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정규직교기저를 이용하여 부분공간에 대한 정사영을 찾는 방법의 예제

동영상 대본

저번 영상에서 정규직교기저가 있으면 간단하게 써볼게요 여기 정규직교기저가 있을 때 부분공간 V에 대해 찾고 싶다면 그리고 Rn의 벡터 x의 V에 대한 정사영을 찾고 싶다면 그 변환행렬은 A 곱하기 A의 전치행렬 곱하기 벡터 x로 간단히 표현할 수 있어요 A는 필연적으로, 정확하게 기저벡터를 열로 가지고 있는 행렬입니다 기저벡터를 v1, v2..., vk라고 하죠 기저벡터를 v1, v2..., vk라고 하죠 이렇게 쓸게요 V에 대한 정규직교기저 이것을 저번 영상에서 보았고 그것이 정규직교기저를 좋아하는 또다른 이유에요 구체적인 예를 들어볼게요 V가 벡터 1/3, 2/3, 3/3과 V가 벡터 1/3, 2/3, 3/3과 벡터 2/3, 1/3, -2/3으로 생성된 공간이라고 할게요 이 두 벡터가 선형독립이고 둘 다 길이가 1이고 서로 직교하는 것을 이미 알고 있습니다 따라서 이렇게 써보도록 하죠 이것을 v1이라고 쓰고 이것을 v2라고 쓰면 v1, v2 집합은 V의 정규직교기저에요 이제 이 결과를 정사영을 찾는데 이용합니다 R3의 어떤 벡터 x의 부분공간 V에 대한 정사영의 변환행렬을 찾고자 합니다 그리고 부분공간은 R3의 평면이 됩니다 어떻게 될까요? 기존에 만든 것에서 결과를 찾을 수 있어요 이 둘을 열벡터로 가지는 행렬 A를 만들어야 합니다 따라서 1/3, 2/3, 2/3, 2/3, 1/3, -2/3 입니다 이 방식으로 A를 만들면 V에 대한 x의 정사영, 이 선형변환은 A 곱하기 A의 전치행렬 곱하기 벡터 x 로 나타낼 수 있습니다 그래서 변환행렬을 찾으려면 이 행렬을 이 행렬의 전치행렬과 곱하기만 하면 되요 해봅시다 이것을 복사하고 붙여넣겠습니다 좋아요, 여기다가 하죠 이것이 A이고요 이제 이것을 A의 전치행렬과 곱해야 해요 A의 전치행렬은 1/3, 2/3, 2/3, 1/3, 2/3, -2/3가 될거에요 2/3, -2/3가 될거에요 이게 A의 전치행렬이에요 이게 무엇과 같을까요? 3×2 행렬과 2×3 행렬을 곱하면 3×3 행렬이 됩니다 바로 여기에 있는 이것이 R3에서 R3로 가는 함수가 되기 때문에 그렇게 되는 겁니다 맞죠? 여러분이 저에게 R3 중 하나의 원소를 주고 저는 다른 원소를 주었습니다 그 원소는 V의 부분공간에 있고 V에 대한 x의 정사영이며 x와 가장 가까운 V의 원소입니다 그래서 어떻게 될까요? 이것은 3×3 행렬이 됩니다 3×3 행렬이 되요 그러면 여기 첫 번째 행을 첫 번째 열과 내적해 볼게요 1/3 × 1/3 = 1/9 + 2/3 × 2/3 1/9 + 4/9가 되죠 분모에 9가 많을 것 같으니 1/9을 앞으로 뺄게요 1/9 + 4/9 = 5/9가 되므로 여기에 5만 쓰면 되요 이것은 즉, 모든 값에 1/9을 곱한다는 것을 말해요 첫 번째 행과 열을 해봤고요 이제 첫 번째 행과 두 번째 열을 해볼게요 2/9 + 2/9가 되는 게 맞나요? 4/9입니다 첫 번째 행과 세 번째 열을 보면 2/9 - 4/9 = -2/9입니다 이제 두 번째 행으로 넘어가면 두 번째 행과 첫 번째 열을 보면 2/9 + 2/9 = 4/9가 됩니다 여기에 4를 쓸게요 그리고 2/9 + 1/9 = 3/9가 되요 두 번째 행과 열을 해 보면 2/3 × 2/3 = 4/9이고 + 1/9 = 5/9가 되요 4/9 - 2/9 = 2/9가 되고 이제 마지막 행이네요 지금 이렇게 하고 있는 것이 A의 전치행렬과 A와 역행렬을 직접 취하는 것에 비하면 훨씬 편합니다 지금은 A와 A의 전치행렬을 곱하는 중입니다 그래서 2/3 × 1/3 = 2/9에서 -4/9는 -2/9가 되겠네요 4/9 - 2/9 = 2/9가 되고 4/9 + 4/9 = 8/9가 되네요 따라서 이런 식으로 부분공간 V에 대한 R3의 임의의 벡터의 정사영의 변환행렬을 구할 수 있었습니다 이것이 과거에 했던 방법보다 덜 고통스러운 방법이에요