각도와 길이를 보존하는 직교행렬

저번 두 동영상에서 n x n 행렬 C가 정사각행렬이며 열들이 정규직교집합을 형성한다고 합시다 각 열들이 정규화되었다는 뜻입니다 이 열들을 열벡터라고 생각한다면 모두 길이가 1입니다 그리고 모두 서로에 대해 직교합니다 어떤 열을 그 자신과 내적하면 1을 얻습니다 어떤 열을 다른 열과 내적하면 0을 얻게 되고요 여러 번 본 내용입니다 자신을 제외한 모든 열들과 직교합니다 이러한 행렬이 있다고 가정해 봅시다 이를 직교행렬이라 합니다 이 직교행렬의 전치행렬이 역행렬과 같다는 것을 보았습니다 행렬을 훨씬 더 유용하게 다룰 수 있게 해 줍니다 이 행렬의 전치행렬은 역행렬과 같습니다 이러한 성질로부터 다른 흥미로운 것들을 이끌어낼 수 있습니다 지금까지는 직교행렬을 기저변환에 주로 활용했습니다 여러 번 봤던 다이어그램을 다시 그려보겠습니다 이것을 표준기저라고 합시다 그리고 다른 기저의 좌표로 x를 나타내었다고 합시다 그리고 여기 C를 곱하여 원래의 값을 얻을 수 있고 원래의 값에 C의 역행렬을 곱하여 이 아래의 값을 얻을 수 있음을 보았습니다 그리고 C를 기저변환이라고 하였습니다 동일한 벡터를 나타내는 것입니다 단지 벡터를 나타내는 좌표를 바꾸었을 뿐입니다 어떤 행렬곱 행렬 벡터곱 또한 선형 변환이라는 것을 알고 있습니다 그래서 이 기저변환은 선형 변환입니다 이 기저변환을 선형 변환으로 생각하여 직교행렬에 어떤 벡터를 곱하더라도 길이와 각도가 보존된다는 것을 보이고자 합니다 무슨 의미인지 더 이야기해보겠습니다 이를 변환이라고 생각합시다 정의역에 어떤 벡터들의 집합이 있다고 합시다 이렇게 생겼습니다 이렇게 생겼다고 해 봅시다 이 벡터는 이렇게 생겼고 이 벡터는 이렇게 생겼습니다 그리고 이 사이에 어떤 각이 있습니다 R2, R3에서는 각을 시각화하기 쉽습니다 차원이 더 높아진다면 조금 더 힘들 수도 있겠네요 어쨌건 두 벡터 사이에 있는 각입니다 각도와 길이가 보존된다는 것은 이 벡터들에 C를 곱하더라도 이를 변환으로 볼 수 있다는 것입니다 어쩌면 이 벡터들을 회전시킬 수도 있습니다 회전시키거나 비슷한 무언가를 한다고 합시다 분홍색 벡터가 이렇게 위치한다고 합시다 그러나 길이는 변하지 않습니다 둘이 서로 동일한 길이를 지니고 있습니다 그리고 각도와 길이가 보존된다는 것은 노란색 벡터가 이런 식으로 보일 것이라는 뜻입니다 동일한 각도를 지니는 위치말입니다 이 각의 크기가 이 각과 같은 위치입니다 각도가 보존된다는 뜻입니다 그렇지 않다면 각도가 보존되지 않는 변환이 있을 수 있습니다 각도가 보존되지 않는 경우를 그려 보겠습니다 이 벡터가 변환되어 분홍색 벡터의 길이가 더 길어지고 노란색 벡터의 길이도 더 길어지고 각도도 달라지는 변환을 나타내고 싶습니다 벡터의 길이가 더 길어지면서 일그러지기도 했습니다 그래서 각도가 바뀝니다 그래서 이 변환에서는 각도가 변화하지 않았습니다 그래서 직교행렬인 기저변환행렬이 있을 때 직교하는 변환행렬이 있을 때 이러한 변환이 벡터들에 작용할 때에는 벡터들을 뒤틀지 않으면서 일종의 회전시키는 식으로 작용합니다 수학적으로 엄밀하지 않기 때문에 문장으로 쓰겠습니다 그래서 벡터들이 뒤틀리지 않습니다 이게 무슨 뜻인지 직관적으로 나타내었습니다 이제는 이를 실제로 증명해 보이겠습니다 이 분홍색 벡터를 x라고 하고 이 분홍색 벡터는 C와 x의 곱이라고 합시다 x의 길이가 C와 x의 곱의 길이와 같다는 것을 보이고자 합니다 실제로 그런지 보겠습니다 Cx의 길이의 제곱은 Cx와 Cx의 내적과 같습니다 그리고 이러한 성질을 이용하는 것이 유용한데 두 벡터의 이쪽에서 진행하겠습니다 y와 y의 내적을 취한다고 해 봅시다 이는 y의 전치행렬과 만약 이들을 행렬이라고 생각한다면요 y의 전치행렬과 y의 곱과 같습니다 y의 전치행렬과 y의 곱은 y1, y2, ...yn과 y1, y2, ...yn의 곱이니까요 이를 1 x n 행렬과 n x 1 행렬의 곱으로 진행한다면 1 x 1 행렬, 혹은 y1 곱하기 y1 더하기 y2 곱하기 y2 ...더하기 yn 곱하기 yn이라는 숫자가 됩니다 그래서 이는 y와 y의 내적과 같습니다 오래 전 강의에서 진행한 내용이지만 복습은 늘 좋으니까요 이제 이 성질을 사용해 봅시다 이들 둘을 내적했습니다 그리고 이는 하나의 전치행렬과 다른 하나의 곱과 같습니다 벡터와 벡터의 내적에서 행렬과 행렬의 곱으로 바꾼 것입니다 그래서 Cx의 전치행렬과 Cx의 곱이 되었습니다 이를 1 x n 행렬과 열벡터인 Cx의 n x 1 행렬의 곱으로 볼 수 있습니다 이들은 서로 같습니다 A와 B의 곱의 전치행렬이 B의 전치행렬과 A의 전치행렬의 곱과 같다는 것도 알고 있습니다 오래 전에 이를 배웠습니다 여기 이 값은 x의 전치행렬과 C의 전치행렬의 곱이 됩니다 순서를 바꾸고 전치행렬을 취하는 것입니다 x의 전치행렬과 C의 전치행렬의 곱 그리고 여기에 Cx를 곱합니다 이제 C의 전치행렬이 C의 역행렬과 같다는 것을 알고 있습니다 행렬 C의 직교성이 필요한 부분입니다 정사각행렬이면서 모든 열들이 서로 직교하고 정규화되어 있어야 합니다 그래서 이 값은 단위행렬이 됩니다 여기 단위행렬을 나타낼 수도 있지만 바로 사라집니다 그래서 이는 x의 전치행렬과 x의 곱과 같습니다 x의 전치행렬과 x의 곱은 x의 길이의 제곱과 같습니다 그래서 Cx의 길이의 제곱은 x의 길이의 제곱과 같습니다 이로부터 x의 길이, 혹은 Cx의 길이는 x의 길이와 같다는 것을 알 수 있는데 왜냐하면 길이는 항상 양수이기 때문입니다 직교행렬이 길이를 보존한다는 것을 증명했습니다 이제 직교행렬이 각도도 보존하는지 살펴보겠습니다 우선 각도를 정의해보겠습니다 여태껏 수학을 배워오면서 R2나 R3에서 각도가 무엇을 의미하는지 이해했습니다 선형대수학에서는 더 일반적인 경우를 다루겠습니다 내적을 이용하여 각도를 정의하였습니다 코사인의 법칙을 이용하였고 R2의 삼각형에 이를 비유하였습니다 v와 w의 내적이 각 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각의 코사인 값의 곱이라고 배웠습니다 혹은 두 벡터 사이의 어떤 각의 코사인 값이 두 벡터의 내적을 벡터들의 길이로 나눈 값이라고 할 수 있습니다 이러한 정의로부터 차원에 관계없이 Rn 공간에서의 각도로 논의를 확장할 수 있었습니다 각도가 보존되는지 보겠습니다 이들에 C를 곱하면 각이 어떻게 되는지 보겠습니다 새로운 각을 구하려 한다고 해 봅시다 각 C의 코사인 값입니다 변환을 진행하고 나서 모든 문자들에 대해 변환을 진행할 것입니다 Cv와 Cw의 내적을 Cv와 Cw의 길이로 나눈 값입니다 이제 길이가 보존된다는 것은 알고 있습니다 Cw와 Cv의 길이가 각각 w와 v가 된다는 것을 알고 있습니다 막 증명한 내용입니다 한번 적어 보겠습니다 θC의 코사인 값은 Cv와 Cw의 내적을 v와 w의 길이로 나눈 값입니다 길이가 보존된다는 것을 보였기 때문입니다 분자 부분이 어떻게 되는지 계산하겠습니다 내적의 일반적인 성질을 사용하겠습니다 내적은 행렬로 나타낸 어떤 벡터의 전치행렬과 행렬로 나타낸 또 다른 벡터의 곱입니다 그래서 Cw의 전치행렬과 Cv의 곱이 됩니다 그리고 이들 둘의 길이로 나누고요 v와 w의 길이입니다 그리고 이 값은, 아래쪽에 공간이 많아 아래에 적겠습니다 둘의 순서를 바꾸고 전치행렬을 취합니다 그래서 w의 전치행렬과 C의 전치행렬, Cv의 곱입니다 두 벡터의 길이로 나누고요 v와 w의 길이의 곱으로 나눕니다 그리고 이 값은 단위행렬이 됩니다 이는 단위행렬입니다 그래서 w의 전치행렬과 v의 곱을 이들 두 벡터의 길이로 나눈 값이 됩니다 그리고 이는 v와 w의 내적과 같습니다 이는 v와 w의 내적을 v와 w의 길이로 나눈 것입니다 코사인 θ인 것입니다 그래서 우리가 정의한 각의 정의인 내적을 벡터의 길이로 나눈 것에 변환을 취하더라도, 혹은 직교행렬 C를 이용하여 기저변환을 진행하더라도 변환된 벡터들 사이의 각도는 변하지 않습니다 벡터들이 변환되기 전 두 벡터 사이의 각과 같습니다 꽤 흥미로운 내용입니다 기저변환행렬 혹은 직교행렬에 의한 변환은 벡터들을 뒤틀지 않습니다 벡터들을 회전시키거나 이동시킬 수는 있지만 벡터들 사이의 각도를 변화시키지는 않습니다