주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:13:14

동영상 대본

저번 동영상에서 정규직교기저를 생성하는 과정을 다루었습니다 그람-슈미트 과정이라고 합니다 이제 실제 예시에 적용해 보려 합니다 저번 동영상에서 본 내용보다 훨씬 구체적이라고 느끼게 되면 좋겠습니다 평면 x1+x2+x3=0이 있다고 합시다 이는 R3에 있는 평면입니다 그래서 부분공간 V가 이러한 평면에 의해 정의되었다고 합시다 평면 x1+x2+x3=0인 평면입니다 부분공간에 있는 모든 벡터들은 성분의 합이 0입니다 우선 v의 기저가 필요합니다 이를 만들 수 있는지 보겠습니다 방정식의 양변에서 x2와 x3를 빼면 x1=-x2-x3이 됩니다 부분공간 V가 R3의 모든 벡터들, x1, x2, x3 중에서 방정식을 만족시키는 벡터들의 집합과 같다고 할 수도 있습니다 x2가 c1과 같고, x3가 c2와 같다고 합시다 그러면 이 방정식은 x1=-c1-c2가 됩니다 이렇게 나타내면 부분공간 V가 R3의 모든 벡터들 중에서 c1 곱하기 어떤 벡터 이렇게 적어 보겠습니다 더하기 c2 곱하기 또 다른 어떤 벡터 c1과 c2는 어떤 실수입니다 실수 조건을 만족합니다 x1은 무엇인가요? x1은 -c1-c2입니다 따라서 x1은 -1 곱하기 c1, -1 곱하기 c2입니다 x2는 c1이고요 그래서 x2는 1 곱하기 c1 더하기 0 곱하기 c2가 됩니다 x3는 c2이기 때문에 0 곱하기 c1 더하기 1 곱하기 c2입니다 그래서 V는 이 두 벡터의 생성입니다 이 두 벡터의 일차결합입니다 이러한 평면을 나타낼 것입니다 이렇게 적어 보겠습니다 V는 벡터 -1, 0, 0과 벡터 -1, 0, 1의 생성입니다 그리고 이들 두 벡터가 서로 선형독립이라는 것을 알 수 있습니다 여기의 1을 저쪽에 줄 수 있는 일차결합이 없으며 이쪽의 1을 저쪽에 줄 수 있는 일차결합도 없습니다 그래서 V는 이와 같습니다 그러나 이 동영상에서는 V의 정규직교기저를 찾고자 합니다 이들은 그냥 기저일 뿐입니다 이들은 V의 기저일 뿐입니다 정규직교기저를 찾아보겠습니다 이 벡터를 v1이라 하고 이 벡터는 v2라 하겠습니다 v1의 생성에 대한 정규직교기저를 찾으려 한다면 한번 적어 보겠습니다 어떤 부분공간 V1을 벡터 v1에 의해 생성되는 부분공간으로 정의하겠습니다 저번 동영상에서 보았듯이 v1을 그 자신의 길이로 나누면 벡터의 생성이 단위벡터가 되며 부분공간 V1과 같아집니다 R3의 직선이 됩니다 한번 해 보겠습니다 v1의 길이는 얼마인가요? v1의 길이는 √((-1)²+1²+0²)이므로 √2가 됩니다 어떤 벡터 u1을 1을 v1의 길이로 나눈 것 즉 1/√2 곱하기 v1인 -1, 1, 0으로 정의합시다 그렇다면 v1의 생성은 u1의 생성과 같습니다 그래서 이는 정규직교기저가 됩니다 여기 이 벡터는 v1의 생성에 대한 정규직교기저가 됩니다 그러나 여기서는 v1의 생성을 찾는 것이 아니라 v1과 v2의 생성을 찾고자 합니다 한번 그려 봅시다 아직까지는 하나의 기저 u1만이 있습니다 실제로 어떻게 생겼는지는 나타내지 않겠습니다 어쩌면 이렇게 생겼고 R3 내의 직선 전체를 생성합니다 Rn 내에서 하나의 벡터의 생성은 그 벡터 자신의 모든 스칼라곱 내지는 Rn 내의 어떤 직선이 됩니다 그래서 여기 이 직선은 부분공간 V1입니다 이제 여기에 v2가 있습니다 이것과 서로 선형독립인데 이것과도 선형독립이라는 뜻입니다 이 벡터는 이 벡터를 상수 배한 것일 뿐이기 때문입니다 그래서 v2는 이런 식으로 생겼습니다 v2입니다 이 벡터는 u1이었고요 부분공간 V를 찾으려 하고 있습니다 이제부터는 V2라고 하겠습니다 V2는 v1과 v2의 생성인데 이는 v1에 의해 생성되는 것들은 모두 u1에 의해서도 생성되기 때문에 u1과 v2의 생성과도 같습니다 u1과 v2의 일차결합에 의해 생성되는 모든 것들을 구하고자 합니다 그리고 여기 이 V가 구하고자 하는 부분공간입니다 이들 둘의 생성이 이 문제에서 이야기하는 전체 부분공간이 됩니다 이는 V입니다 이 생성을 정규직교로 나타내기만 하면 됩니다 어떻게 할 수 있을까요? u1의 일차결합에 의해 생성되는 모든 것에 대해 직교하는 벡터를 구하게 되면 u1의 일차결합에 그러한 벡터를 더하면 v2를 얻게 됩니다 v2를 그러한 벡터로 치환할 수 있습니다 이러한 벡터를 y2라고 합시다 y2를 찾을 수 있다면 y2는 이 직선의 모든 것과 수직하며 이 직선 v1내에서 어떤 벡터를 취하여 y2에 더해 v2를 얻을 수 있습니다 이들의 결합은 v2와 같습니다 그래서 이는 u1과 y2의 생성과 같습니다 그렇다면 y2는 무엇과 같은가요? 저번 동영상에서 보았듯이 이 벡터는 v2의 투영입니다 v2를 부분공간 V1 위에 투영한 벡터입니다 이를 어떻게 알아낼 수 있고 y2는 어떤 값이 될까요? y2는 v2에서 이 벡터를 뺀 벡터입니다 그래서 y2는 v2에서 v2의 투영을 뺀 값과 같습니다 실제 숫자로 나타낸다면 어떻게 될까요? 어떻게 되느냐 하면, 여기 이 벡터가 v2입니다 -1, 0, 1입니다 v2입니다 v2에서 v1에 투영한 v2를 빼야 합니다 벡터 v2를 부분공간 V1에 투영하는 것은 v2, -1, 0, 1을 v1의 정규직교기저와 내적하는 것입니다 v1의 정규직교기저는 u1입니다 그리고 여기서 u1을 구했습니다 그래서 1/√2를 곱하고 노란색으로 적도록 하겠습니다 u1임을 볼 수 있게요 그래서 u1과 내적하는 것은 1/√2 곱하기 -1, 1, 0이고 더 간단하게 하기 위해 1/√2는 밖으로 빼 두겠습니다 그리고 이 값을 무엇으로 나누냐 하면 나누지 않습니다 왜냐하면 투영을 할 때에는 정규직교기저의 내적으로 나누어야 하지만 길이가 1이기 때문에 나누지 않아도 됩니다 언젠가 다룬 내용입니다 한번 적어 보도록 하겠습니다 그냥 이 내용을 밑으로 옮기겠습니다 옮길 수 있는지 보겠습니다 이 값과 같습니다. 맞나요? 숫자를 명확하게 해 보겠습니다 이 값은 v2에서 부분공간 v1 위로의 v2의 사영을 뺀 값입니다 그래서 v2를 v1의 정규직교기저와 내적한 값이 됩니다 정규직교기저의 첫 번째 벡터 v1입니다 벡터가 하나만 있기 때문에 하나의 항을 적습니다 그러고 이 전체에 v1의 정규직교기저를 곱합니다 그래서 1/√2 곱하기 벡터 -1, 1, 0입니다 근사하게 보입니다 여기 오른쪽 값은 부분공간 V1의 정규직교기저입니다 간단하게 하면 어떻게 될까요? 그래서 이 값은 여기 이 부분은 v2를 v1에 사영한 것입니다 이 부분이 뜻하는 것입니다 그래서 벡터 -1, 0, 1에서 1/√2를 앞에 빼 두겠습니다 이 둘을 모두 앞으로 빼 두겠습니다 그래서 1/√2와 1/√2를 곱하면 1/2가 됩니다. 맞나요? 그래서 이는 -1/2 곱하기 이들을 서로 내적한 값입니다 이렇게 써 보겠습니다 이들이 내적하면 어떻게 되나요? 어떤 숫자가 될 것입니다 -1 곱하기 -1이니까 더하기 1이고 0 곱하기 1이니 더하기 0입니다 그리고 1 곱하기 0이라서 더하기 0입니다 이들 전체에 곱하기 1/√2는 앞에 빼 두었으니까 넘어가겠습니다 곱하기 -1, 1, 0입니다 이는 내적이고 두 환산계수를 앞으로 빼 두었습니다 이들을 곱해서 1/2가 나왔고 이 값은 1이 되어 간단해집니다 그래서 이 값은 벡터 -1, 0, 1에서 이 부분의 1/2배를 뺀 값입니다 1/2 곱하기 -1은 -1/2입니다 다음으로는 1/2, 0이 나옵니다 그래서 이를 계산하면 -1에서 -1/2를 뺀 값이 됩니다 더하기 1/2니까 -1/2가 됩니다 0에서 1/2를 빼면 -1/2가 됩니다 그리고 1에서 0을 빼면 1입니다 이 값이 벡터 y2입니다 그리고 이 u1과 이 y2를 결합하면 부분공간 V를 생성합니다 그러나 아직 정규직교기저를 만들지는 않았습니다 이들은 서로 직교하지만 이 벡터가 길이 1을 갖지 않습니다 그래서 길이가 1이 되도록 합시다 바꾸어 보겠습니다 또 다른 벡터 u2를 정의하는데 u2는 y2를 y2의 길이의 역수로 나눈 값이라고 합시다 y2의 길이는 얼마인가요? y2의 길이는 √((-1/2)²+(-1/2)²+1²)입니다 √1 더하기 1/2, 즉 √(3/2)이 됩니다 그래서 √(3/2)가 됩니다. 맞나요? 네, 1/2 더하기 1이라서 3/2가 됩니다 따라서 √(3/2)가 됩니다 만약 u2를 1/√(3/2) 곱하기 y2로 정의했다면 혹은 √(2/3) 곱하기 y2로 정의했다면 여기 있는 값인데요 -1/2, -1/2, 1입니다 그리고 u1은 오래 전에 정의하였습니다 여기 위쪽에 있습니다 복사해서 붙여 넣겠습니다 그대로 가져오겠습니다 그래서 여기 u1이 있습니다 이제 서로에 대해 직교하는 두 벡터를 찾았습니다 그래서 벡터 u1과 u2의 집합이 있다면 이들은 모두 길이 1을 지닙니다 그리고 이들은 서로에 대해 직교하며 V를 생성합니다 그래서 이는 동영상 앞부분에서 다룬 평면의 정규직교기저입니다 평면 V였지요 그리고 여기서 해야 할 일이 끝납니다 그람-슈미트 과정을 마쳤습니다 이들이 새로 얻게 된 정규직교기저벡터입니다.