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평면에 대한 정사영 시각화

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이번 수업은 예전에 배운 정사영과 지금 배울 새로운 정사영의 개념을 비교해볼 거에요 먼저 전에 배웠던 직선 l에 대한 벡터 x의 정사영은 직선 l에 속한 어떤 벡터인데 이 때 이 벡터를 x에서 빼서 나온 벡터는 직선 l과 직교합니다 이 상황을 그림으로 그려보면 직선 l은 이렇고요 여기에 투영할 벡터 x를 그릴게요 여기에 투영할 벡터 x를 그릴게요 이게 x에요 직선 l에 대한 x의 정사영은 l 위에 있는 어떤 벡터이고 이 때 x에서 이 벡터를 뻬서 나온 벡터는 직선 l과 직교합니다 직선 l에 있는 어떤 벡터입니다 참고로 이건 이전에 배운 직선에 대한 정사영의 정의에요 참고로 이건 이전에 배운 직선에 대한 정사영의 정의에요 l 위의 어떤 벡터 여기있다고 합시다 x에서 이것을 빼면 그 벡터는 l 위의 모든 벡터와 직교할 겁니다 그 벡터는 l 위의 모든 벡터와 직교할 겁니다 그 벡터는 l 위의 모든 벡터와 직교할 겁니다 바로 이렇게 말이에요 이 노란색 선이 바로 그 벡터에요 x - (직선 l에 대한 x의 정사영) 입니다 그리고 여기 있는 벡터를 봅시다 지금 정의한 벡터죠 바로 x의 l에 대한 정사영입니다 이것을 어떻게 다르게 나타낼 수 있을까요? 이것을 어떻게 다르게 나타낼 수 있을까요? 똑같은 의미의 정의를 다르게 나타내보면 l 위에 있는 벡터이고 보라색으로 다시 쓸게요 l 위에 있는 벡터 v이고 이 때 x - v x - l에 대한 정사영 = w 이고 w는 l에 있는 모든 벡터와 직교한다 l에 직교한다는 건 l위에 있는 모든 벡터와 직교한다는 뜻이에요 l에 직교한다는 건 l위에 있는 모든 벡터와 직교한다는 뜻이에요 정의를 살짝 바꿨어요 x의 l에 대한 정사영이라고 하기보다 직선 l 위에 있는 어떤 벡터 v이고 x - v는 다른 어떤 벡터 w와 같고 이 때 w는 l 위의 모든 벡터와 직교한다 라고 바꿨어요 또 다르게 나타낼 수도 있어요 예를 들면 x = v + w x의 l에 대한 정사영은 l에 있는 고유 벡터 v이고 이 때 x = v + w 이고 w는 l의 직교여공간 위의 고유 벡터입니다 이 때 x = v + w 이고 w는 l의 직교여공간 위의 고유 벡터입니다 이 때 x = v + w 이고 w는 l의 직교여공간 위의 고유 벡터입니다 맞죠? w는 l에 있는 모든 벡터와 직교해야 합니다 따라서 w는 l의 직교여공간에 속해있습니다 따라서 w는 l의 직교여공간에 속해있습니다 이 정의는 사실 오늘 새로 배울 부분공간의 정의와 완전히 일치합니다 이 정의는 직선뿐만 아니라 임의의 부분공간에 적용할 수 있습니다 이 정의는 직선뿐만 아니라 임의의 부분공간에 적용할 수 있습니다 함께 그림으로 그려봅시다 어떤 벡터공간 R3이 있다고 합시다 어떤 벡터공간 R3이 있다고 합시다 R3에 어떤 부분공간이 있습니다 이 부분공간은 평면입니다 평면인 부분공간을 만들어서 정사영은 직선에만 하는게 아니란걸 보여줄게요 이 사각형은 부분공간 V에요 이 부분공간의 직교여공간을 그려볼게요 이렇게 생겼다고 합시다 이렇게 생겼다고 합시다 직선입니다 평면 V와 여기서 만납니다 그리고 통과합니다 둘은 당연히 영벡터 만날겁니다 부분공간과 그 직교여공간이 만나는 유일한 지점이니까요 직선은 평면을 통과해서 뒤로 나와 있어요 이 평면은 모든 방향으로 무한히 뻗어 있기 때문에 뒤로 통과한 직선은 안 그리는게 옳지만 어떤 개념인지는 알겠죠? 이 직선이 바로 V의 직교여공간입니다 이제 R3에 어떤 임의의 벡터를 그려봅시다 이제 R3에 어떤 임의의 벡터를 그려봅시다 이 벡터를 x라고 합시다 이 x의 V에 대한 정사영은 새로운 정의에 의하면 고유 벡터 v와 같습니다 이것이 벡터 v입니다 부분공간 v이지요 고유 벡터 v는 V에 속해있고 이 때 x = v + w이고 w는 V의 직교여공간의 고유 벡터입니다 이 때 x = v + w이고 w는 V의 직교여공간의 고유 벡터입니다 이것이 바로 새로운 정의에요 x가 V와 V┴의 고유 벡터의 합으로 이루어져 있다고 정의하면 그림으로 더 직관적으로 알아볼 수 있어요 그럼 V에서는 이 벡터를 v라고 하고 V┴에서는 이 벡터가 w입니다 V┴에서는 이 벡터가 w입니다 수직 벡터를 이동시키면 이 쪽에 옵니다 수직 벡터를 이동시키면 이 쪽에 옵니다 여기가 바로 v입니다 여기가 바로 v입니다 그리고 평면을 뚫고 수직 방향으로 올라가는 벡터가 w입니다 그리고 평면을 뚫고 수직 방향으로 올라가는 벡터가 w입니다 그림을 통해 v + w = x임을 알 수 있습니다 또 v는 x를 V에 대해 투영한 벡터임을 알 수 있습니다 또 v는 x를 V에 대해 투영한 벡터임을 알 수 있습니다 또 v는 x를 V에 대해 투영한 벡터임을 알 수 있습니다 여기서도 정사영을 그림자에 빗댈 수 있어요 빛을 부분공간을 향해 수직으로 쏴주면 빛을 부분공간을 향해 수직으로 쏴주면 이 때 생기는 그림자를 정사영이라고 생각해도 돼요 이렇게 생각하니까 좀 쉽죠? 이제는 범위를 넓혀서 정의를 일반화 할 겁니다 앞에서 직선의 정사영을 했고 방금 평면을 했어요 임의의 부분공간에 대해서 구할 수 있어요 이 그림은 R3이지만 이제 Rn 또는 R100으로 넓힐 수 있어요 먼저 그림으로 그려보는 건 이래서 매우 유용해요 이렇게 평면일 때 머릿속에 떠올리기는 쉽지만 차원이 높아질수록 점점 어려워집니다 넘어가기 전에 하나 짚고 가죠 이 새로운 정의가 직선을 예로 든 정의와 거의 똑같다는 걸 보여줄게요 이 위의 정의는 곧 다음과 같아요 x의 V에 대한 정사영은 V에 있는 어떤 고유 벡터이고 x - x의 V에 대한 정사영은 V에 있는 모든 벡터와 직교합니다 이 밑줄 친 문장은 이런 뜻이에요 V에 속한 모든 벡터와 직교한다는 것은 V의 직교여공간에 속한 벡터라는 것과 똑같아요 따라서 이 문장은 이렇게 나타낼 수 있어요 x - x의 V에 대한 정사영 ∈ V┴ 곧 w와 같죠 이 부분을 v라고 하고 이 모든 부분을 w라고 한다면 위의 이 정의와 완전히 똑같습니다 파란색을 다시 쓰면 w = x - v 그리고 양변에 v를 더하면 w + v = x 그리고 양변에 v를 더하면 w + v = x v는 x를 V에 대해 투영한 벡터라고 정의했습니다 v는 x를 V에 대해 투영한 벡터라고 정의했습니다 w는 V의 직교여공간에 속한 벡터입니다 여기서 헷갈리지 마세요 벡터 v는 부분공간 V에 대한 벡터 x의 정사영입니다 벡터 v는 부분공간 V에 대한 벡터 x의 정사영입니다 다음에는 소문자 v 대문자 V 대신 다른 알파벳을 써야겠어요 비슷해서 헷갈리네요 이번 수업에서는 직선 대신에 다른 부분공간에 대한 정사영을 그림으로 그려서 알아보았어요 그리고 이전에 배운 직선에 대한 정사영 즉 일차변환의 정의가 방금 본 새로운 정의와 같다는 걸 배웠어요 다음 수업에서는 모든 임의의 부분공간에 대한 정사영이 일차변환이라는 걸 증명할 겁니다