기저에 대한 좌표

Rn의 부분공간이 있다고 합시다 V는 Rn의 부분공간이라고 합시다 파란색으로 쓰겠습니다 집합 B가 V의 기저라고 합시다 그러므로 여러 벡터들이 속해 있을 겁니다 v1, v2, ...,vk까지 있다고 합시다 k 벡터들이 있으므로 V는 k 차원의 부분공간입니다 만약 우리 부분공간의 원소인 벡터 a가 있다면 벡터 a는 이 부호드의 선형결합으로 표현할 수 있습니다 그러므로 벡터 a는 임의의 상수 곱하기 첫번째 기저벡터 더하기 다른 임의의 상수 곱하기 두번째 기저벡터 입니다. 그리고 k번째 상수 곱하기 k 기저벡터 까지 쓰면 됩니다. 이전까지는 좌표들을 포괄적으로 썼습니다 이제 부터는 더 자세히 정의해서 쓰겠습니다 이 상수들을 c1, c2, ... ck라고 하겠습니다. 새로운 색갈로 설명해드리겠습니다 이것들은 기저 B에 대한 a의 좌표들입니다 이렇게도 쓰겠습니다 벡터 a가 있습니다 벡터 a를 기저 집합 B에 대한 좌표들로 쓸 수도 있습니다 a 벡터를 괄호 안에 쓸 수 있습니다 이걸 이 기저 집한에 대한 좌표들로 쓸 수 있습니다 그리고 이렇게 쓸겁니다 이 무게들을 괄호 안에 쓸 겁니다 이 상수들을 기저벡터 B들이랑 선형결합을 해 a를 구할 수 있습니다 c1, c2, ... ck 까지 쓰겠습니다 여기서 흥미로운 게 있습니다 V는 Rn에 기저입니다 그래서 V는 Rn에 속합니다 하지만 V는 k 벡터들이 있습니다 그래서 k차원입니다 k는 n 같이 쓸 수 있으나 조금 더 작을 수 있습니다 R3에 두개의 벡터가 있을 수 있습니다 그럼 v는 R3에 평면일 겁니다 이걸 더 큰 차원에서 생각할 수도 있습니다 하지만 부분공간에 속한 무언가 기저에 대해 정의하면 그 부분공간의 차원만큼 많은 좌표들이 있어야 합니다 그래서 a가 Rn의 원소이여도 k 좌표들만 주면 됩니다 왜냐하면 본질적으로 부분공간에 속한 평면에 위치를 주는 것이기 때문입니다 조금 더 설명드리겠습니다 예를 들겠습니다 임의의 부분공간이 있습니다 너 명확하게 설명해드리겠습니다 몇개의 벡터들이 있습니다 v1은 벡터 2,1 라고 가정합시다 v2는 벡터 1, 2 라고 가정합시다 v1이랑 v1의 기저 집합들이 R2의 기저인 것을 알 수 있습니다 그래서 R2에 속한 아무 벡터는 이것들의 선형결합으로 표현할 수 있습니다 시각적으로 보여드릴 수 있습니다 또한 R2는 2차원인 걸 압니다 두개의 기저벡터가 있고 이것들은 선형독립적입니다 이것은 확인할 수 있습니다 제일 쉽게 확인하는 방법은 2,1 그리고 1,2 를 기약행사다리꼴행렬 꼴로 만들면 2×2 항등행렬이 나오는지 보는 것입니다 이것의 기약행사다리꼴행렬은 1 1, 0, 0, 1 입니다 이것들은 다 기저벡터들입니다 이건 모두 복습입니다 이전에도 한번 봤습니다 이것을 이제 시각화하겠습니다 그려서 한번 보겠습니다 이 벡터들은 평상시 처럼 그래프하면 2, 1는 어떻게 생겼을까요? 축선들을 그리겠습니다 한번 그려보겠습니다 다른 색으로 하겟습니다 이건 제 세로축입니다 이건 가로축입니다 2, 1은 이렇게 생겼습니다 1, 2 만큼 나갑니다 1만큼 위로 갑니다 이게 벡터 1입니다 2,1 이게 벡터 1 입니다 1,2는 표준적인 위치로 그리면 이렇게 생겼습니다 1, 그리고 위로 2 올라갑니다 1, 2은 이렇게 생겼습니다 그래서 기저에 대해 좌표들을 말하면 R2에 원소를 하나 고르겠습니다 공학적으로 선형결합을 쉽게 찾을 수 있게하겠습니다 3 곱하기 v1 더하기 2 곱하기 v2를 하겠습니다 이게 뭘까요? 이것은 3 곱하기 2는 6 더하기 2 곱하기 1는 8 그러 벡터 8입니다 그 다음에 3 곱하기 벡터 v1 더하기 2 곱하기 v2입니다 그럼 7입니다 3 더하기 2 곱하기 2는 7입니다 그럼 8, 7을 전통적인 방법으로 그려보겠습니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 그리고 위로 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 갑니다 여기 이 점이 이 벡터를 보여줄 겁니다 이 점 말입니다 이걸 좌표들로 보면 이걸 포인트 8, 7로 볼 수 있습니다 이렇게 쓰겠습니다 이건 포인트 8, 7 입니다 이 범위를 표준적인 위치로 나타내려면 이 포인트에서 끝나는 벡터를 그리겠습니다 이제 이 기저가 여기 있습니다 기저 B는 두 벡터들로 표현될 수 있습니다 이건 B1 그리고 B2입니다 이것들을 표현하고 싶습니다 이걸 벡터라고 합시다 이걸 벡터 a라고 하겠습니다 이 벡터는 8, 7 입니다 벡터 a를 기저벡터들의 선형결합으로 표현하고 싶으면 이건 3 곱하기 v1 더하기 2 곱하기 v2입니다 이 비디오의 앞부분에서 봤듯이 벡터 a를 기저 B에 대해 나타낼 수 있습니다 기저랑 같은 색으로 설명드리겠습니다 기저 B에 대한 벡터 a는 이 무게들과 기저벡터들의 결합입니다 그래서 3 그리고 2 입니다 시각적으로도 이해를 할 수 있는지 보겠습니다 새로운 좌표게에 이 벡터가 3, 2로 표현될 수 있는지 생각해보겠습니다 새로운 좌표계는 표준 좌표계랑 다릅니다 표준 좌표계에서는 가로축이 1들로 구성돼 있습니다. 이게 첫번째 좌표였습니다 세로축도 눈금들이 1들로 구성돼 있습니다 이게 두번째 좌표였습니다 그럼 새로운 좌표계에서는 첫번째 좌표가 뭘까요? 첫번째 좌표는 v1의 배수입니다 이게 v1이니까 이것들의 배수입니다 그럼 1 곱하기 v1입니다 그리고 2 곱하기 v1입니다 그럼 뭘까요? 2 곱하기 v1은 4, 2 입니다 3 곱하기 v1은 6,3 입니다 그럼 한번 그려보겠습니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 그럼 6 그리고 3이니까 이렇게 그릴 수 있겠습니다 4 곱하기 v1은 8 그리고 4 입니다 뭘 그리려고 하는지 이제 알겠죠? 새로운 좌표계의 첫번째 축은 v1의 배수들로 만들어집니다 파란색으로 보여드리겠습니다 이렇게 상상하실 수 있습니다 이건 직선입니다. 이렇게 말입니다 좌표들은 얼마 만큼의 v1들이 있는지 나타냅니다 이 새로운 좌표계에서는 1의 증가가 아닌 v1에 대해 증가합니다 이렇게 쓰겠습니다 다음은 v1의 5의 배수로 10, 5 입니다 이렇게 생길겁니다 두번째 좌표는 v2의 증가입니다 이건 v2 의 첫번째 증가입니다 이건 2번째 증가입니다 4, 2 입니다 이렇게 말입니다 3번째 증가는 6, 3 입니다 이렇게 말입니다 이렇게 6 그리고 3 입니다 이렇게 생겼을 겁니다 이것을 새로운 좌표계라고 생가하시면 됩니다 이것을 새로운 비스듬한 그래프 종이로 보면 v1 방향으로 얼마 만큼가고 v2 방향으로 얼마 만큼 간다는 걸 알 수 있습니다 이 그래프 종이로 그려보겠습니다 v2의 다른 버전을그릴 수 있습니다 이것은 v2의 배수들로 이루어져 있습니다 이걸 이렇게 이동 시킬 수 있습니다 이렇게도 할 수 있습니다 다른 것도 이렇게 그릴 수 있습니다 조금 깔끔하지는 않네요 이렇게도 할 수 있습니다 이제 조금 이해가 가실 것 같습니다 조금 더 깔끔하게 하겠습니다 다른 방식으로 했으면 더 유용했을 것 같습니다 그리고 모든 v1의 배수들도 이렇게 할 수 있습니다 이렇게 그래프 종이를 만들고 있습니다 이렇게 생길 겁니다 이렇게 생길 겁니다 이렇게 생길 겁니다 이게 비스듬한 그래프 종이가 상상이 가실 겁니다 이렇게 초록색이랑 파란색으로 이 공간을 전부 다 칠하면 그럴 겁니다 새로운 좌표계에서 3, 2를 봅니다 즉 3 곱하기 첫번째 방향입니다 그 방향은 v1 방향입니다 이제 가로 방향이 아니고 v1 방향입니다 1, 2 만큼 가고 또 3 만큼 갑니다 그리고 2 만큼 v2 방향으로 갑니다 그래서 1, 2 만큼 v2 방향으로 갑니다 그래서 포인트는 여기 있습니다 이렇게 상상해 볼 수 있습니다 3 만큼 v1 방향으로 가고 1, 2 만큼 v2 방향으로 가면 포인트의 위치를 찾을 수 있습니다 또는 v2 방향으로 먼저 가고 그 다음에 v1 방향으로 가도 됩니다 그래도 포인트의 위치를 알 수 있습니다 이 벡터 또는 벡터 8, 7이 정의하는 위치는 손쉽게 좌표 3, 2로 새로운 좌표계에서 찾을 수 있습니다 3 곱하기 v1 그리고 더하기 3 곱하기 v1을 하기 때문에 이 방향으로 갑니다 v1 방향으로 3 눈금 이동하고 2 눈금 만큼 v2 방향으로 갑니다 그래서 이것들을 좌표들이라고 합니다 문자 그대로 v1 방향으로 얼마 만큼 그리고 v2 방향으로 얼마 만큼 이동하는지 말해줍니다 당신은 왜 이 좌표들을 이전에 안 썼는지 궁금해 하실 수도 있습니다 예전에도 제가 말했던 것 같습니다 지금까지 그렇게 얘기했습니다 R2에 소문자 b인 벡터가 있다고 합시다 시각화하면 이해하기 쉽습니다 벡터 b는 3, -1 입니다 벡터 b를 그래프하면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 1, 2, 3 가고 밑으로 1 갑니다 그럼 이렇게 생겼을 겁니다 이 포인트를 정의할 것입니다 지금까지 왜 3, -1을 좌표라고 했을까요? 왜 3, -1을 좌표라고 했을까요? 선형대수학을 배우기 전부터 그렇게 알고 있었습니다 그래프를 처음 배웠을 때부터 이것들을 좌표들이라고 했습니다 그럼 왜 이것들을 좌표라고 했을까요? 또는 이 좌표의 의미가 기저랑 무순 관계가 있을까요? 이건 기저와 관련된 좌표입니다 이 좌표는 표준기저와 관련됐습니다 표준기저는 R2에서 이렇게 생긴 걸 상상할 수 있습니다 e1은 1, 0 이고 e2는 0, 1입니다 R2의 표준기저가 이러한 건 하나의 약속입니다 s는 e1 그리고 e2의 집합입니다 그럼 s가 R2의 표준기저라고 할 수 있습니다 이것들이 직교하므로 이건 표준기저입니다 이건 가로 방향으로 1 입니다 이건 세로 방향으로 1입니다 R2에 속한 임의의 벡터 x 그리고 y는 x 곱하기 e1 그리고 y 곱하기 e2입니다 벡터 x 그리고 y를 표준기저에 대한 것으로 나타내려면 비디오 앞부분에서 봤듯이 x, y 곱하기 표준기저로 할 수 있습니다 또는 이 무게들을 e1 그리고 e2랑 곱하면 됩니다 이 무게는 x이고 여기의 무게는 y입니다 그리고 이 좌표들도 당연히 좌표들입니다 이 좌표들의 이 비디오에서 정의한 좌표의 정의와 일치합나다 조금 더 자세히 설명하자면 표준기저에 대한 좌표들입니다 또는 이것들을 표준좌표라고 할 수 있습니다 이걸 지적하고 싶었습니다 이게 당연할 수도 있지만 우리 알고 있는 좌표랑 이 비디오에서 배운 좌표랑 일치한다는 것을 보여주고 싶었습니다 두 좌표 모두 무게를 기저벡터 곱한 것입니다 예전부터 알고 있던 좌표계의 좌표도 무게를 표준기저벡터와 곱해준 것과 동일합니다