기저변환행렬

기저 B가 있다고 가정합시다 k 벡터들로 이루어져 있다고 합시다 v1, v2, ... vk 까지 있습니다 임의의 벡터 a가 있고 B에 대한 a들의 좌표를 알고 있습니다 c1, c2는 B에 대한 a들의 좌표입니다 k 기저 벡터들이 있기 때문에 k 좌표들이 있습니다 이게 부분공간을 정의하면 이건 k-차원의 부분공간입니다 이것들은 k만큼 있습니다 기저에 대한 좌표의 정의대로 이것의 의미는 벡터 a를 이것들의 선형결합으로 나타낼 수 있고 이 좌표들은 무게입니다 그래서 a는 c1 곱하기 v1 더하기 c2 곱하기 v2 그리고 ck 곱하기 vk까지 더해줍니다 다른 방법으로도 쓸 수 있습니다 만약 임의의 행렬이 기저 B로 이루어진 열벡터로 만들어져 있으면 이렇게 씁니다 행렬 C가 있다고 하고 이렇게 생겼습니다 행렬 C의 열벡터들은 이 기저벡터들 입니다 그래서 v1, v2,..., vk까지 있다고 합시다 이게 모두 Rn의 원소들이라고 하면, n개의 항목들이 있을거니까 n×k 행렬일 것입니다 이것들도 각각 n 항목들이 있습니다 그래서 n 개의 행과 k개의 열이 있습니다 그럼 이 행렬을 상상해보죠 또 다른 표현 방법은 a는 c1, c2,... ck까지 있는 열벡터를 이 벡터랑 곱하는 것입니다 이게 a입니다 이 표현과 이 표현은 똑같습니다 이것의 벡터적을 하면 뭘까요? 그럼 c1 곱하기 v1 더하기 c2 곱하기 v2 그리고 ck 곱하기 vk까지 더해주면 a입니다 다른 맥락들에서 이것을 여러번 봤습니다 여기서 흥미로운 것이 이게 똑같다는 것입니다 이 현상은 많이 봤습니다 지금 그냥 새로운 용어로 말하고 있을뿐입니다 이 표현을 새로 쓸 수 있습니다 C는 기저벡터들로 이루어진 열로 만들어진 행렬입니다 C는 이거랑 같습니다 이건 그냥 기저 B에 대한 a의 좌표입니다 C 곱하기 기저 B에 대한 a벡터의 좌표입니다 저건 a랑 같습니다 이걸 왜 설명해드렸을까요? 그 이유는 이걸 알면 a가 무엇이냐는 질문이 있으면 간단하게 a를 표준좌표 또는 표준기저로 표현할 수 있습니다 이 표현 방법은 항상 벡터를 쓸 대 써왔습니다 그걸 기저벡터로 이루어진 열로 만들어진 행렬 C를 곱하면 됩니다 또 다른 표현 방법은 임의의 a 벡터가 있으면 이건 B의 선형결합으로 표현할 수 있습니다 이 기저벡터의 생성에 있습니다 이것의 해를 구하면 B에 대한 a의 좌표를 구할 수 있습니다 그럼 이 작은 벡터가 무엇을 할까요? 이것은 기저를 바꿔줍니다 그럼 이걸로 곱하면 임의의 기저에 대한 좌표로 표현된 벡터에서 표준좌표로 이루어진 벡터가 됩니다 이 행렬을 기저변환행렬이라고 합니다 말만 그럴싸합니다 하지만 문자 그대로 열이 기저벡터들로 만들어진 행렬입니다 이걸 사용해 무엇을 만들 수 있는지 한번 해보겠습니다 임의의 기저들이 있다고 가정합시다 B는 기저를 의미합니다 두 벡터가 있다고 가정합시다 벡터들을 이 위에 정의하겠습니다 R3에 속한 벡터들입니다 벡터1은 1, 2, 3 입니다 벡터 2는 1, 0, 1입니다 임의의 기저 B를 v1 그리고 v2의 집합으로 정의하겠습니다 서로 선형결합이 아닙니다 그러므로 유효한 기저입니다 입증하는 건 당신에게 맡기겠습니다 이것들은 서로 선형종속이 아닙니다 이것들의 생성에 임의의 벡터가 있다고 합시다 어떻게 기저에 대한 좌표로 표현되는지 알고 있습니다 임의의 벡터 a가 있다고 가정합시다 기저에 대한 a의 좌표를 표현하면 7,7, -4 입니다 그럼 이걸 어떻게 표준좌표로 표현할까요? 이게 뭘까요? a는 7 곱하기 v1 빼기 4 곱하기 v2는 맞는 말입니다 하지만 이 비디오에서 소개한 기저변환행렬을 사용해서 찾아보겠습니다 기저변환행렬은 그냥 v1 그리고 v2로 열로 이루어진 행렬입니다 그럼 1, 2, 3 그리고 1, 0, 1 입니다 기저변환행렬을 기저에 대한 벡터의 표현 7, -4를 곱하면 표준좌표로 표현된 벡터가 나옵니다 그래서 이게 뭘까요? 3×2행렬 곱하기 2×1 입니다 그럼 해는 3×1 행렬입니다 R3에 대한 문제를 다루니까 말이됩니다 a는 R3에 속한 원소입니다 그래서 표준좌표로 표현하면 3개의 좌표들이 있어야 합니다 기저에 대한 a를 표현하면 2개의 좌표만 있었습니다 이건 a가 이 두개의 평면 생성에 있었기 때문입니다 한번 그려보는 게 좋겠습니다 3차원으로 그려보겠습니다 v1 그리고 v2 생성이 이렇게 생겼다고 합시다 여기가 영벡터라고 하겠습니다 그래서 이게 v1 그리고 v2의 생성입니다 또는 이게 B가 기저인 부분공간입니다 a는 여기에 있습니다 v1은 이렇게 생겼습니다 숫자도 보지않고 그냥 추상적으로 하고 있습니다 v2는 이렇게 생겼습니다 a는 v1과 v2의 선형결합으로 표현할 수 있습니다 a는 R3의 평면에 속할 겁니다 7 곱하기 v1이니가 1 v1 만큼 7v1까지 갑니다 그래서 7 만큼 v1 방향으로 가고 -4만큼 v2 방향으로 갑니다 그래서 이게 v2 방향으로 1입니다 이건 v2 방향으로 -1, -2, -3, -4 까지 갑니다 여기에도 할 수 있습니다. 1, 2, 3, 4 그래서 벡터 a는 이렇게 생겼을 겁니다 이 평면 위에 있을 겁니다 이게 벡터 a입니다 이 평면 위에 있을 겁니다 기저에 대한 표현으로 나타내면 이 좌표들을 기저 B에 대해 나태면 이것의 7개이라고 할 수 있습니다 그냥 추상적으로 하고 있습니다 지금은 숫자에 신경 쓰지마세요 이 아이디어만 이해하길 바랍니다 이건의 7 그리고 이것의 -4 입니다 여기로 다시 갑니다 이 평면 위에 있는 벡터를 얻습니다 이 평면에서 이 벡터를 나타내려면 좌표 두개만 있으면 됩니다 이 부분공간이 2차원이여서 입니다 하지만 우리는 R3에 속한 문제를 보고 있습니다 일반적 버전의 표준좌표로 a를 표현하기 위해서는 3개의 좌표를 찾아야 합니다 a 가 평면위에 있다는 걸 이해하셨으면 좋겠습니다 이 방향들로 이 평면은 뻗어나갑니다 a는 이 평면 위에 있습니다 이것과 이것의 선형결합입니다 하지만 a가 어떻게 표준좌표로 표현되는지 보겠습니다 표준좌표로 첫번째 항은 1 곱하기 7 더하기 1 곱하기 -4입니다 그건 3입니다 2 곱하기 7 더하기 0 곱하기 -4는 14입니다 4 곱하기 7 더하기 1 곱하기 -4는 17입니다 a 벡터는 3, 14, 17 입니다 이게 a입니다 다른 방향으로 가는 걸 생각해봅시다 임의의 벡터 d가 있다고 생각해봅시다 벡터 d는 8, -6, 2 입니다 d는 기저벡터들의 생성의 원소입니다 v1과 v2의 생성말입니다 그래서 d는 이것들의 선형결합으로 표현할 수 있습니다 또는, d는 이 부분공간에 있으므로 기저 B에 대한 좌표들로 표현할 수 있습니다 기저 B가 v1과 v2의 집합이였다는 걸 기억해야 합니다 기저 B는 그렇게 정의했습니다 기저변환행렬 곱하기 기저 B에 대한 d의 좌표들로 만들어진 벡터는 d라는 걸 압니다 이게 d입니다 이건 벌써 알고 있었습니다 이것의 좌표를 알고 그걸 기저변환행렬로 곱하면 d를 표현하는 표준좌표를 찾습니다 이 경우에는 d가 있습니다 이건 주어집니다 기저변환행렬이 뭔지도 압니다 B에 대한 d를 좌표를 찾고 싶으면 이 식의 해를 구해야 할 것입니다 한번 해보겠습니다 기저변환행렬은 1, 1, 2, 0, 3, 1입니다 이걸 좌표랑 곱해야합니다 이걸 표현하기 위해서는 두개의 좌표가 필요합니다 노란색으로 보여드리겠습니다 이건 v1의 배수 더하기 v2의 배수입니다 그럼 c1, c2 입니다 이게 두개의 좌표들인 걸 압니다 왜냐하면 행렬의 벡터적은 R2의 원소여야 명확하기 때문입니다 이 행렬은 3×2 행렬입니다 두개의 열이 있습니다 그럼 두개의 항들이 있어야 합니다 그건 d랑 같습니다 그래서 8, -6, 2 입니다 이 벡터가 무엇인지 알아내면 B에 대한 d를 표현하는 좌표들을 알 수 있습니다 이걸 한번 풀어보겠습니다 이걸 풀려면 첨가행렬을 만들어야 합니다 이건 보편적으로 선형식을 풀으는 방법입니다 1, 1, 2, 0, 3, 1이 있습니다 이 옆에 첨가하겠습니다 그럼 8, -6, 2가 있습니다 첫번째 행을 똑같이 두겠습니다 1, 1 을 8이랑 첨가합니다 두번째 행은 두번째행 빼기 2 곱하기 첫번째 행입니다 그럼 2 빼기 2 곱하기 1이 됩니다 다른 방법으로 하겠습니다 두번째 행을 2 곱하기 첫번째 행 빼기 두번째 행으로 하겠습니다 그래서 2 곱하기 1 빼기 2는 0입니다 2 곱하기 1 빼기 0은 2입니다 2 곱하기 8은 16입니다 16 빼기 6은 10입니다 그럼 세번째 행을 3곱하기 첫번째 행 빼기 세번째 행으로 대체하겠습니다 그래서 3 곱하기 1 빼기 3은 0입니다 3 곱하기 1 빼기 1은 2입니다 3 곱하기 8은 24입니다 24 빼기 2는 22입니다 이제 보니까 어딘가에서 실수를 했네요 이렇게 되면 해가 없습니다 뭘 했는지 보고 실수가 뭔지 한번 확인해보겠습니다 두번째 행은 2곱하기 첫번째행 빼기 두번째 행이였습니다 2 곱하기 1 빼기 2는 0입니다 2 곱하기 1 빼기 0은 2입니다 2 곱하기 8 빼기 -6은 22입니다 여기 제 실수가 있었습니다 이게 제 실수였습니다 이 두개는 동일합니다 한번에 한가지씩하겠습니다 세번째 행을 세번째 행 빼기 두번째 행하겠습니다 이건 1, 1, 8, 0, 2, 22로 놔두겠습니다 세번째 행은 세번째 행 빼기 두번째 행으로 바꾸겠습니다 그럼 0, 0, 0이 됩니다 그래서 세번째 행은 모두 0이됩니다 그럼 2번째 행을 2로 나누겠습니다 그럼 1, 1, 8이 됩니다 그럼 이건 0, 1, 11이 됩니다 그리고 세번째 행은 그냥 0들 입니다 중간 행은 그냥 똑같이 놔두겠습니다 그럼 0, 1, 11 입니다 그럼 첫번째 행을 첫버째 행 빼기 중간 행으로 바꾸겠습니다 그래서 1 빼기 0은 1입니다 1 빼기 1은 0입니다 8 빼기 11은 -3입니다 마지막 행은 똑같이 놔둡니다 왼쪽을 기약행사다리꼴행렬로 만들었습니다 이게 실질적으로 해입니다 이렇게 쓸 수 있습니다 1, 0, 0, 1, 0, 0 곱하기 c1, c2는 -3, 11, 0 으로 쓸 수 있습니다 1 곱하기 c1 더하기 0 곱하기 c2 또는 c1은 -3이라고도 할 수 있습니다 그리고 0 곱하기 c1 더하기 1 곱하기 c2는 11 입니다 그래서 이 식의 해는 -3, 11입니다 벡터 d를 기저 B에 대한 좌표로 쓰고 싶으면 -3, 11 일 수 있습니다 이렇게 쓰겠습니다 d는 -3 곱하기 벡터 1 더하기 11 곱하기 벡터 2입니다 이걸 확인하는 건 당시에게 맡기겠습니다 보시는 것과 같이 기저변환행렬을 사용하면 오락가락할 수 있습니다 이 표현이 있다면 이것의 곱으로 d에 대한 표준 표현을 찾는 게 더 쉽습니다 표준 표현이난 표준기저에 대한 좌표가 있으면 엄청 쉽습니다 조금 더 복잡하기 하지만 B에 대한 좌표를 구하면 됩니다