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정사영은 부분공간에서 제일 가까운 벡터라는 것을 확인하기

동영상 대본

어떤 부분공간 V를 가정해 봅시다 R3 내의 평면입니다 잘 그릴 수 있는지 어디 봅시다 우리가 다룰 부분공간입니다 충분히 잘 그린 것 같습니다 하지만 더 잘 그려 보겠습니다 됐습니다 R3 내의 평면을 그렸습니다 V를 그렸습니다 부분공간입니다 또 다른 벡터 x가 R3 내에 있습니다 이런 식으로 생겼습니다 벡터 x입니다 이 동영상에서는 벡터 x를 부분공간 V 위로 투영하는 것이 여기에 영벡터가 있다고 하겠습니다 x를 부분공간에 투영하는 것이 부분공간에서 x로의 가장 근접한 벡터임을 보이고자 합니다 한번 그려 보면 더 이해하기 쉬울 것입니다 x를 부분공간에 투영하면 이런 식으로 보일 것입니다 이렇게 보입니다 이 녹색 벡터가 벡터 x를 부분공간 V에 투영한 것입니다 벡터 x를요 임의의 다른 벡터를 부분공간 위에 가정하겠습니다 이렇게 생긴 벡터라고 합시다 부분공간 내의 임의의 벡터일 뿐입니다 조금 다르게 그리겠습니다 이런 식으로요 벡터 v라고 하겠습니다 부분공간 내의 또 다른 벡터입니다 평면 위에 있습니다 이제 보이고자 하는 것은 x와 x를 V에 투영한 벡터 간의 거리가 x와 또 다른 어떤 벡터와의 거리보다 가깝다는 것입니다 x와 다른 벡터들과의 거리 명백히 아까 그린 벡터와의 거리가 방금 그린 벡터와의 거리보다는 짧아 보입니다 그러나 이는 방금 그린 특정한 벡터와의 비교였습니다 이러한 특성이 모든 벡터에 대한 것임을 증명하겠습니다 그래서 증명하고자 하는 내용은 x와 x를 부분공간으로 투영한 벡터간 거리입니다 그리고 이를 구하기 위해서는 벡터 x에서 x를 부분공간으로 투영한 벡터를 뺀 값의 길이를 구해야 합니다 이 식에서 나타낸 길이는 여기 이 길이입니다 이 길이를 의미합니다 x에서 x를 V에 투영한 벡터를 빼면 여기 이 벡터가 됩니다 다른 색으로 나타내겠습니다 같은 색을 너무 자주 사용하고 싶지는 않아요 이 선이 그 벡터가 될 것입니다 이 벡터를 a라고 합시다 이는 V의 직교여공간에 있는데 a가 부분공간과 직교하기 때문입니다 그리고 이는 투영의 정의이므로 a가 됩니다 여기서 보이고자 하는 것은 이 거리가 제일 짧은 거리라는 것입니다 가능한 모든 거리가 이 길이 이상이라는 것인데 x와 v간의 거리이고 v는 평면에 속합니다 이 거리가 되겠네요 여기 벡터가 있으므로 이 길이가 한번 이 벡터를 그려 보겠습니다 벡터 x에서 v를 빼면 이렇게 생겼습니다 이런 식으로 나옵니다 벡터 x에서 v를 뺀 값입니다 맞나요? v를 x-v에 더하면 x가 됩니다 그래서 보이고자 하는 것은 이 길이 a의 길이인 x와 x의 투영 간 거리가 항상 x와 부분공간 내의 다른 벡터와의 거리보다 같거나 짧다는 것입니다 이는 x-v입니다 이 식을 증명할 수 있는지 보겠습니다 이 거리의 제곱을 취해 봅시다 x의 제곱을 취하면 이런 식으로 해 보겠습니다 x-v의 거리의 제곱을 알아보고자 합니다 x는 R3내의 어떤 벡터이고 v 역시 R3내의 어떤 벡터로 부분공간에 포함됩니다 이 평면 위에 있습니다 그렇다면 x-v의 제곱이 어떻게 될까요? x-v는 이 벡터와 같습니다 새로운 벡터를 그려 보겠습니다 어떻게 되느냐 하면 노란색으로 그리겠습니다 이 벡터와 같습니다 이 벡터는 노란색 벡터와 a를 더한 것과 같습니다 맞나요? x-v는 이 자홍색 벡터로 여기서 시작해서 여기로 갑니다 노란색 벡터와 주황색 벡터의 합과 같습니다 이 노란색 벡터를 b라고 합시다 b가 무엇과 같은가요? b는 이 벡터 이 초록색 벡터 x를 V에 투영한 벡터에서 보라색 벡터를 뺀 값 이 연보라색 벡터를 뺀 값이요 여기서 v를 뺀 값과 같습니다 b값입니다 그래서 x-v를 벡터 a와 b의 합으로 나타낼 수 있습니다 그래서 x-v는 a+b와 같습니다 그래서 x-v의 제곱은 a+b의 제곱과 같습니다 이는 a+b를 a+b와 내적한 값이 되며 b와 b의 내적과 더 깔끔하게 적어 보겠습니다 이 아래쪽에 말입니다 이 값은 b와 b의 내적과 더하기 b와 a의 내적 더하기 a와 b의 내적 그래서 2 곱하기 a와 b의 내적 더하기 a와 a의 내적 a와 b가 명백히 직교합니다 b는 부분공간 내의 두 벡터의 차이입니다 부분공간이 덧셈과 뺄셈에 대해 닫혀 있습니다 그래서 b 또한 부분공간의 구성원입니다 a는 정의상 부분공간의 모든 것들에 대해 직교합니다 따라서 a와 b와 직교하기 때문에 정의상 b가 부분공간의 직교여공간에 있기 때문입니다 이 값은 0이 됩니다 그리고 이 값은 b의 길이의 제곱으로 간단히됩니다 그리고 여기 이 값은 a의 길이의 제곱이 됩니다 이를 통해 x와 부분공간 내의 임의의 벡터와의 거리의 제곱이 b의 길이의 제곱과 a의 길이의 제곱의 합이 된다는 것을 알게 되었습니다 a는 벡터 x와 x를 투영한 벡터와의 거리입니다 맞나요? a의 정의였습니다 a는 벡터 x와 x를 투영한 것 간의 거리였습니다 여기 이 수는 최소 0이거나 양수가 됩니다 그래서 이 값은 a의 제곱과 같거나 그 이상이 됩니다 다르게 말하자면 x와 v간의 거리의 제곱이 a의 제곱 이상이 된다는 것입니다 혹은 x-v의 길이가 이는 여전히 양수인데 왜냐하면 길이는 항상 0 이상이기 때문입니다 이 길이가 벡터 a 이상이라는 것입니다 혹은 벡터 a의 길이는 어떻게 되나요? a는 여기 이 값입니다 결과를 적어보겠습니다 벡터 x-v의 길이 혹은 벡터 x에서 부분공간 내 임의의 벡터와의 거리는 항상 벡터 a의 길이 이상인데 a는 x와 x를 부분공간 위로 투영한 벡터와의 거리입니다 다 끝났습니다 증명을 마쳤습니다 그리고 처음의 그림이 암시했듯이 x를 V로 투영하는 것이 x와 부분공간과의 가장 가까운 벡터입니다 V 내의 다른 벡터들과 R3에서 임의로 고른 벡터인 x와의 거리보다 더 가깝습니다 그리고 이를 여기서 증명했습니다