부분공간에 대한 정사영

지난 시간 동안 정사영에 대해 알아보았습니다 특히, 원점을 지나는 직선에 대해서 더 자세하게 알아봤었죠 예를 들어 어떤 벡터 v가 형성하는 직선 L이 있다고 해봅시다 아니면 그 대신 L를 v의 실수배를 모아놓은 집합이라고 할 수도 있겠죠 이 두 가지 모두 원점을 지나는 직선을 나타냅니다 그 직선에 대한 임의의 벡터의 정사영을 정의했었죠 그 직선으로의 임의의 벡터의 정사영을 정의했었죠 설명을 위해 한 번 그려보겠습니다 자, 우선 축을 그립니다 조금 더 곧게 그리고 싶군요 수직인 축과 수평인 축을 그립니다 수직인 축과 수평인 축을 그립니다 수직인 축과 수평인 축을 그립니다 이렇게 말이죠 이제 원점을 지나는 직선을 그려보겠습니다 저건 원점을 안 지나네요 지금 그리고 있는 직선은 원점을 지나고 있네요 L이라고 하죠 눈으로만 봐도 임의의 벡터 x의 직선 L로의 정사영은 이것을 벡터 x라고 한다면 시각적으로, 빛이 내리쬔다면 L위에 벡터 x의 그림자가 생기죠 이것이 바로 직선 L위에 생기는 벡터 x의 정사영입니다 이것이 바로 직선 L위에 생기는 벡터 x의 정사영입니다 전에 공식적으로 정의했죠 수직을 이용하면 벡터 x에서 그 정사영을 뺀 것이 직선 L에 수직이거나 L 위에 있는 모든 것에 수직하거나 직교함을 알게 됩니다 이를 시각화한 것이죠 직선 L 위에 생기는 일종의 그림자 같은 거죠 이것은 일반적인 정사영 중에서 특별한 경우입니다 이 경우에는 L이 유효한 부분공간이 됩니다 쉽게 증명할 수 있어요 이것은 영벡터를 포함하면서 원점을 지납니다 덧셈에 대해 닫혀있죠 즉, 한 원소와 다른 원소의 합은 또 다른 원소가 되는 것입니다 스칼라곱에 대해서도 닫혀있으므로 임의의 원소를 스칼라곱 해도 직선 L에 그대로 존재합니다 따라서 이것은 부분공간으로 정의됩니다 무엇이었는지 상기시키자면 어떤 직선 L에 대해서 그 정사영은 무엇인지 풀 수 있었습니다 원점을 지나는 직선 L에 대한 정사영을 생성하는 벡터 x에 대해서 그 값은 다음과 같습니다 직선에 대한 생성벡터 v에 대해서 x·v/v·v 입니다 분모는 사실상 v²이죠 따라서 이 수식 전체는 수로 이루어져 있고 직선과 같은 방향으로 만들고자 합니다 이것은 직선 위의 또 다른 벡터가 됩니다 따라서 벡터 v를 곱해줍니다 결국 생성벡터를 스칼라배 한 것이 되겠네요 그 생성벡터는 아마 이렇게 생겼을 것입니다 직선 위에 있는 어떤 벡터도 생성벡터가 될 수 있습니다 영벡터는 제외하고요 지금까지 특정 부분공간에서의 직선에 대한 정사영이었습니다 이번엔 임의의 부분공간에 대한 정사영의 정의를 확장해보도록 하죠 일단 구분짓기 위한 선 하나 긋고 시작합시다 일단 구분짓기 위한 선 하나 긋고 시작합시다 V가 Rⁿ의 부분공간이라면 V가 Rⁿ의 부분공간이라면 V의 여공간 또한 Rⁿ의 부분공간이 됩니다 V의 여공간 또한 Rⁿ의 부분공간이 됩니다 따라서 V의 직교여공간 또한 부분공간이죠 몇 가지 원소가 있다고 합시다 이렇게 써볼게요 V와 V의 직교여공간 이 두 부분공간이 있다면 앞서 배웠듯이 Rⁿ의 임의의 원소는 x를 Rⁿ의 원소라고 하면 x는 벡터 v와 벡터 w의 합으로 나타낼 수 있습니다 여기서 벡터v와 w는 각각 V와 V의 직교여공간의 원소입니다 이전 동영상에서 여러 번 언급됐었죠 Rⁿ의 임의의 원소에 대해서 성립한다는 것을 증명했어요 주어진 것처럼 v에 대한 x의 정사영은 직교하는 x의 두 부분에서 여기 이 v라고 정의할 수 있습니다 즉, V에 대한 정사영을 V에서 나온 x의 한 부분으로 정의합니다 바로 벡터 v로 말이죠 또한, v의 직교여공간에 대한 x의 정사영은 w라고 할 수 있습니다 따라서 이 벡터는 부분공간 V에 대한 정사영이고 이 벡터는 V의 직교여공간에 대한 정사영입니다 이 강의에서 하고 싶은 것은 두 가지 정의, 즉 이 정의와 함께 이 정의는 위에서 배운 내용과 동일합니다 다루고 있는 부분공간 V가 직선이라면 말이죠 왜냐하면 이것은 유효한 부분공간이기 때문이죠 하지만 모든 부분공간이 직선은 아닙니다 이에 대해 확인하려면 이전 강의의 예제를 다시 보면 돼요 이전 강의에서 A라는 2x2 행렬을 정의했었죠 그리고 A의 열공간의 원소인 벡터 b도 정의했죠 이 문제는 Ax = b의 가장 짧은 해가 행공간의 유일한 원소였다는 내용이었습니다 처음 풀었을 때의 기억을 되살리길 바랍니다 이 문제를 부분공간에 대한 정사영을 이용하여 바로 해결할 수 있도록 그래프로 한번 나타내 보겠습니다 이것은 문제를 다시 기억하는데 도움이 될 것입니다 이런 식으로 축을 그려보죠 이제 먼저 할 일은 다음과 같습니다 이전 강의에서 했었는데 두, 세 개 전 강의였던 것 같네요 A의 영공간 또는 Ax = 0을 만족하는 모든 x는 벡터 (2, 3)의 생성입니다 오른쪽으로 2만큼 가보죠 하나, 둘 그 다음, 3만큼 올라갑니다 하나, 둘, 셋 이것이 바로 벡터의 생성입니다 따라서 벡터의 생성은 모든 점입니다 저 벡터는 한 점만을 지칭하지만 말이죠 그런데 여기서 이 벡터를 상수배하면 이 직선 위의 모든 점들을 지칭할 수 있게 됩니다 이 직선의 모든 점을 말이죠 이렇게 그리겠습니다 적당하네요 저렇게 끝에서 휘면 안됩니다 반듯하게 그립시다 자, 이게 영공간입니다 행렬 A의 영공간이죠 그러면 행공간은 벡터 (3, -2)의 생성입니다 저기 보이죠 (3, -2)가 첫 번째 행입니다 이 행은 저 행의 상수배네요 그래서 이 행을 생성에 포함하지 않는겁니다 (3, -2)를 그려보죠 오른쪽으로 3칸, 아래로 2칸 이동합니다 이것은 저기 보이는 벡터의 생성이 됩니다 그려볼게요 이제 저 벡터를 상수배한 것 모두를 원점을 기준으로 둡니다 그 벡터들의 종점은 직선 위의 점에 놓이게 됩니다 그 벡터들의 종점은 직선 위의 점에 놓이게 됩니다 이 직선 말이죠 최대한 직교하도록 그립니다 따라서 이것이 바로 행공간입니다 이것이 A의 행공간이고 A의 전치행렬의 열공간과 같습니다 또한 이들은 서로에 대한 직교여공간입니다 여러 강의에서 확인했듯이 A의 영공간은 행공간의 직교여공간입니다 또한 영공간의 직교여공간은 행공간과 같습니다 여기 있는 모든 것이 저기 있는 모든 것에 수직입니다 또한 저기 있는 모든 것이 여기 있는 모든 것에 수직이고요 이 그래프를 통해 알 수 있습니다 원점을 지나는 두 직선으로 표현된 두 공간은 서로 수직입니다 강의 초반에 언급했듯이 이 상황에서 R²의 어떠한 것도 행공간의 특정 원소와 직교여공간의 특정 원소의 합으로 나타낼 수 있습니다 여기 한 점이 있습니다 이 점이 이 직선 위의 점과 저 직선 위의 점의 합이라는 것을 어떻게 나타낼 수 있을까요? 이 직선을 따라가면 여기 이 벡터가 나옵니다 직선 위의 벡터가 나오죠 여기에도 벡터가 있습니다 이것을 이동시켜 볼까요 이 벡터는 원점을 기준으로 그렸지만 원하는 곳 어디든지에 벡터를 그릴 수 있죠 이 직선들은 원점을 기준으로 그려진 모든 벡터를 모아놓은 것입니다 첫 번째 혹은 두 번째 벡터 강의에서 배웠죠 벡터는 원하는 곳 어디든지에 그릴 수 있습니다 따라서, 이 두 벡터를 더한다면 이 벡터를 옮길 수 있으므로 여기에 위치하게 됩니다 이렇게요 R²의 임의의 점에 대해서 행공간의 원소와 행공간의 직교여공간 또는 영공간의 원소의 합으로 나타낼 수 있습니다 그러나, 다시 한번 돌아가서 이 문제에서 원래 했던 것은 이 해집합을 찾는 것입니다 해집합은 이렇게 생겼습니다 특정 해와 영공간의 원소, 그리고 동차해의 합이죠 이전 강의에서 공부했습니다 따라서 (3, 0)은 이렇게 생겼고 여기에 영공간의 원소를 더합니다 따라서 해집합은 이것과 평행할 것입니다 대신 오른쪽으로 3만큼 이동하겠죠 좀 더 깔끔하게 그려볼게요 좀 더 깔끔하게 그려볼게요 그러면 이런 식으로 내려갑니다 여깄네요 다시 그릴게요 좋아요, 해집합이 나왔습니다 혹시 그 강의를 기억하나요 행공간의 원소이기도 한 이 해집합의 어떤 원소는 가장 길이가 짧은 해가 된다고 했죠 이렇게 시각적으로 나타낼 수 있어요 맞죠? 바로 이 벡터죠 행공간 안에 존재해요 즉, 행공간의 원소입니다 또한 해집합의 한 점이기도 합니다 따라서 이것이 가장 짧은 해라는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다 이렇게 생각하면 이것은 정사영입니다 다른 색으로 할게요 해집합의 어떠한 해도 여길 봅시다 이것을 해집합의 임의의 원소라고 해봅시다 그렇죠? 이것은 R²에 있는 한 점이고 R²의 어떤 점이든 행공간의 어떤 벡터와 영공간의 어떤 벡터의 합으로 나타낼 수 있습니다 그러면 이 벡터를 가지고 어떻게 하면 되죠? 이 벡터를 이 벡터와 저 벡터의 합으로 나타낼 수 있어요 이 벡터를 이 벡터와 저 벡터의 합으로 나타낼 수 있어요 그리고 여기 이 백터가 명백하게 영공간의 원소입니다 그리고 여기 이 백터가 명백하게 영공간의 원소입니다 방금 평행이동시켰죠 이 직선은 원점을 기준으로 그릴 때만 나타납니다 제가 가리키고 있는 이 벡터는 만약 행공간의 원소를 영공간의 원소에 더한다면 해집합의 임의의 해를 갖게 됩니다 이것을 행공간에 정사영하면 바로 이것이 됩니다 두 가지 방법으로 생각해 볼 수 있는데 이것은 해입니다 또한 여기 이 해는 행공간의 원소와 영공간의 원소의 합과 같습니다 이것의 행공간이고 저것이 영공간이죠 따라서 주어진 부분공간에 대한 정사영의 정의에 의해서 해의 행공간에 대한 이 해의 정사영은 해의 행공간에 대한 이 해의 정사영은 다름아닌 첫 번째 벡터와 같죠 행공간에 있는 이 성분과 같습니다 다른 성분은 행공간의 직교여공간에 있습니다 아니면 영공간에 있겠죠 따라서 이것은 벡터 r이 됩니다 그렇다면, 이것은 필연적으로 이전에 내린 정의와 같다는 것을 보입시다 이것이 직선에 대한 정사영의 정의와 일치한다는 것이죠 왜냐하면 이 경우는 부분공간이 직선이기 때문입니다 이제 해집합을 찾아봅시다 가장 쉽게 찾을 수 있는 해는 C를 0으로 놓는 겁니다 이미 x = [3 0]이 여러 해 중 하나라는 것을 알고 있기 때문에 x = [3 0]을 다음과 같이 표현할 수 있습니다 따라서 x = [3 0]은 해가 됩니다 이제, 가장 짧은 해를 구해봅시다 아니면 행공간에 대한 x의 정사영을 구해보죠 원한다면, 이 직선에 대한 x의 정사영을 구해 봐도 됩니다 이 직선은 행공간입니다 그럼 해볼까요 이번 시간에 여러분에게 소개한 부분공간에 대한 정사영의 정의는 직선에 대한 정사영의 정의와 완벽하게 동일하거나 그렇지 않다면 어느 정도 일치한다는 것을 보여주기 위해 이러한 과정을 거치고 있습니다 부분공간이 직선일 필요가 없기 때문에 이런 경우가 더 일반적입니다 하지만 이 경우는 직선이죠 자, 해봅시다 행공간에 대하여 벡터 [3 0]을 정사영시킨 것은 행공간이 직선이기 때문에 앞의 공식을 이용하면 [3 0]과 행공간의 생성백터의 내적과 같습니다 그렇죠? 행공간에 대한 생성벡터와의 내적입니다 그러면 [3 -2]가 되네요 행공간에는 수많은 생성벡터가 있죠 그 중에서 하나를 고른 것 뿐입니다 따라서 여기에 [3 -2]를 내적한 값을 생성벡터 스스로 내적한 값으로 나눕니다 [3 -2]·[3 -2] 그러면 하나의 큰 스칼라값이 될 것이고 그 값에 생성벡터를 곱합니다 사실상 상수배하는 것이겠죠 따라서 이것은 행공간에 대한 이 해의 정사영입니다 이 벡터가 나와야겠죠 직선에 대해 정사영하는 것이고 이 부분공간의 행공간은 직선이기 때문입니다 또한 선형정사영을 사용하였죠 선형변환을 처음 했을 때 이걸 소개했었죠 이것을 계산하면 3×3 + 0×(-2) 따라서 9가 되겠죠 이것은 3×3 + (-2)×(-2) 입니다 즉, 9 + 4 = 13 입니다 그러므로 이 벡터의 9/13배가 됩니다 즉, (9/13)×[3 -2]이죠 즉, (9/13)×[3 -2]이죠 계산하면 [27/13 -18/13]이 됩니다 바로 이 벡터에요 직선에 대한 정사영을 사용하지 않았지만 정확한 답을 얻을 수 있었습니다 전에 했던 것과 정확히 일치하지 않나요 직선에 대한 정사영을 이용했어요 또한, 새롭고 확장된 정사영의 정의와 일치합니다 또한, 새롭고 확장된 정사영의 정의와 일치합니다 직선에 대하여 접근했기 때문에 이렇게 풀 수 있었습니다 하지만 여기선 임의의 부분공간에 대한 정사영을 원하죠 직선에 대하여 하는 방법은 알지만 임의의 부분공간에 대한 방법을 어느 정도까지만 정의하였습니다 그러나 직선에 대한 것이 아닐 때의 정사영에 대해 수학적으로, 혹은 계산적으로 적절한 접근 방법을 설명하지는 못했죠 사실 이게 명확히 선형변환인지 조차도 일반화하여 설명하지 못했습니다 직선에 대해 정사영하면 선형변환이 되는 것을 알아요 그러나 임의의 부분공간에 대하여 정사영할 때 선형정사영이 나오는지도 보여주지 않았어요 다음 시간에 알아보도록 하죠