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정규직교기저를 이용한 부분공간에 대한 정사영

동영상 대본

저번 동영상에서 정규직교기저가 좋은 좌표계, 즉 좌표를 쉽게 알 수 있는 좌표계를 만드는 것을 보았습니다 저번 동영상에서 다룬 내용입니다 정규직교기저를 지니면 유용한 다른 이유들에 대해 알아보겠습니다 어떤 부분공간 V가 Rn의 부분공간이라고 합시다 또한 정규직교집합 B가 있습니다 B는 v1, v2, ...vk의 집합입니다 그리고 이는 V의 정규직교기저인데 이 벡터들이 길이 1을 지니며 서로 직교한다는 것을 다르게 표현한 것입니다 여러 번 보았던 내용인데, 어떤 벡터 x를 Rn의 원소인 벡터 x를 부분공간 V의 원소와 부분공간의 직교여공간 내의 벡터 w의 합으로 나타낼 수 있습니다 한번 적어 보겠습니다 v는 부분공간의 원소이고, w는 부분공간의 직교여공간의 원소입니다 직교여공간에 대한 동영상들에서 이를 다루었습니다 여기 이건 무엇인가요? 이 v값이 무엇을 의미하나요? 정의상 이는 x를 V에 투영한 것입니다 x를 V의 직교여공간에 투영한 것입니다 과거에는 이를 찾는 것이 쉽지 않았습니다 기저 벡터들을 열로 가지고 있는 행렬 A가 있다고 합시다 행렬 A는 다음과 같습니다 v1, v2, ...vk까지 있습니다 투영을 알아내는 일반적인 방법을 다루었는데 어떤 벡터 x를 V에 투영하면 A(ATA)-1ATx가 된다는 것을 배웠습니다 힘든 과정이었습니다 이는 알아내기 힘듭니다 그러나 만약 이들이 정규직교한다고 가정하면 혹은 정규직교집합이라면 더 단순화될 수 있는지 알아보겠습니다 우선 이에 대해 조금 더 알아보겠습니다 이 벡터 v는 부분공간의 원소이므로 기저벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있습니다 그래서 x를 v와 w의 합과 같다고 적는 대신 c1 곱하기 v1 더하기 c2 곱하기 v2, ... ...더하기 ck 곱하기 vk와 같다고 적을 수 있습니다 이는 부분공간 V 내의 원소와 같습니다 그래서 이는 v이며 x를 부분공간 V에 투영한 것으로 볼 수 있습니다 따라서 x를 V의 어떤 원소와 V의 직교여공간의 어떤 원소인 w의 합으로 나타낼 수 있습니다 이제 이 방정식의 양변을 음, vi로 내적하면 어떻게 될까요? 양변을 vi로 내적해 보겠습니다 그래서 vi를 x와 내적하면, 혹은 부분공간 B의 i번째 기저벡터를 x와 내적하면 어떤 값이 나오나요? 이는 c1 곱하기 vi 곱하기 v1 더하기 c2 곱하기 vi 곱하기 v2, 그리고 이런 식으로 진행합니다 중간에 i번째 항이 나오고 ci 곱하기 vi 곱하기 vi가 됩니다 그리고 i가 1, 2, k가 아니라고 가정하면 마지막 항이 ck 곱하기 vi 곱하기 vk가 됩니다 저번 동영상에서 이를 보았는데요 양변을 내적했었죠 이번에는 w 항도 있습니다 vi와 w의 내적을 더하게 됩니다 저번 동영상에서 한 내용을 분명히 하겠습니다 x를 부분공간 내에 있다고 가정하여 좌표로 x를 나타낼 수 있다고 가정했습니다 이제 x는 Rn의 모든 원소가 될 수 있고 x의 투영을 보고 있습니다 x가 Rn의 모든 원소가 될 수 있기 때문에 이들의 어떤 일차결합과 B의 직교여공간의 어떤 원소의 합이 됩니다 기저벡터 중 하나 i번째 기저벡터와 방정식의 양 변의 내적을 취하면 좌항은 그대로 유지되지만 우항에서 저번 동영상에서 보았던 것과 비슷한 일이 일어납니다 vi와 v1의 내적은 무엇인가요? 이들은 정규직교집합의 서로 다른 두 원소이므로 이들은 서로 직교합니다 그래서 0이 됩니다 vi와 v2의 내적 또한 vi가 2가 아니라는 가정 하에 0이 됩니다 vi와 vi의 내적은 1이 됩니다 그래서 이 항은 ci가 됩니다 vi와 vk의 내적 역시 0이 됩니다 0에 무엇을 곱하건 0이 되기 때문에 각 항에 곱해진 상수의 값은 중요하지 않습니다 vi와 w의 내적은 어떻게 되나요? 정의상 w는 V의 직교여공간의 원소인데, 이는 w가 V의 모든 원소와 직교한다는 뜻입니다 vi는 V의 원소이므로 이들은 서로 직교합니다 그래서 이 항도 0이 됩니다 그래서 ci가 vi와 xi의 내적이 됩니다 xi가 아니라 x입니다 이제 어떻게 될까요? 저번과 매우 유사한 결과를 얻었습니다 그러나 이번에는 x가 V의 원소라고 가정하지 않았습니다 아시다시피 x가 V의 원소라면 ci들이 x의 좌표가 됩니다 이 경우 x를 V에 대해 투영한 값 혹은 x의 성분인 V의 원소 혹은 x를 V에 투영한 값을 찾고 있습니다 그래서 x를 V에 투영한 값을 찾으려 하는데 이는 ci를 각각의 기저벡터들과 곱하는 것과 같습니다 이제는 ci들의 값을 알고 있습니다 기저벡터와 벡터 x를 내적한 값입니다 그래서 정규직교기저를 지닌 부분공간에 투영한 값을 구하는 간단한 방법을 얻었습니다 c1은 v1과 x의 내적입니다 이는 c1입니다. 그리고 c1에 v1을 곱합니다 이 또한 벡터가 됩니다 다음으로 v2의 계수는 v2와 x의 내적이 됩니다 그래서 곱하기 v2 마찬가지로 vk와 x의 내적에 vk를 곱할 때까지 진행합니다 언젠가 x를 어떤 직선 위에 투영했던 적이 있었습니다 x를 어떤 직선 L 위에 투영할 때 L은어떤 단위벡터의 생성이 됩니다 1의 길이를 지닙니다 t는 어떤 실수이고 이는 어떤 직선이 됩니다 어느 단위벡터 u의 생성의 합인 직선입니다 단위벡터의 길이는 1로 가정했습니다 그러면 직선으로 투영하는 것이 x와 u의 내적에 벡터 u를 곱하는 것으로 간단하게 변합니다 직선 위로 투영하는 것입니다 부분공간의 정규직교기저를 다룰 때 Rn 내의 어떤 벡터를 이러한 부분공간에 투영하는 것은 각 벡터들에 의해 생성되는 직선 위로의 투영들을 찾는 것과 같습니다. 맞나요? x와 v1의 내적에 v1을 곱합니다 x와 v1의 내적에 v1을 곱하고요 x를 각 벡터들에 의해 생성되는 선분들에 각각 투영하는 것입니다 그게 전부입니다 그러나 이는 기존에 A를 AT와 A의 곱의 역행렬과 곱하고 여기 AT를 곱한 뒤 x를 대입하는 것보다 더 간단합니다 분명히 더 간단합니다 그러나 투영이 선형 변환이라고 했었습니다 선형 변환이기 때문에 행렬을 알고자 합니다 정규직교화 되는 것이 이를 조금이나마 단순화시키는지 보겠습니다 항상 특정한 x에 대해 투영을 구할 수 있습니다 각 기저벡터와 x를 내적한 값이 계수가 되며 각 계수와 기저벡터를 곱한 것들을 더하여 투영을 구할 수 있습니다 그러나 투영을 만드는 변환행렬을 구하고자 하는 것입니다 변환행렬을 구해 보겠습니다 우선 알고 있는 내용을 적겠습니다 어떤 부분공간 V에 x를 사영하는 것이 A(ATA)-1ATx가 된다는 것을 이미 알고 있습니다 그리고 A의 열벡터는 기저벡터인 v1, v2, ...vk입니다 이제 이들이 정규직교벡터라는 가정을 통해 더 간단하게 만들 수 있는지 보겠습니다 ATA 부분을 보겠습니다 ATA는 무엇이 될까요? 이는 AT와 한번 생각해 봅시다 이들은 Rn의 원소이므로 이는 n x k 행렬이 됩니다 이는 n x k 행렬이 되며 ATA는 k x n 행렬 곱하기 n x k 행렬이 됩니다 곱해서 k x k 행렬이 나오게 됩니다 k x n 곱하기 n x k는 k x k가 됩니다 ATA는 k x k가 됩니다 AT는 무엇이 되나요? 각 열들이 행이 됩니다 첫 번째 열은 v1T가 됩니다 두 번째 열은 v2T가 되고요 마찬가지로 계속 진행합니다 k번째 열은 vkT가 됩니다 이렇게요 그리고 A는 여기 이 값입니다 이렇게 보일 것입니다 이렇게 v1이 있고 이렇게 v2가 있습니다 이대로 진행하면 마지막에 vk가 있습니다 이들의 곱을 계산하면 어떻게 될까요? 한 두 행을 계산해 보겠습니다 곱을 취하면 k x k 행렬을 얻게 됩니다 잘 설명할 수 있도록 크게 그려 보겠습니다 첫 번째 행의 첫 번째 열은 어떻게 될까요? 이 행과 이 열의 내적 혹은 v1과 v1의 내적이 됩니다 v1과 v1의 내적, 좋습니다. 이는 1이 됩니다 두 번째 행의 두 번째 열은 어떻게 될까요? v2가 되겠네요 여기서 행을 얻고 여기서 열을 얻습니다 이 행과 이 열의 내적이므로 v2와 v2의 내적이 됩니다 좋습니다 이는 1이 됩니다 그리고 일반적으로 Aii를 찾거나 혹은 대각선을 따라 계산한다면 i번째 행과 i번째 열을 얻게 됩니다 따라서 대각선을 따라 1들을 얻게 됩니다 대각선이 아닌 부분들은 어떤가요? 이쪽 부분을 계산한다고 합시다 첫 번째 행, 두 번째 열의 성분입니다 여기 이 성분은 v2의 내적이 됩니다 v1의 내적은 이 첫 행과 두 번째 열의 내적이 됩니다 v1과 v2의 내적이 됩니다 하지만 이들 둘이 서로 직교하므로 값이 어떻게 되나요? 0이 됩니다 여기 이 성분은 v1과 v3의 내적이 됩니다 역시 0이 됩니다 v1과 v1이 아닌 무언가와 내적하면 0이 됩니다 마찬가지로 두 번째 행의 모든 것들은 v2와 내적하여 구합니다 두 번째 행의 첫 번째 열은 v2와 v1의 내적이 되어 0이 나옵니다 v2와 v2의 내적은 1입니다 v2는 나머지 모든 것들과 내적하여 0이 됩니다 이들은 모두 서로에 대해 직교합니다 그리고 나머지에 대해서도, 행과 열이 같지 않다면, 만약 행과 열이 같다면 동일한 벡터의 내적을 구하는 것이기 때문에 1을 얻게 됩니다 길이가 1이기 때문입니다 그러나 행과 열이 서로 다른 경우 정규직교기저의 서로 다른 두 원소를 내적하는 것입니다 그리고 이들은 모두 직교하므로 0들을 얻게 됩니다 어떤 값이 나오나요? 대각선이 아닌 곳에는 0들이 있고, 대각선을 따라 1들이 있습니다 이는 k x k 행렬입니다 이는 Rk의 단위행렬입니다 일반적으로 이러한 정의를 사용했었습니다 변환행렬을 구하는 정의였는데 x를 어떤 부분공간에 투영하는데 사용한 변환행렬의 정의입니다 그러나 정규직교기저를 가정하게 되면 ATA가 k x k 단위행렬이 됩니다 단위행렬의 역행렬은 어떻게 되나요? ATA의 역함수는 k x k 단위행렬의 역함수가 되는데 이는 k x k 단위행렬입니다 따라서 이는 벡터 x를 V에 투영하는 것을 단순화시킵니다 A 곱하기 단위행렬의 역행렬 즉 단위행렬이 됩니다 A 곱하기 단위행렬 Ik가 됩니다 A 곱하기 단위행렬 Ik 곱하기 두 번째 AT에 x를 곱한 값입니다 그리고 가운데 단위행렬을 생략할 수 있습니다 아무 일도 하지 않습니다 따라서 이는 A 곱하기 AT 곱하기 x가 되며 이로 인해 행렬이 상당히 간단해졌습니다 여전히 행렬 곱셈을 진행해야 하지만 행렬의 전치를 찾는 것은 간단합니다 행과 열을 서로 바꾸기만 하면 됩니다 AT를 A와 곱하는 것은 상당히 힘듭니다 그러나 이 행렬의 역함수를 찾는 것은 더욱 힘든 일입니다 그러나 이제 열들이 정규직교집합을 형성한다고 가정했기 때문에 이 값이 단위행렬이 됩니다 그리고 x를 V에 투영하는 것은 A와 AT의 곱인데 A는 열벡터들이 부분공간 V의 기저벡터인 행렬입니다 아무튼 이를 통해 정규직교기저를 더 중요하게 생각하면 좋겠습니다