3개의 기저벡터를 이용한 그람-슈미트 과정 예제

Gram-Schmidt 예제를 하나 더 풀어보겠습니다 어떤 부분공간 V가 벡터들에 의해 생성되는데 R4 공간 내의 부분공간이고 첫 번째 벡터가 0, 0, 1, 1입니다 두 번째 벡터는 0, 1, 1, 0입니다 세 번째 벡터는 이로 인해 R4 내의 3차원 부분공간이 만들어집니다 1, 1, 0, 0입니다 R4 내의 3차원 부분공간입니다 V의 정규직교기저를 구하고자 합니다 이 벡터들을 서로 직교하며 길이가 1인 벡터들로 대체할 것입니다 전에 했던 것과 같은 연습을 할 것입니다 이 벡터들을 각각 v1, v2 v3라고 하겠습니다 먼저 할 것은 v1을 바꾸는 것입니다 왼쪽에 가장 먼저 있어서 임의로 정했습니다 v1을 직교하는 무언가로 바꿀 것입니다 u1을, 일단은 v1의 길이를 구해 보겠습니다 아직 설명할 내용이 없을 것 같습니다 다른 예시를 들어 보겠습니다 v1의 길이는 √(0²+0²+1²+1²)이므로 √2가 됩니다 새로운 벡터 u1을 벡터 v1의 길이의 역수, 즉 1/√2과 v1의 곱인 (0, 0, 1, 1)과의 곱이라고 합시다 마찬가지로 v1, v2, v3의 생성은 u1, v2, v3의 생성과 같습니다 제일 먼저 정규화 시킨 벡터입니다 그래서 V가 벡터 u1, v2, v3의 생성과 같다고 할 수 있습니다 v1을 이 벡터와 바꿀 수 있는데 v1은 이 벡터를 늘린 것일 뿐이기 때문입니다 그래서 v1을 u1으로 나타낼 수 있고 이들의 일차결합을 여기 이들의 일차결합으로 나타낼 수 있습니다 이제 첫 번째 벡터를 만들었습니다 이 벡터를 정규화 시켰습니다 그러나 이들 벡터들을 여기 이 벡터와 직교하는 벡터들로 바꾸어야 합니다 v2를 먼저 해보겠습니다 y2를 v2에서 v2를 u1이 생성하는 공간에 투영한 값만큼 뺀 값이나 u1의 c배나 저번 동영상에서는 부분공간 V1에 투영한 값만큼 뺀 값이라고 합시다 그래서 y2는 v2 즉 0, 1, 1, 0에서 v2를 이 부분공간에 투영한 값인 0, 1, 1, 0과 부분공간을 생성하는 벡터와의 내적을 뺀 값입니다 이러한 값이 하나만 있기 때문에 u1, 즉 1/√2 곱하기 0, 0, 1, 1과 내적하고 이 전체에 u1을 곱해 줍니다 1/√2 곱하기 벡터 0, 0, 1, 1입니다 그리고 이 값이 v2인 0, 1, 1, 0과 같습니다 √2들을 제외하고 계산하겠습니다 이들을 빼내어 계산하겠습니다 그래서 1/√2 곱하기 1/√2이고 부호를 붙이면 -1/2입니다 -1/2 곱하기, 이들을 내적하면 어떻게 되나요? 0 곱하기 0 더하기 1 곱하기 0, 여전히 0입니다 더하기 1 곱하기 1, 더하기 0 곱하기 0입니다 그래서 곱하기 1이 되고, 여기 이 값들을 곱합니다 0, 0, 1, 1 더 깔끔하게 써 보겠습니다 대충 적었군요 1, 1 그래서 0, 1, 1, 0 빼기 1/2 곱하기 0은 0이고 1/2 곱하기 0은 0입니다 그리고 여기 1/2이 두 개 있습니다 따라서 y2는, 0 곱하기 0은 0이고, 1 곱하기 0은 1 1 빼기 1/2는 1/2, 그리고 0 빼기 1/2는 -1/2입니다 그래서 V를 u1, y2, v3의 생성으로 나타낼 수 있습니다 더 나아갔습니다 u1은 직교하며 y2, 아니 u1은 정규화 되었습니다 1의 길이를 지닙니다 y2는 이에 대해 직교하며 이들은 서로에 대해 직교합니다 그러나 아직 y2가 정규화 되지 않았습니다 그래서 y2를 정규화 시키겠습니다 y2의 길이는 √(0²+1²+1/2²+1/2²)입니다 1과 1/2입니다 그래서 √(3/2)가 됩니다 또 다른 벡터 u2를 정의하겠습니다 u2는 1/√(3/2) 곱하기 혹은 √(2/3) 곱하기 즉 1 나누기 y2의 길이입니다 역수를 구할 것입니다 그래서 √(2/3)곱하기 y2 즉 0, 1, 1/2, -1/2입니다 그래서 이 생성은 u1, u2, v3의 생성과 동일합니다 그렇게 두 번째 기저벡터를 구했습니다 많이 나아갔습니다 이들은 서로에 대해 직교합니다 둘 다 길이 1을 지닙니다 이제 v3을 바꾸기만 하면 됩니다 마찬가지 방식으로 진행할 것입니다 이 벡터들과 직교하는 벡터를 찾고 그러한 벡터를 벡터 u1과 u2의 어떤 일차결합과 더하여 벡터 v3을 얻을 수 있을 것입니다 그 벡터를 y3라고 합시다 y3는 v3에서 u1과 u2에 의해 생성되는 부분공간 위로 투영한 값을 뺀 것과 같습니다 이러한 부분공간을 한번 다시 적어 보겠습니다 u1과 u2의 생성을 표기법상 V2라고 하겠습니다 그래서 v3에서 v3의 투영을 뺀 값입니다 어떤 값이 나오나요? v3과 u1의 내적한 값에 u1을 곱한 값과 v3과 u2의 내적에 u2를 곱한 값을 더한 값입니다 이 벡터들이 정규직교기저이므로 이 부분공간에 투영할 때 v2를 각 정규직교기저벡터와 내적한 값을 정규직교벡터와 곱하면 됩니다 언젠가 이를 다루었습니다 정규직교기저의 장점들 중 하나입니다 이는 무엇과 같을까요? 계산이 조금 더 있습니다 y3은 v3 빼기 여기 위에 있는 v3입니다 v3의 값은 이렇게 나옵니다 1, 1, 0, 0에서 v3와 u1의 내적을 뺀 값입니다 그래서 빼기 v3, 즉 1, 1, 0, 0과 u1의 내적입니다 그래서 1/√2 곱하기 0, 0, 1, 1과의 내적입니다 u1 값입니다. 그래서 이 값이 여기 있고, 곱하기 u1입니다 이 전체 곱하기 1/√2 곱하기 0, 0, 1, 1입니다 이 값은 여기 이 값입니다 그리고 이 마이너스 부호를 배분합니다 그래서 더하기가 되겠네요 더하기 부호가 있지만 여기 빼기 부호가 있어 빼기 v3를 해 줍니다 색을 바꾸어 쓰겠습니다 빼기 v3, 즉 1, 1, 0, 0과 u2의 내적 즉 √(2/3) 곱하기 0, 1, 1/2, -1/2 곱하기 벡터 u2 그러니까 √(2/3) 곱하기 벡터 0, 1, 1/2, -1/2입니다 어떤 값이 나오나요? 계산해 보겠습니다 그래서 이를 계산하면 벡터 1, 1, 0, 0 빼기 1/√2 곱하기 1/√2를 먼저 빼내어 곱합니다 1/2가 나옵니다 그러고 이들의 내적을 취하면 1 곱하기 0, 한 번 봅시다 내적을 취한다면 이 값들은 모두 0이 됩니다. 맞나요? 그래서 이 벡터 v3은 이미 u1과 직교합니다 이 값은 0이 됩니다 이에 대한 항이 없어졌습니다 내적 1 곱하기 0 더하기 1 곱하기 0 더하기 0 곱하기 1 더하기 0 곱하기 1을 하였고 모두 0이 되었습니다 그래서 이 항 전체가 사라집니다 이를 무시할 수 있어 계산이 더 간단해집니다 그리고 여기서는 -1 곱하기 √(2/3) 곱하기 √(2/3)는 -2/3이므로 -2/3 곱하기 이들의 내적입니다 그래서 1 곱하기 0이므로 0 더하기 1 곱하기 1이므로 1 더하기 0 곱하기 1/2이므로 0 더하기 0 곱하기 -1/2이므로 0이기 때문에 1만을 얻게 되며 여기에 벡터 0, 1, 1/2, -1/2를 곱합니다 그래서 어떤 값을 얻나요? 어떤 값을 얻게 되느냐 하면, 마지막 부분입니다 1, 1, 0, 0 빼기 2/3 곱하기 이들 전체입니다 그래서 2/3 곱하기 0은 0이고 2/3 곱하기 1은 2/3입니다 2/3 곱하기 1/2는 1/3입니다 그리고 2/3 곱하기 -1/2는 -1/3입니다 그래서 이 값은 1 빼기 0은 1 1 빼기 -2/3은 1/3, 0 빼기 1/3은 -1/3 그리고 0 빼기 -1/3은 1/3입니다 벡터 y3는 이들 두 벡터와 직교합니다 그러나 아직 정규화 되지는 않았습니다 마지막으로 이 벡터를 정규화하기만 하면 됩니다 그러면 정규직교기저를 얻게 됩니다 u1과 u2를 찾았고 u3만 얻으면 됩니다 벡터 y의 길이는 이번에는 더 나은 방법을 써 보겠습니다 약간 더 단순하게 구할 수 있습니다 y를 이런 식으로 적는 대신 y를 늘릴 수 있습니다. 맞나요? 지금 원하는 벡터는 나머지 두 벡터와 직교하며 동일한 공간을 형성하기만 하면 됩니다 그래서 이 벡터를 늘려 보겠습니다 이러한 벡터를 y3'이라고 합시다 계산을 쉽게 하기 위함입니다 이 벡터를 늘려서 3을 곱해 봅시다 어떤 값을 얻나요? 나머지 벡터들도 이런 식으로 구했다면 좋았을 것입니다 3, 1, -1, 1입니다 그래서 y3를 이 벡터로 바꿀 수 있고 그러고 나서 이 벡터를 정규화할 것입니다 조금 더 간단해집니다 y3'의 길이는 √(3²+1²+(-1)²+1²)이므로 √12가 됩니다 이는 2√3입니다 2√3이 되는 것이 맞나요? √(4x3)이므로 2√3이 됩니다 이제 u3을 y3 곱하기 y3의 길이의 역수인 1/2√3 곱하기 벡터 3, 1, -1, 1과 같다고 할 수 있습니다 이제 끝났습니다 어떤 기저, 정규직교기저가 있다고 하면 이 벡터와 여기 이 두 벡터가 될 것입니다 이들 셋이, 가지고 내려오겠습니다 이 세 벡터들의 집합이 있다면 V의 정규직교기저로 이들 셋을 가지게 된 것입니다 이 집합은 처음 시작한 부분공간 V의 정규직교기저를 형성합니다