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정규직교기저가 무엇인지 알게 되었습니다 다음 질문은 정규직교기저가 어떻게 활용되는가입니다 여러 가지 용도 중 하나로 정규직교기저가 좋은 좌표계, 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이 있습니다 예를 들어 표준 기저 혹은 표준 좌표계는 , Rn의 표준 기저를 적어 보겠습니다 Rn이 지닌 표준 기저는 e1, e2, 하는 식으로 쓸 수도 있지만 벡터로 나타내겠습니다 e1에는 우선 1이 있고, 이후로는 쭉 0입니다 n-개의 0들이 있을 것입니다 e2에는 0, 1이 있고 이후로 쭉 0이 있습니다 마찬가지로 en까지 적을 수 있는데 0들이 쭉 있습니다 마지막에 1이 하나 있고요 우리가 다룬 표준 기저는 정규직교집합이자 정규직교기저입니다 각 원소의 길이가 1인 것은 확실합니다 어떤 원소를 그 자신과 내적한다면 1 곱하기 1과 서로 곱해진 0들을 여럿 얻게 될 것입니다 그래서 1의 제곱이 됩니다 1이 될 것입니다 이들 중 어느 원소에나 모두 적용됩니다 그리고 이들은 분명 서로 직각이기도 합니다 이들 중 하나를 서로 다른 원소와 내적하면 1곱하기 0 1 곱하기 0, 그리고 0들을 여럿 얻게 될 것입니다 0을 얻게 됩니다 그래서 이들은 모두 길이가 1입니다 그리고 이들은 모두 직교합니다 분명 이는 좋은 좌표계입니다 다른 직교기저는 어떨까요? 방금 다룬 내용은 모든 정규직교기저가 좋은 좌표계를 만든다는 것을 보이기 위한 하나의 예시였습니다 이제 어떤 집합이 벡터들의 정규직교집합이 있다고 해 보겠습니다 v1, v2, ...vk까지 있습니다 이는 어떤 부분공간 V의 정규직교기저입니다 이는 k차원 부분공간인데, 기저에 k개의 기저 벡터가 있기 때문입니다. 혹은 기저에 k개의 벡터가 있거나요 조금 더 나아가 보겠습니다 이 벡터들로 이루어진 좌표계가 좋은 좌표계라고 이야기했었습니다 좋은 좌표계란 무엇을 의미할까요? 표준 기저는 좋지만 이는 우리가 표준 기저를 주로 사용하며 다루기 쉽기 때문입니다 그러나 이러한 상황에서 말하는 좋은 좌표계란 무엇일까요? 한 번 보겠습니다 어떤 벡터 x가 V의 원소일 때 x를 위의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있다는 뜻입니다 그래서 x는 v1의 어떤 상수배 더하기 v2의 또 다른 상수배 더하기 i번째 상수와 vi의 곱, ... 계속 나아가 vk의 k번째 상수배까지의 합입니다 부분공간의 원소가 된다는 것이 의미하는 바입니다 부분공간은 이들에 의해 생성되기 때문에 x가 이들의 일차결합으로 표현될 수 있습니다 이 방정식의 양변을 각각 vi와 내적하면 어떻게 될까요? 그래서 vi를 취하여 양변을 vi와 내적할 것입니다 그래서 vi와 x의 내적을 얻게 되었는데 이는 무엇과 같은가요? 상수를 앞에 놓으면 c1 곱하기 vi와 v1의 내적, 더하기 c2 곱하기 vi와 v2의 내적, 마찬가지로 나아가서 더하기 ci 곱하기 vi와 vi의 내적이 되며 마지막 항은 ck 곱하기 vi와 vk의 내적이 됩니다 이는 정규직교집합입니다 두 벡터를 기저의 서로 다른 두 벡터를 취하고 이들을 내적하면 0을 얻게 됩니다 이들은 서로에 대해 직교하기 때문입니다 이 둘은 집합 내의 서로 다른 벡터입니다 이들이 직교하기 때문에 내적이 0이 됩니다 0 곱하기 c1이 되기 때문에 0이 될 것입니다 i가 2가 아니라고 가정하면 이 항도 0이 됩니다 i가 2가 아니라고 가정하겠습니다 이 항에서도 i가 k가 아니라고 가정하겠습니다 이 항도 0이 될 것입니다 모든 항이 0이 될 것입니다 vi가 vi와 같은 경우를 제외하고는 말입니다 두 첨자가 같은 경우를 제외하고 말입니다 그렇다면 vi와 vi의 내적은 무엇인가요? 아시다시피 정규직교는 두 성질을 지닙니다 이들은 서로 직교하며 각각 1의 길이를 지니도록 정규화 되어 있습니다 그래서 vi와 vi의 내적은 1이 됩니다 그래서 전체 식이 vi로 간소화되었습니다 vi는 기저 집합의 i번째 원소인데 vi와 부분공간의 원소인 x와의 내적은 우변에 남은 유일한 항인 1 곱하기 ci과 같습니다 이는 c1이 됩니다 왜 이 성질이 유용할까요? 좋은 좌표계의 정의로부터 바로 이러한 흥미로운 결과를 유도했습니다 이러한 기저에 대한 좌표계를 얻는 것이 왜 중요할까요? 여기서 좌표계가 무엇인지 되짚어 보겠습니다 벡터 x를 나타내려 합니다 이는 부분공간의 원소인데 부분공간의 기저에 관한 좌표들로 표현되었습니다 부분공간은 여러 기저를 지닐 수 있지만 여기서는 이러한 기저를 선택했습니다 그래서 x를 기저 B에 대해 나타내고자 합니다 무엇을 해야 할까요? 각 좌표는 서로 다른 기저 벡터들의 계수가 될 것입니다 배웠던 내용의 복습이었습니다 c1, c2가 되고, 내려가면 ci가 있고 마지막에 ck가 있습니다 k개의 항을 지니게 되는데, 왜냐하면 이는 k차원 부분공간이기 때문입니다 일반적으로 이는 알아내기 쉽지 않습니다 어떤 벡터 x가 있을 때, 언제 이를 다루었었죠 B 좌표계에서 나타낸 x가 있을 때 이를 기저변환행렬과 곱하면 일반 좌표계로 나타낸 x를 얻을 수 있습니다 그러나 일반 좌표계로 나타낸 x로부터 B 좌표계로 나타낸 x를 찾기 위해서는 C가 가역성을 지닌다면 이러한 방정식을 적용할 수 있습니다 늘 적용되지는 않습니다 이는 C가 가역성을 지니는 경우에만 해당됩니다 우선 C가 항상 가역성을 지니는 것은 아닙니다 또한 정사각행렬이 아닌 경우 적용되지 않습니다 이는 x가 주어졌을 때 B로 x를 표현하는 한 가지 방법입니다 그러나 C가 가역성을 지니지 않는다면 이 방정식을 풀어야만 합니다 우항에 무언가를 얻게 될 것입니다 기저변환행렬도 얻게 됩니다 그 방정식을 풀어야 합니다 임의의 기저에 대한 방정식 말입니다 상당히 복잡해질 수 있습니다 하지만 앞에서 무엇을 다루었나요? x의 좌표들을 찾는 간단한 방법을 알게 되었습니다 그래서 이는 다음과 같은데 c1은 첫 번째 기저벡터를 x와 내적한 값이 됩니다 ci를 i번째 기저벡터와 x의 내적이라고 할 수 있습니다 c1은 첫 번째 기저벡터와 x의 내적이 됩니다 c2는 두 번째 기저벡터와 x의 내적이 되고요 마지막으로 ck가 k번째 기저벡터와 x의 내적이 될 때까지 반복합니다. 이 방식이 더 쉽다는 것을 보이겠습니다 구체적인 예시를 들어 보겠습니다 이쪽에서 진행하겠습니다 두 벡터가 있습니다 벡터 v1이 3/5와 다시 쓰겠습니다 3/5와 4/5라고 합시다 그리고 v2는 -4/5와 3/5라고 합시다 집합 B는 두 개의 벡터 v1과 v2로 이루어져 있다고 합시다 이 집합이 정규직교집합임을 보이고자 합니다 한번 증명해 봅시다 v1의 길이의 제곱은 얼마인가요? v1을 스스로와 내적한 값입니다 3/5의 제곱인 9/25와 4/5의 제곱인 16/25의 합인 25/25, 즉 1이 됩니다 그래서 벡터 v1은 길이가 1입니다 v2의 길이의 제곱은 얼마인가요? 이 값들의 제곱이 되겠지요 -4/5의 제곱은 16/25입니다 3/5의 제곱은 9/25가 되고요 다시 한 번 길이의 제곱이 1이 되며 길이가 1이 됩니다 이 둘은 모두 길이 1을 지닙니다 이제 서로가 서로에 대해 직교하는지 살펴봅시다 v1과 v2의 내적은 얼마인가요? 3/5 곱하기 -4/5가 됩니다 -12/25가 되고, 여기에 4/5와 3/5의 곱인 12/25를 더하면 0이 됩니다 그래서 이들은 서로에 대해 직교하며 길이가 1이기 때문에 정규직교집합이 됩니다 또한 이들이 서로 선형독립이라는 것을 말합니다 집합 B가 어떤 부분공간 V의 기저라고 합시다 아니 R2의 기저라고 합시다 집합 B는 R2의 기저입니다 R2의 기저인 것을 어떻게 알 수 있을까요? 기저에 두 개의 선형독립인 벡터가 있고 이 두 벡터가 2차원 공간인 R2를 생성하기 때문에 이는 모든 R2의 기저라고 할 수 있습니다 앞서 봤던 것처럼 R2의 임의의 원소를 선택하겠습니다 R2의 임의의 원소를 선택하면 음, 임의의 숫자를 골라 x가 -9, 2라고 합시다 v1과 v2가 정규직교기저라는 사실을 모르고 x를 B의 좌표로 나타내고자 한다면 무엇을 해야 하냐 하면 기저변환행렬을 만들어야 합니다 기저변환행렬은 3/5, 4/5, -4/5, 그리고 3/5가 됩니다 그리고 B 좌표계로 나타낸 x와의 곱이 일반적으로 나타낸 x와 같습니다 내지는 표준 좌표계로 나타낸 x와 같습니다 이 2x2 계를 풀어야 할 것입니다 2x2 행렬에서는 별로 복잡하지 않습니다 그러나 정규직교집합, 혹은 정규직교기저에서는 앞서 사용한 유용한 방법을 쓸 수 있습니다 방정식을 푸는 대신 B 좌표계로 나타낸 x가 v1과 x의 내적이 됩니다 v1과 x의 내적이 됩니다 이 값은 v2와 x의 내적이 되고요 정규직교기저이기 때문에 이러한 작업을 진행할 수 있습니다 이 값은 어떻게 되나요? x는 9, -2입니다 v1과 내적하면 9 곱하기 3/5 27/5가 됩니다 9 곱하기 3은 27/5이고, 더하기 -2 곱하기 4/5 -8/5가 됩니다 -2와 4/5의 곱은 -8/5입니다 두 번째 항은 v2와 x의 내적입니다 v2와 x의 내적 9 곱하기 -4/5, -36/5가 됩니다 더하기 -2 곱하기 3/5 더하기 -2 곱하기 3/5는 -6/5입니다 B 좌표계로 나타낸 x는 앞서 다룬 정규직교기저의 성질을 이용하였는데 그래서 이 값은 27 빼기 8은 19/5, 그리고 -36 -6은 -42/5입니다 깔끔한 답은 아니지만 어느 방법으로 풀건 같은 답이 나올 것입니다 그러나 정규직교기저가 있으면 기저에 대한 좌표를 구하는 것이 더욱 쉬워집니다 R2의 한 예시였습니다 R2를 다루는 대신 R4나 R100과 같은 것을 다루면 더욱 복잡해질 것입니다 이 계를 직접 푸는 것은 더욱 어려워지지만 내적을 구하는 것은 여전히 꽤 쉽습니다 동영상 앞부분에서 정규직교기저가 사용되는 용도에 대해 질문했습니다 표준 기저가 유용하다고 답했었지요 좋은 좌표계가 된다고 말입니다 아까 사용했었지요 좋다는 것이 무엇을 말하는 것인가에 대해서는 크게 다루지 않았습니다 그러나 이제 정규직교기저가 사용되는 한 가지 예시를 보았습니다 정규직교기저에서 좌표를 찾거나 정규직교기저에 대한 좌표를 찾는 것이 매우 간단합니다