요 따라서 (w+x)·w이 됩니다 따라서 (w+x)·w이 됩니다 그러면 x·w는 무엇일까요? x는 이 직교보공간의 직교보공간에 있습니다 그리고 w는 직교보공간에 있고요 만약 내적을 취한다면 0을 얻을 것이에요 그들은 서로 수직이죠 따라서 이것은 w·w 또는 w 길이의 제곱과 같게 되죠 그리고 이것이 0이 되어야 하기 때문에 여기 동일한 것들이 많이 있다는 것은 벡터 w가 0이 되어야 함을 의미합니다 따라서 v = w + x 입니다 그러나 w = 0 이라면 v = x 입니다 그러므로 v가 부분공간 V의 원소라면 v는 직교보공간의 직교보공간의 원소임을 방금 보았습니다 맞죠? v는 x와 같습니다 x는 직교보공간의 직교보공간의 원소입니다 자, 두 방법으로 모두 증명하였습니다 이곳에 적어놓은 기존의 명제를 보면 다음과 같습니다 직교보공간의 직교보공간의 원소라면 기존 부분공간의 원소입니다 기존 부분공간의 원소입니다 이것을 증명했습니다 또 강의 초반부에서 x가 직교보공간의 직교보공간의 원소라면 x는 기존의 부분공간의 원소임을 증명하였죠 그래서 이 둘은 서로 같습니다 부분공간의 어떠한 것도 V의 직교보공간의 직교보공간의 원소입니다 V의 직교보공간의 직교보공간의 어떤 원소도 부분공간의 원소가 됩니다 따라서 V의 직교보공간의 직교보공간에 있는 부분공간은 같은 집합이에요 그리고 물론 그것은 겹치죠 이건 이거랑 같아요 이것은 물론 V의 직교보공간과 겹치고 영벡터에서만 직교보공간이 됩니다