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정사영 행렬의 다른 예제

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어떤 부분공간 V가 있다고 합시다 이 V 안에 벡터가 여러 개 있습니다 이렇게 써볼까요? [ x1, x2, x3 ] 세 벡터가 있어요 벡터는 다음과 같은 조건을 만족해요 x1 + x2 + x3 = 0 이것은 R3 상의 평면입니다 이 부분공간 V는 R3의 평면입니다 여기서 변환행렬을 구하고자 합니다 R3에 있는 어떤 벡터 x의 V에 대한 투영 행렬의 변환행렬이죠 어떻게 구해야 할까요? 지난번 수업에서 배운 대로 해도 돼요 그 방법대로 이 부분공간의 기저를 찾을 수 있어요 그리 어렵지 않아요 x1, x2, x3가 있으면 x2와 x3를 자유변수라고 합시다 이 때 x1 = -x2 - x3 라고 정의합시다 이를 매개변수식으로 나타내기 위해 즉 기저벡터의 결합으로 해를 나타내기 위해 x2 = c2 라고 합시다 c2는 어떤 임의의 상수입니다 또 x3를 어떤 임의의 상수 c3라고 합시다 또 x3를 어떤 임의의 상수 c3라고 합시다 그러면 V는 다음과 같다고 할 수 있어요 V = { [x1, x2, x3] }이고 이것은 c2와 x 위에 다시 써볼게요 x2는 c2와 같고 x3는 c3과 같아요 x1 = -c2-c3 이에요 그렇다면 x1은 -1 × c2 이고 더하기 c3 곱하기 무엇일까요? 더하기 c3 · -1 이제 x2는 무엇과 같을까요? x2 = c2에요 따라서 1 · c2 + 0 · c3 이고 x3 = c3이니까 0 · c2 + 1 · c3 x3 = c3이니까 0 · c2 + 1 · c3 부분공간을 이렇게도 정의할 수 있어요 아래 조건을 만족하는 벡터는 위에 정의한 것과 같아요 이 공간안의 벡터는 벡터성분이 이 조건을 만족하거나 이 평면 위에 놓인 벡터에요 c1, c2는 임의의 실수에요 이 하위공간 V는 다르게 나타낼 수도 있어요 V = span([-1, 1, 0] , [-1, 0, 1]) V = span([-1, 1, 0] , [-1, 0, 1]) 이렇게요 이 안의 벡터는 V의 기저입니다 일차독립이니까요 이 안의 벡터는 V의 기저입니다 일차독립이니까요 여기 있는 0을 가지고 일차결합해서 왼쪽에 있는 1과 같게 만들 수 없어요 마찬가지로 왼쪽 세 번째 벡터를 일차결합해서 오른쪽 세 번째 벡터 1을 만들 방법은 없습니다 따라서 V의 기저벡터라고 할 수 있어요 전에 사용한 방법을 똑같이 적용해서 행렬 A를 만들고 다음과 같이 정의합니다 첫 번째 행부터 -1 -1, 1 0, 0, 1 다음으로 정사영을 구합니다 R3에 있는 임의의 벡터 x를 V에 대해 투영한 것을 정의하면 A (A^T A)^(-1) A^T x A (A^T A)^(-1) A^T x A (A^T A)^(-1) A^T x 이건 구할 수 있어요 A는 옆에 있고 A의 전치행렬은 구하기 쉬워요 A전치행렬과 A의 내적의 역행렬이에요 지난 수업 때와 비슷해요 3 × 2 행렬이라 좀 더 쉬울 거에요 3 × 2 행렬이라 좀 더 쉬울 거에요 그렇지만 상당히 많은 연산을 해야 해요 수가 많고 복잡해서 실수하기 쉽죠 따라서 이 행렬 연산을 편리하게 할 방법을 찾아봅시다 따라서 이 행렬 연산을 편리하게 할 방법을 찾아봅시다 x가 R3에 있는 한 벡터일 때 x는 부분공간 V에 속한 벡터 v의 일차결합과 부분공간 V의 직교여공간에 속한 벡터 w의 합으로 나타낼 수 있습니다 v ∈ V 이고 w ∈ V┴ 입니다 v ∈ V 이고 w ∈ V┴ 입니다 정의에 의하면 벡터 v는 벡터 x를 V에 투영한 것이고 벡터 w는 벡터 x를 V┴에 투영한 것입니다 따라서 x는 x를 V에 투영한 벡터와 x를 V┴에 투영한 벡터의 합입니다 따라서 R3에 속한 임의의 벡터는 이렇게 나타낼 수 있습니다 지지난번 수업에서 이 식을 행렬 벡터의 곱으로 나타내는 것은 일차변환의 한 종류라고 배웠어요 일차변환은 파란색 식과 같은 행렬의 벡터곱이 될 수도 있어요 파란색 식과 같은 행렬의 벡터곱이 될 수도 있어요 이 파란색 부분의 행렬을 행렬 T라고 정의해 봅시다 이 파란색 부분의 행렬을 행렬 T라고 정의해 봅시다 T 말고 B라고 정의할게요 그리고 x를 V┴에 투영하고 이 벡터를 어떤 행렬 C와 x의 곱으로 정의해 봅시다 이것도 일차변형에 해당하므로 C와 x의 곱으로 나타낼 수 있어요 이것은 어떻게 될까요? x를 일차변형 형태로 나타내면 3 × 3 항등행렬 I3 · x를 하면 돼요 3 × 3 항등행렬 I3 · x를 하면 돼요 x와 똑같죠 I3 · x 는 x를 V에 투영한 것 즉, 첫 번째 정사영은 B · x와 같아요 즉, 첫 번째 정사영은 B · x와 같아요 여기에 두 번째 정사영 즉, x를 V┴에 투영한 것을 더합니다 두 번째 정사영은 C · x 에요 더하기 C · x 다음에 우변을 x로 묶어요 행렬의 내적 할 때는 분배법칙이 성립하니까요 그러면 항등행렬 I3 · x = I3 · x = (B + C) x 이 식을 다르게 보면 이 항등행렬은 항렬 B + C와 같아야 합니다 따라서 이 3차 항등행렬은 V에 대한 투영행렬 더하기 V┴에 대한 투영행렬과 같아요 기억하세요 이 문제의 핵심은 행렬 B를 구하는 거예요 구하는 방법은 이미 배웠죠 이 파란색 부분대로 구해도 되지만 너무 복잡해요 하지만 C를 구하면 좀 더 쉬울 거에요 아닐 수도 있고요 사실 나중에 보겠지만 이 방법이 쉬워요 C만 구하면 바로 B에 대해 풀면 돼요 양변에서 C를 빼면 B = 항등행렬 I - C C는 V┻의 변환행렬입니다 C는 V┻의 변환행렬입니다 이제 C를 구해 봅시다 C가 무엇인지 알아봅시다 맨 처음 행렬을 살펴봅시다 처음부터 다시 쓸게요 처음에 V는 다음과 같의 정의했죠 V = {[x1,x2, x3]} 이고 x1 + x2 + x3 = 0 을 만족해요 또 다른 방법으로 나타내면 [1 1 1] [x1, x2, x3] = 영벡터 이 경우엔 그냥 0이죠 영벡터는 [0] 이렇게 써요 1 · x1 + 1 · x2 + 1 · x3 = [ 0 ] V를 나타내는 다른 방법이에요 이 식을 만족하는 임의의 x는 무엇일까요? 이 식을 만족하는 임의의 x는 무엇일까요? 이것은 곧 V가 이 행렬의 영공간이라는 거에요 이것은 곧 V가 이 행렬의 영공간이라는 거에요 이 행렬의 영공간은 이 방정식을 만족시키는 모든 벡터를 포함합니다 따라서 V = N([1 1 1]) 입니다 따라서 V = N([1 1 1]) 입니다 위에서는 V를 일반적인 방법으로 정의했어요 위에선 V = span 으로 나타냈고 지금은 [1 1 1] 의 영공간이라고 나타냈어요 둘의 의미는 같습니다 이제 짐작 가는 것이 있겠지만 물론 B는 파란색 부분처럼 복잡하게 구할 수도 있어요 물론 B는 파란색 부분처럼 복잡하게 구할 수도 있어요 물론 B는 파란색 부분처럼 복잡하게 구할 수도 있어요 하지만 V┴의 변환행렬을 구할 수 있다면 하지만 V┴의 변환행렬을 구할 수 있다면 쉽게 구할 수 있을거 같은 느낌이 들어요 C를 구하기만 하면 I에서 C를 빼면 B니까요 C를 구하기만 하면 I에서 C를 빼면 B니까요 그렇다면 이제 V에 대한 x의 정사영의 변환행렬을 구하고 그렇다면 이제 V에 대한 x의 정사영의 변환행렬을 구하고 투영행렬을 구해봅시다 투영행렬을 구해봅시다 V를 이렇게 정의할 때 V┴는 무엇일까요? V┴ 는 V┴ = N([1 1 1])┴ V┴ = N([1 1 1])┴ 이 행렬의 영공간은 뭘까요? 기억하세요 영공간의 직교여공간은 A의 전치행렬의 행공간이나 혹은 A의 전치행렬의 열공간과 같습니다 여러 번 봤어요 또는 행공간의 직교여공간은 곧 영공간이라고 해도 돼요 또는 행공간의 직교여공간은 곧 영공간이라고 해도 돼요 전에 많이 봤던 개념이에요 그래서 이 행렬의 직교여공간은 그 전치행렬의 열공간과 같아요 그 전치행렬의 열공간과 같아요 C([1, 1, 1]) 또 다르게 나타내면 C([1, 1, 1]) = span([1, 1, 1]) 이 행렬의 열공간에는 오직 한 개의 열밖에 없어요 따라서 이 열공간은 그 한 개 열이 생성해요 지금 과정을 그림으로 그려보면 맨 처음 V에 대한 방정식은 R3에 있는 어떤 평면일 거에요 R3에 있는 어떤 평면일 거예요 이것은 V에요 V의 직교여공간도 방금 그린 셈이에요 V의 직교여공간도 방금 그린 셈이에요 바로 R3에 있는 직선이에요 이것이 만들 수 있는 모든 일차결합이에요 이것이 만들 수 있는 모든 일차결합이에요 R3 안의 어떤 직선입니다 실제로 이 선은 좀 더 기울어져야 해요 아무튼 이런 직선이에요 이게 바로 V의 직교여공간이에요 이제 다시 살펴봅시다 이제 다시 살펴봅시다 이 [1, 1, 1]은 V┴의 기저에요 이걸 바탕으로 행렬을 만들어 봅시다 새로운 문자로 써볼게요 D라는 행렬이 있습니다 이 행렬의 열은 V┴의 기저로 이루어져 있습니다 그런데 기저벡터가 한 개 밖에 없으므로 따라서 D = [ 1, 1, 1] 입니다 그리고 지난번과 지지난번 수업에서 배웠듯이 R3에 있는 임의의 벡터 x의 V┴에 대한 정사영은 D ( D┴ D)^(-1) D┴ x 와 같습니다 D ( D┴ D)^(-1) D┴ x 와 같습니다 다른 시선에서 보자면 이 노란 상자 안에 식은 이 정사영의 변환행렬입니다 이게 바로 변환행렬입니다 이게 바로 변환행렬입니다 이게 바로 변환행렬입니다 과연 지금 이 식이 위의 식보다 간단한지 알아봅시다 이 문제의 목적은 위의 복잡한 식을 다른 방법으로 간단하게 푸는 거였어요 V의 부분공간의 투영행렬을 구하기 위해 이런 식으로 복잡한 3 × 2 행렬 연산을 해야 했죠 이런 식으로 복잡한 3 × 2 행렬 연산을 해야 했죠 그 대신 아래에 있는 V┴의 곱으로 투영행렬을 구해 봅시다 그 대신 아래에 있는 V┴의 곱으로 투영행렬을 구해 봅시다 그 대신 아래에 있는 V┴의 곱으로 투영행렬을 구해 봅시다 D의 전치행렬은 무엇일까요? D의 전치행렬은 [1 1 1] 입니다 D전치행렬 · D는 무엇일까요? 이건 D 전치행렬이고요 이건 D에요 계산하면 무엇이 될까요? 행렬의 내적을 하면 돼요 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 = 3 따라서 이 분홍색 밑줄은 1 × 1 행렬 [ 3 ] 입니다 써봅시다 이것은 D 즉, [1, 1, 1]과 같고 곱하기 D 전치행렬 D의 역행렬 D의 전치행렬 곱하기 D는 1 × 1 행렬이고요 이것의 역행렬을 구해야 해요 사실 1 × 1 행렬의 역행렬을 제대로 배운 적은 없어요 약간 신기할 거에요 곱하기 D 전치행렬 D의 전치행렬은 이렇게 생겼어요 [1 1 1] 그 다음에 x를 곱해요 이 앞부분이 변환행렬이에요 그러면 1 × 1 행렬의 역행렬은 무엇일까요? 역행렬을 구할 땐 이걸 기억하세요 A의 역행렬과 A를 내적하면 항등행렬이에요 행렬이 1 × 1일 때는 혹은 3에 어떤 행렬을 곱해야 1 × 1 항등행렬이 나올까요? 혹은 3에 어떤 행렬을 곱해야 1 × 1 항등행렬이 나올까요? [3]의 역행렬 · [3]을 하면 1 × 1 항등행렬이 나와야 합니다 이 식을 만족시키는 행렬은 뭘까요? [1]은 왼쪽 행렬의 성분과 오른쪽 행렬의 성분을 곱하면 나와요 따라서 이 역행렬은 [ 1/3 ] 입니다 [ 1/3 ][3] = [1] 너무 간단하죠? [1/3]이 바로 1 × 1 행렬 [3]의 역행렬입니다 [1/3]이 바로 1 × 1 행렬 [3]의 역행렬입니다 그래서 이 위에 것은 [1/3]이 되고요 사실 [1/3]은 앞으로 빼내도 돼요 1 × 1 행렬은 스칼라와 똑같이 취급해도 돼요 1 × 1 행렬은 스칼라와 똑같이 취급해도 돼요 따라서 이 초록색 식은 다음과 같습니다 노란색 선으로 구분할게요 이 식은... 1/3 여기에 쓰면 헷갈리니까 밑에 다시 쓸게요 R3의 임의의 벡터 x를 V┴에 대해 투영한 행렬은 ( 1/3 ) · [1, 1, 1] 곱하기 ( 1/3 ) · [1, 1, 1] 곱하기 ( 1/3 ) · [1, 1, 1] 곱하기 ( 1/3 ) · [1, 1, 1] · [1 1 1] ( ( 1/3 ) · [1, 1, 1] · [1 1 1] ) · x 이처럼 매우 간단하게 풀 수 있어요 위에서 본 이런 복잡한 식과는 다르죠 좀 더 어려운 행렬 연산을 해야 하죠 반면 이 [1,1,1] 행렬 연산은 매우 쉬워요 계산하면 뭐가 나올까요? 이것은 1/3 곱하기 3 × 1 행렬과 1 × 3 행렬이 있는데 둘의 내적으로 3 × 3 행렬이 만들어져요 둘의 내적으로 3 × 3 행렬이 만들어져요 성분은 어떻게 될까요? 첫 번째 성분은 1 · 1 = 1 두 번째 성분은 1 · 1 = 1 세 번째 성분도 1 · 1 = 1 규칙을 알겠죠? 2행 1,2,3 열도 모두 1 · 1 = 1 따라서 모든 성분이 1인 3 × 3 행렬이 만들어집니다 이처럼 굉장히 간단하게 답을 구할 수 있었어요 이처럼 굉장히 간단하게 답을 구할 수 있었어요 R3의 임의의 벡터 x를 V┴에 대해 투영한 행렬을 구한 거에요 R3의 임의의 벡터 x를 V┴에 대해 투영한 행렬을 구한 거에요 이 점선 네모칸이 아까 말한 C에요 이 점선 네모칸이 아까 말한 C에요 아까 말한 항등행렬을 살펴볼까요? 위로 가볼게요 항등행렬은 V에 대한 투영행렬의 변환행렬과 V의 직교여공간 V┴에 대한 투영행렬의 변환행렬의 합입니다 아니면 V에 대한 정사영의 변환행렬은 항등행렬 - V┴에 대한 투영행렬의 변환행렬 아니면 V에 대한 정사영의 변환행렬은 항등행렬 - V┴에 대한 투영행렬의 변환행렬 아니면 V에 대한 정사영의 변환행렬은 항등행렬 - V┴에 대한 투영행렬의 변환행렬과 같다고 해도 돼요 그렇다면 다음과 같이 말할 수 있어요 x를 V에 대해 투영한 행렬을 Bx라고 할 때 B는 3x3 항등행렬 - C 입니다 Bx라고 할 때 B는 3x3 항등행렬 - C 입니다 따라서 B는 항등행렬 [1 0 0, 0 1 0, 0 0 1] -C [1 0 0, 0 1 0, 0 0 1] -C- 1/ 3 · [ 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1] - C, - 1/ 3 · [ 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1] 계산하면 무엇이 될까요? 계산하면 무엇이 될까요? 머릿속에서 암산해 봅시다 여기있는 성분은 1/3배가 됩니다 여기있는 성분은 1/3배가 됩니다 첫 번째 성분은 1 - 1/3 이에요 행렬 안에 1/3을 적어볼까요 1/3 1/3 1/3 모든 성분이 1/3이에요 1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3 앞은 1이 돼요 1 - 1/3 = 2/3 모든 1인 성분에서 1/3을 빼면 2/3이므로 대각선 방향으로 써주고요 그리고 0 -1/3 = -1/3이에요 -1/3, -1/3, -1/3 -1/3, -1/3, -1/3 이처럼 임의의 벡터 x의 V에 대한 정사영의 변환행렬을 구했어요 이처럼 임의의 벡터 x의 V에 대한 정사영의 변환행렬을 구했어요 x의 V┴에 대한 정사영의 변환행렬을 먼저 구해서 x의 V┴에 대한 정사영의 변환행렬을 먼저 구해서 쉽게 계산했어요 꽤 깔끔한 방법이죠 이 행렬은 다르게 나타낼 수도 있어요 1/3 · [2 2 2...] 대각선 성분은 2이고 다른 모든 성분은 -1인 행렬 대각선 성분은 2이고 다른 모든 성분은 -1인 행렬 나머지 성분은 -1이에요 그럼 다음 수업 때 봐요