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동영상 대본

데카르트 좌표들이 여기있습니다 첫번째는 -1,0 입니다 먼저 그려놨습니다 그래서 이 포인트느 -1, 0 입니다 새로운 색으로 보여드리겠습니다 그 다음 포인트는 0,1 입니다 이 포인트 말입니다 그 다음 포인트는 1,2 입니다 이 포인트입니다 그리고 마지막 포인트는 2,1 입니다 이 동영상의 목적은 이 포인트들을 지나는 y=mx+v 선을 찾는 것입니다 이 좌표를 시각적으로 봤을 때 당신은 이 모든 포인트들을 지나는 선은 없다고 할 수 있습니다 이 포인트들은 지나는 선들은 있을 수 있으나 모든 포인트를 지나는 선은 없습니다 이 두 포인트들을 지나는 선을 만들면 다른 포인트들을 지나지 않습니다 그래서 이 모든 포인트들을 지나는 해를 못 찾습니다 해를 못 구해도 한번 식은 써보겠습니다 그리고 최소제곱 근사값을 이용해 이 모든 점들은 거의 지나가는 선을 찾아보겠습니다 적어도 이 방법은 이 모든 점들을 지나는 선의 최고의 근사값을 찾을 겁니다 그 선을 y=mx+b 라고 표현하겠습니다 이것을 f(x)=mx+b 로도 표현할 수 있습니다 y=f(x)=mx+b 이렇게도 쓸 수 있습니다 이 첫번째 포인트는 오렌즈색으로 보여드리겠습니다 이 포인트는 f(-1)=-m+b로 표현할 수 있습니다 포인트가 x축 위에 있으니 f(-1)=0 입니다 이게 이 첫번째 포인트에 대한 식입니다 두번째 식은 f(0)=0×m+b 입니다 f(0)=1 이므로 f(0)=b=1 입니다 이건 x고 이건 f(x) 입니다 다음은 노란색으로 하겠습니다 이건 f(1)=1×m+b 입니다 여기서 f(1)=2 이므로 f(1)=m+b=2 입니다 마지막 f(2)=2×m+b 입니다 f(2)=1 이므로 f(2)=2m+b=1 입니다 이것들이 제약들입니다 만약 임의의 선이 이 포인트들을 모두 지난다고 가정하면, 이 모든 식은 성립해야 합니다 이 식을 한번 풀어 볼 수는 있으나 해를 못 찾을 겁니다 이 식들을 만족하는 m들이랑 b들을 찾아야 합니다 다르게 표현하면 행렬벡터 또는 행렬식을 써야합니다 이렇게 쓸 수 있겠네요 -1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1 곱하기 벡터 m, b는 벡터 0, 1, 2, 1이여야 합니다 여기 있는 식이랑 이 식은 동일한 식입니다 -m+b=0 입니다 0×m+b=1 입니다 이건 이 식이랑 동일합니다 이건 해가 없습니다 모든 포인트들을 지나는 해는 없습니다 하지만 최소제곱 해를 구해보겠습니다 이걸 A라고 하고 이걸 x라고 하면 이걸 b라고 하면 이 식을 성립하는 해는 없습니다 하지만 최소제곱 해를 찾을 수 있을 겁니다 그럼 최소제곱 해 x*를 찾아보겠습니다 A 전치 A 곱하기 x*는 A 전치행렬 곱하기 b입니다 최소제곱 해는 이 식을 만족하는 해여야 합니다 이건 이전 동영상에서 증명했습니다 그럼 A 전치 A 뭐고 A 전치 b는 뭔지 풀어보겠습니다 A 전치행렬은 이렇게 생겼습니다 -1, 1, 0, 1, 1, 1 그리고 2,1 입니다 첫번째 열은 첫번째 행이되고 두번째 열은 두버째 행이됩니다 이제 A 전치행렬 곱하기 A를 풀어보겠습니다 A는 위에 정의 돼 있습니다 A는 -1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1 입니다 이것들의 곱은 뭘까요? 2×4 행렬 곱하기 4×2 행렬입니다 그럼 결과는 2×2 행렬입니다 여기에 풀어보겠습니다 -1 곱하기 -1는 1 입니다 더하기 0 곱하기 0 더하기 1 곱하기 1입니다 여기까지는 2입니다. 그럼 2 더하기 2 곱하기 2 입니다 그럼 4 더하기 2 이므로 6입니다 이 행 곱하기 이 열은 6입니다 그럼 이제 이 열과 이 행의 곱을 구해보겠습니다 이건 -1 곱하기 1 더하기 0 곱하기 1입니다 이 행의 성분들 곱하기 1입니다 -1 더하기 1은 0 더하기 2는 2 입니다 이 행 곱하기 이 열은 2입니다 이제 두번째 행과 첫번째 열을 곱해줘야합니다 1 곱하기 -1 더하기 1 곱하기 0 더하기 1 곱하기 1 더하기 1 곱하기 2입니다 이 열의 성분들을 그냥 1들과 곱하고 더하는 것입니다 -1 더하기 0 더하기 1은 0입니다 0 더하기 2는 2입니다 이제 좀 대칭성이 보이실 겁니다 마지막으로 두번째 행과 두번째 열을 곱할 겁니다 그럼 뭘까요? 1 곱하기 1은 1 더하기 1 곱하기 1은 2입니다 2 더하기 1 곱하기 1은 3입니다 4개의 1을 더하니까 결과는 4입니다 그래서 이건 A 전치 A 입니다 그럼 이제 A 전치 b가 뭔지 찾아보죠 좀 내려가서 다른 색으로 풀겠습니다 A행렬의 전치는 이것입니다 -1, 0, 1, 2 그리고 이 밑의 행은 모두 1 입니다 그럼 행렬 b는 0, 1, 2, 1 입니다 그럼 2×4 행렬 곱하기 4×1 행렬은 2×1 행렬입니다 이 행렬들의 곱은 2×1 행렬입니다 그럼 -1 곱하기 0은 0 더하기 0 곱하기 1은 0입니다 더하기 1 곱하기 2 더하기 2 곱하기 1는 4입니다 그럼 2 더하기 2는 4입니다 그리고 1 곱하기 0 더하기 1 곱하기 2 그래서 이 행의 1들이랑 이 열의 성분들이랑 곱하는 것입니다 그럼 0 더하기 1은 1, 1 더하기 2는 3 3 더하기 1은 4 입니다 그래서 이게 A 전치 b입니다 이 시스템의 해는 최소제곱의 해입니다 6, 2, 2, 4 곱하기 최소제곱 해 x* s 는 4, 4 입니다 이렇게도 쓸 수 있습니다 6, 2, 2 , 4 곱하기 최소제곱 해는 이렇게 쓸 수 있습니다 최소제곱 해도 위에서 썼던 것 처럼 행렬로 표현할 수 있습니다 첫번째 성분은 m이였습니다 이번에는 m*로 쓰겠습니다 이건 최소제곱 m이고 이건 최소제곱 b입니다 이것은 4, 4 입니다 이걸 첨가행렬 또는 연립방정식으로 풀 수 있습니다 연립방정식이 더 쉽겠네요 그럼 그렇게 하겠습니다 이걸 연립방정식으로 쓰면 6 곱하기 m* 더하기 2 곱하기 b*는 4입니다 그리고 2 곱하기 m* 더하기 4 곱하기 b*는 4입니다 그럼 m*와 b*에 대해 풀어보겠습니다 그럼 위 식을 2로 곱해보겠습니다 이건 그냥 고등학교 대수학입니다 곱하기 2하면 어떻게 돼죠? 12m*+4b*=8 이 됩니다 위 식을 이로 곱했습니다 그럼 심홍색으로 돼 있는 식을 -1로 곱하겠습니다 그럼 이 모든 항들이 -1가 됩니다 그럼 이 식들을 더하면 -2m* 더하기 12m*는 10m* 입니다 그리고 -4b 더하기 4b는 소거됩니다 그럼 10m*=4 이므로 m*=2/5 입니다 그럼 m*를 2/5로 치환하면 이렇게 될 겁니다 이건 그냥 고등학교 대수학으로 풀 수 있습니다 6 곱하기 m*, 그럼니까 6 곱하기 2/5 더하기 2 곱하기 b*은 4입니다 이게 하얀색말고 노란색으로 설명드리겠습니다 그럼 12/5+2b*=4 조금 더 밑에서 설명드리겠습니다 이 위의 식을 다음과 같이 정리할 수 있습니다 2b*=20/5-12/5 로 쓸 수 있습니다 양변을 12/5를 빼주면 그렇게 됩니다 그래서 2b*=8/5가 됩니다 이제 양변을 2로 나누면 b*=4/5가 됩니다 이렇게 m*와 b*를 찾았습니다 그러므로 최소제곱 해는 2/5랑 4/5입니다 m*=2/5이고 b*은 4/5입니다 이 최소제곱 해를 구한 건 모든 포이트를 지나는 선의 식을 찾기 위해서 였습니다 y=mx+b입니다 위에 있는 모든 포인트들을 지나는 선은 못 구하겠지만 이건 최소제곱 해입니다 이건 전치 A 곱하기 벡터랑 b의 거리를 최소하한다 어떠한 벡터도 전치 A를 곱했을 때 b에 더 가까운 해를 구하지 못합니다 이 동영상에서 찾은 x*만 최고의 해를 구할 것입니다 x*은 b랑의 거리를 최소화 할 겁니다 한번 써보겠습니다 y=mx+b입니다 그럼 y=2/5x+2/5입니다 그럼 한번 y=2/5x+2/5를 그려보겠습니다 y 절편은 2/5입니다. 여기겠죠 이게 1이니까 아마 2/5는 여기 일 것입니다 그리고 기울기는 2/5입니다 이렇게 생각하겠습니다. 2.5씩 오른쪽으로 가면 위로 1만큰 올라갑니다 그래서 2.5 만큼 오른쪽으로 가면 이렇게 1만큰 위로 갑니다 정확하지는 않지만 우리가 구한 선은 이렇게 생겼을 겁니다 그리는 게 이 주제의 가장 큰 재미이니까 이 선을 정확히 그리고 싶습니다 아마 이렇게 생겼을 겁니다 이 선은 이 모든 포인트를 지나는 최소제곱 근사값입니다 이것보다 더 작은 에러를 가지고 있는 선 못 찾으실 겁니다 적어도 에러를 이 벡터랑 A곱하기 x*의 거리로 정의하면요 여하튼, 이게 도움이 되면 좋겠습니다