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부분공간에 대한 정사영이 선형변환이라는 것 확인하기

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부분공간으로의 투사에 대한 개념은 정의했지만, 이것이 명백한 선형변환이라는 것은 아직 증명하지 않았습니다 어떤 부분공간의 기저를 알 때, 그것으로의 투사를 어떻게 찾을 수 있는지도 보여주지 않았죠 여기서부터 개념을 진전시킬 수 있는지 한 번 봅시다 자 어떤 부분공간이 있다고 가정해봅시다 v가 Rn의 부분공간이라고 해보죠 v를 이루는 기저벡터도 있다고 가정합시다 이들이 기저벡터라고 해볼게요 1, 2, ... , k까지 k개 있다고 해볼게요 v의 차원이 무엇인지는 모르지만 k라고 해봅시다 k개의 기저벡터가 있고 이는 v를 이루는 기저입니다 그 말은 곧 임의의 벡터, 아 이것은 벡터 v가 아니라 부분공간 v이죠, 아무튼 그 말은 곧 부분공간의 원소인 임의의 벡터 a가 표현될 수 있다는 것을 의미합니다 a는 이들의 선형결합으로 표현할 수 있죠 선형결합을 구성해볼게요 y1b1+y2b2+ ... + ykbk 이렇게 표현해보죠 이것이 기저의 정의입니다 이들의 생성은 부분공간 v이므로, v의 임의의 원소는 기저벡터의 선형결합으로 표현할 수 있습니다 자 이제 어떤 행렬을 만든다고 할 때 n×k의 행렬이라고 하죠, 이 행렬의 열은 근본적으로 부분공간의 기저벡터입니다 그러니까 A는 이렇게 생겼을 거에요 첫 번째 열은 첫 번째 기저벡터가 되죠 두 번째 열은 두 번째 기저벡터이고 같은 방식으로 k번째 열의 k번째 기저벡터까지 있다고 해보죠 k번째 기저벡터가 있으면 닫는 괄호 역시 여는 괄호와 같은 색으로 이렇게 그려주고요, n개의 행이 있는 것이겠죠, 왜냐하면 기저벡터는 Rn의 원소이니까요 v는 Rn의 부분공간임을 잊지 마세요 그러니까 이들 각각은 n개의 항을 가질거에요 그러니까 이 행렬은 n개의 행을 가집니다 부분공간 v의 임의의 원소가 이들 기저벡터의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것은 부분공간 v의 임의의 원소 a가 행렬 A와 벡터 y이 곱으로 표현될 수 있음을 의미합니다, 여기서 자 그럼 이 문장과 이 문장이 왜 같은 의미를 가질까요? 이것을 Rk의 임의의 벡터 y로 곱하는 경우를 생각해본다면 벡터 y는 y1, y2, ... , yk이므로 이것은 y1v1+y2v2+...+ykbk 이런 식으로 이것과 동일하게 표현될 수 있는 것입니다 그러니까 여러분은 항상 알맞은 선형결합을 고를 수 있겠죠 항상 알맞은 원소 yk를 고를 수 있으니까 부분공간 v의 임의의 원소를 구하기 위해서 기저벡터의 알맞은 선형결합을 찾을 수 있을 것입니다 그러니까 부분공간의 임의의 원소는 행렬 A와 Rk의 임의의 벡터의 곱으로 표현할 수 있습니다 Rk의 이 벡터에 관해서는 많이 알고 있지는 않죠 투사는, x가 Rn의 임의의 원소라고 할 때 부분공간 v로의 x의 투사는 정의에 따라, 부분공간의 원소가 될 것입니다 혹은 이를 표현하는 또 다른 방법은 v로 투사되는 x는 다음과 같다는 것입니다 파란색으로 쓸게요 A곱하기 Rk에 존재하는 임의의 벡터 y와 같다는 것입니다 벡터 y가 무엇인지 알았다면, 항상 찾을 수 있다면 v로 투사되는 x에 관한 공식을 알아낼 수 있을지 모릅니다 하지만 아직까지는 알아내지 못했죠 v의 임의의 원소는, 열로써 v에 관한 기저를 이루는 행렬 A와 Rk의 임의의 원소의 곱으로 표현될 수 있다는 것이 제가 말한 전부입니다 이들이 모두 v를 생성한다는 사실 v의 임의의 원소는 이들의 선형결합이라는 사실로부터 시작합니다 v로 투사되는 x가 부분공간 v의 원소라는 것을 압니다, v 안에 속해야 하죠 그러므로 이런 방식으로 나타낼 수 있겠죠 자 그렇다면 우리의 투사에 관한 정의는 무엇일까요? 투사의 정의는, 우리는 이렇게 말합니다 이렇게 써볼게요 x는 v로 투사되는 x와 v의 여집합의 원소를 더한 것으로 표현할 수 있다는 걸 압니다 혹은 정확히하면, v의 직교여공간에 투사되는 것을 더한 것으로 표현할 수 있다는 것입니다 또한 이렇게 쓸 수 있겠네요 v 여집합의 원소인 w로 쓸 수도 있어요 사실 이렇게 써볼게요 이렇게 하면 더 단순하게 표현될 수 있어요 식에 투사를 너무 많이 쓰고 싶지가 않군요 v의 직교여공간의 고유한 원소인 w로 바꾸어 쓰겠습니다 혹은 이렇게, x를 v에 투사시킨 것을 양쪽에서 빼게 되면, x에서 y에 투사시킨 x를 뺀 것이 w와 같다고 할 수 있습니다 이를 표현하는 또 다른 방법은 여기 이것이 v의 직교여공간의 원소라는 것이죠, 왜냐하면 이것이 w와 같으니까요 자 그러면 v의 직교여공간은 무엇이죠? 이 행렬로 돌아가서 살펴봅시다 이 기저벡터들이 있죠 이것은 열입니다 그러니까 A의 열공간은 v와 같겠죠? A의 열공간은 단순히 이 기저벡터들의 생성인 것입니다 그리고 정의에 의해, 부분공간 v와 같을 거에요 그렇다면 v의 직교여공간은 무엇이죠? v의 직교여공간은 열공간의 직교여공간과 같습니다 열공간의 직교여공간은 무엇이죠? A의 전치의 영공간과 같습니다 혹은 A의 좌영공간이라고도 하죠 아주 오래 전의 강의에서 보았습니다 그러니까 x에서 v로 투사된 x를 뺀 것을 이렇게 써볼게요 x에서 v로 투사된 x를 뺀 것은 행렬의 열공간의 직교여공간의 원소와 같으며 이것은 A의 전치의 영공간과 같습니다 이것이 v의 직교여공간이죠 v의 직교여공간과 동일한 것입니다 이것은 무엇을 의미하죠? 여기 이 부분은 무엇을 의미할까여? A의 전치를 A 전치의 원소인 이 벡터와 곱하게 되면 이 벡터와 곱하게 되면 그러니까 여기 이 벡터 v로 투사된 x와 곱하게 되면 0이 됩니다 0의 벡터가 될 거에요 이것이 영공간의 정의입니다 이것을 더 풀어서 써볼게요 수학적으로 더 다룰 수 있는지 살펴봅시다 그러니까 이 행렬과 벡터의 곱을 더 분배해내면 A의 전치 곱하기 벡터 x에서 A의 전치 곱하기 투사를 뺀 것이 되겠죠 이렇게 쓸 수 있을 거에요 아까 v로의 x를 어떻게 표현할 수 있다고 했죠? v로 투사된 x는 행렬 A와 Rk의 벡터 y의 곱으로 쓸 수 있다고 했습니다 이번 강의의 처음 부분에서 언급했죠 이를 이용하여 단순화시킬 수 있으므로 이렇게 써볼게요 A의 전치에 x를 곱한 것을 분배할게요 그리고 이 항을 빼야죠 이 부분은 A와 y의 곱으로 쓸 수 있고 이는 투사가 부분공간의 원소라는 개념의 부산물이라고 할 수 있습니다 부분공간의 원소이기 때문에 A의 열벡터의 선형결합으로 쓸 수 있는 것이죠 위에서 이렇게 쓸 수 있다고 확인했습니다 그러니까 v로 투사된 x 대신에 Ay라고 쓰겠습니다 이 항과 이 항은 같은 것이죠 이것이 v의 원소이니까요 그러면 이것은 0이 되겠네요 그리고 이 항을 양쪽에 더하게 되면 다음과 같은 식이 나오겠죠 흥미롭죠 우리가 어디서 시작했는지 생각해보세요 v로 투사된 x가, Rk의 원소인 y에 대해서 Ay와 같다고 했어요 만약 y를 구할 수 있다면 투사된 x도 잘 정의할 수 있을 것입니다 그리고 우리는 y를 구할 수 있죠 어떻게 구하죠? 이 행렬의 역행렬을 구할 수 있다면 y도 구할 수 있을 거에요 이 행렬의 역이 항상 존재한다면 항상 y를 구할 수 있을 겁니다 왜냐하면 y를 구하기 위해서 역행렬을 구하고 이 식에 대입할 수 있기 때문이죠 세 개 전의 강의에서 각각의 열이 선형독립하는 행렬 A가 있을 때 A의 전치에 A를 곱한 것의 역을 항상 구할 수 있다고 했습니다 그 강의에서 이것을 다루었던 이유는 바로 지금 쓰기 위해서 입니다 그럼 이 행렬 A의 경우는 어떨까요? 여기 행렬 A는 부분공간의 기저를 이루는 열벡터를 갖고 있습니다 정의에 의해, 기저벡터는 선형독립합니다 그러니까 행렬 A는 선형독립하는 열들을 가지는 것이죠 이전의 강의를 보았다면 이 경우 A의 전치에 A에 곱한 것의 역을 구할 수 있다는 것을 압니다 그래야만 해요 그러니까 이 역을 구해서 양쪽에 곱해 봅시다 A의 전치에 A의 곱한 것의 역을 구하려 할 때, A는 선형독립한 열을 가지기 때문에 이 값이 존재한다는 것을 이미 알고 있습니다 이것을 구해서 이 쪽에 곱해볼게요 그리고 식의 오른쪽에도 똑같이 하면, A의 전치에 A를 곱한 것의 역을 A의 전치에 Ay를 곱한 것에 곱해줍니다 이 둘 어떤 행렬의 역과 그 행렬을 곱하게 되면 항등행렬을 얻겠죠 단순히 항등행렬이 될 거에요 그리고 항등행렬에 y를 곱한 것은 단순히 y가 되어 식을 다시 쓰면 y가 다음과 같다고 할 수 있을 겁니다 A의 전치에 A를 곱한 것의 역 이것은 항상 존재하죠 곱하기 A의 전치, 곱하기 x 이렇게 되겠네요 v로 투사된 x가 임의의 y에 대해서 Ay로 표현할 수 있다고 했습니다 투사의 정의를 이용해서 y를 방금 구한 것이죠 방금 y에 대해서 푼 것입니다 그러니까 이제 v로 투사된 x를 행렬과 벡터의 곱으로 정의할 수 있겠네요 v로 투사된 x를 A 곱하기 y로 쓸 수 있어요 y는 다음과 같죠 A의 전치 곱하기 A, 의 역은 A가 선형독립한 열을 가지므로 항상 존재하고 여기에 A의 전치와 x를 곱해서 이 식을 쓸 수 있습니다 그리고 이 길고 복잡한 부분은 기저를 가지는 임의의 부분공간에 대해서 항상 존재하는 임의의 행렬일 뿐입니다 그러니까 방금 부분공간으로의 x의 투사를 행렬과 벡터의 곱으로 나타내 본 것입니다 그 말은 곧 행렬과 벡터의 곱으로 변환되는 모든 것은 선형변환이 가능하다는 것입니다 선형변환이 가능하다는 것만을 증명한 것이 아니라 v에 기저가 주어졌을 때, 임의의 행렬 A의 열과 동일한 열벡터를 만들 수 있음을 증명했습니다 그리고 행렬 A의 전치에 A를 곱한 후 역을 구하고, 이런 방식으로 모두 곱한다면 투사를 위한 변환행렬을 구할 수 있습니다 복잡해보이고, 또 많은 투사들에 대해서는 손으로 직접 풀기 힘들지만 3차원 그래프의 프로그래밍을 할 때 매우 유용할 것입니다 어떤 3차원의 물체가 있다고 가정하고 임의의 관측자의 시선에서 어떻게 보일지 구하고 싶다고 해봅시다 임의의 관측자가 있겠죠 이 관측자의 시선은 근본적으로 임의의 부분공간이 될 것입니다 이 정육면체가 부분공간에 투사되는 것을 그러니까 이 평면에 투사되는 시선에서는 어떤 모양일지 알고 싶은 것이죠 이 관점에서 정육면체는 어떻게 보일까요? 부분공간의 기저를 안다면 이 변환을 적용할 수 있겠죠 이 관찰자의 시선을 위해서, 각각의 열이 기저벡터인 행렬을 세울 수 있을 겁니다 그리고 이 변환을 R3의 정육면체의 모든 벡터에 적용한다면 관찰자의 시선에서 어떻게 보일지 정확히 알아낼 수 있죠 이런 식으로 유용하게 쓸 수 있습니다