기저에 대한 변환행렬

Rn 에서 Rn으로의 사상인 선형변환 T가 있다고 해봅시다 그러니까 정의역이 Rn이며 공역 역시 Rn인 것이죠 정의역에 임의의 벡터 x가 존재할 때 T는 이것을 Rn의 다른 원소로 사상할 것입니다 Rn은 공역이기도 하니까요 이렇게 사상되겠죠 우리는 이것을 T에 의한 사상, x의 사상 혹은 x에 대한 T의 사상이라고 합니다 T는 선형변환이므로 공역으로의 x의 사상은 x가 임의의 행렬 A로 곱해지는 것과 같습니다 그러니까 여기 이것이 임의의 행렬 A 곱하기 x랑 같다는 것이죠 이 예시를 이미 여러 번 했습니다 용어를 제대로 이해했는지 확인하기 위해서 우리는 A가, T를 위한 행렬이라고 할 수도 있죠 A를 T를 위한 변환행렬이라고 해보죠 A를 T를 위한 변환행렬이라고 해보죠 자 이제 이전의 몇 개의 강의에서 우리는 동일한 벡터가 여러 방법으로 표현될 수 있음을 배웠습니다 여러 개의 좌표계에서 표현될 수 있죠 벡터 x를 이렇게 쓸 때는 표준좌표에서 표현된다고 혹은, 표준기저에 관하여 표현된다고 가정할 수 있습니다 조금 더 자세히 얘기해보도록 하죠 A는 x가 표준좌표에서 표현될 때에만 혹은 x가 기저벡터에 관한 좌표로 쓰여 있을 때에만 T를 위한 변환이라고 할 수 있습니다 조건문을 달아서 써보죠 A는 표준기저에 관한 T를 위한 변환행렬입니다 A는 표준기저에 관한 T를 위한 변환행렬입니다 이 파란색 부분은 처음 쓰는 거죠 이전에 언급한 적도 없을 것입니다 왜냐하면 이전에는 표준좌표계나 표준기저에 관한 좌표들만 다루었기 때문이죠 표준기저에 관한 좌표들만 다루었기 때문이죠 하지만 이제는 여러 개의 좌표계가 있다는 것을 압니다 이 벡터를 표현하는 데는 여러가지 방법이 존재합니다 왜냐하면 Rn은 여러 개의 생성 기저를 갖고 있기 때문이죠 Rn을 표현하는 데에 여러가지 기저가 있고 각각의 기저는 Rn의 임의의 벡터를 그들 각각에 관한 좌표로 표현할 수 있는 좌표계를 만들 수 있습니다 그들 각각에 관한 좌표로 표현할 수 있는 좌표계를 만들 수 있습니다 방금 이 부분은 좀 복잡했죠 더 구체적으로 정리해보겠습니다 n개의 벡터로 만들어진 임의의 기저 B가 있다고 해봅시다 이들은 선형독립해야하죠 이것은 기저의 정의였습니다 v1, v2, ... , vn에 이르는 선형독립하는 벡터를 가질거에요 n개의 선형독립하는 벡터이고 이들은 모두 Rn의 원소이죠 그러니까 B는 Rn을 이루는 기저입니다 다시 말해, 이들 벡터는 모두 선형독립하고 Rn의 임의의 벡터는 이들의 선형독립으로 표현될 수 있으며 이는 곧 Rn의 임의의 벡터는 이 기저에 관한 좌표로 표현될 수 있다는 것을 의미합니다 그러니까 동일한 벡터 x 여기 같은 점으로 표현해볼게요 표준좌표에서 표현할 때에는 벡터 x는 단순히 이렇게 표현될 것입니다 하지만 이 새로운 기저에 관해서 표현하고 싶다면요? 그렇다면 동일한 벡터 x는 다음과 같이 표현될 것입니다 이렇게 나타낼 수 있어요 동일한 벡터는 이 기저에 관하여 표현될 수 있습니다 이것은 어떠한 좌표의 집합일 수도 있겠죠 다른 좌표의집합이지만 같은 기저를 나타낼 것입니다 같은 방법으로 여기 이 벡터 또한 Rn에 속합니다 그러니까 이들의 선형독립이나 이 기저에 관한 좌표로 표현할 수 있겠죠 이 기저에 관한 좌표로 표현할 수 있겠죠 그러니가 여기 이 같은 점은 이렇게도 표현할 수 있는 것입니다 이 기저에 관한 좌표로 다르게 표현할 수 있죠 흥미로운 질문이 있습니다 여러분에게도 흥미로운 질문을 유발할 수 있죠 표준좌표에 있는 무언가로 시작하여 변환 T를 적용한다면 이 행렬 A를 적용하거나 표준좌표의 이것을 행렬 A로 곱한다면 표준좌표에서 T의 사상을 구할 수 있겠죠 그렇다면 비표준좌표의 이 점을 알고 저 다른 기저에 관한 좌표를 안다면 어떻게 할까요? T는 이렇게 사상할 수 있겠죠 T는 이렇게 사상할 수 있겠죠 T 변환은 항상 이 점으로부터 이 점까지를 사상해야 합니다 좌표가 무엇인지는 상관이 없죠 그러니까 T는 항상 같은 점으로 사상해야 합니다 T는 여전히 선형변환일 거에요 x를 T의 x로 사상할 수 있다는 것은 이러한 방식으로 x를 나타내는 것을 다른 방식으로 x를 나타내는 것으로 사상한다는 것입니다 그러니까 이것은 아마도 여기에 다른 행렬을 곱한 것이라고 할 수 있겠죠 이렇게 써볼게요 이들은 단순히 다른 좌표계입니다 이들은 단순히 다른 좌표계이므로 당연히 이것은 표현될 수 있어야 하죠 그러니까 공역에 존재하는 x의 사상을 B에 관한 좌표로 표현할 수 있다면 그러니까 이 점을 이 기저에 관한 다른 좌표계에서 표현할 수 있다면 이것은 다른 행렬과의 곱과 같은 거예요 이것은 다른 행렬과의 곱과 같은 거예요 이 행렬을 D라고 해봅시다 임의의 다른 행렬 D와 이렇게 표현된 x와, 비표준좌표계에 관한 x의 좌표를 곱하는 것과 같을 것입니다 우리는 이를 만족하는 행렬 D를 찾을 수 있을 거예요 그렇다면 D를 T를 위한 변환행렬이라고 할 수 있겠죠 A는 x의 표준좌표를 안다는 것을 가정합니다 D는 이 기저 B에 관한 x의 좌표를 안다는 것을 가정하죠 이걸 풀지 못할 이유는 없어요 이들은 단지 같은 벡터를 표현하는 여러가지 방법들일 뿐입니다 여기 집합의 아주 동일한 점을요 그러니까 표준적인 방법으로 표현할 수 있다면 A를 곱하여 Ax를 얻을 수 있겠죠 비표준좌표에서 표현할 수 있다면 다른 행렬과 곱하여 이것이 사상된 또 다른 비표준좌표를 얻을 수 있을 것입니다 그러니까 D와 A 사이의 관계를 알아낼 수 있는지 봅시다 지난 몇 개의 강의에서 이 기저로부터 얻을 수 있는 기저행렬의 변화가 존재한다고 했었죠 이것은 쉽게 구할 수 있습니다 기저행렬의 변화는 단순히 그 열이 이들 기저벡터, v1, v2인 행렬입니다 이들 기저벡터 v1, v2인 행렬입니다 이것은 n×n의 행렬이겠죠 이들 각각은 모두 Rn의 원소이며 n개가 존재할 것입니다 이것은 모든 열이 선형독립하는 n×n의 행렬이므로 우리는 C의 역행렬이 존재함을 압니다 이들은 열벡터입니다 우리는 C의 역행렬이 존재함을 알죠 두세 개 전의 강의에서 임의의 벡터 x가 존재하고 그 벡터가 기저 B에 관한 좌표로 표현된다면 그것을 C로 곱해서 벡터 x를 얻을 수 있을 거라고 했었습니다 이것은 근본적으로 이들의 선형결합으로 x를 구할 수 있음을 의미합니다 C의 역행렬이 존재하므로 또한 x의 표준좌표를 알고 있으므로 이것을 C의 역으로 곱할 수 있습니다 이렇게 하면 기저 B에 관한 x의 좌표를 얻을 수 있습니다 이 식의 양쪽을 다른 색깔로 할게요 이 식의 양쪽을 C의 역으로 곱하면 일단 왼쪽은 이러한 식이 나올 것입니다 자 이제 여기서 어떠한 관계를 구할 수 있는지 살펴봅시다 D에 xB를 곱하면 무엇과 같을지 살펴봅시다 D와 여기 xB를 곱한다고 할 때 D와 기저 B에 관한 x의 좌표를 곱하는 것과 같겠죠 이것이 우리가 증명하고자 하는 바입니다 이것이 D 곱하기 기저 B에 관한 x의 좌표랑 같다는 것을요 전부 적어봅시다 여기에 할게요 여기 그래프가 보이는 데에 하는 것이 좋을 것 같으니까요 그러니까 D 곱하기 xB는 이것과 같다고 할 수 있습니다 B에 관한 좌표로 표현되는 x의 변환 혹은 이 비표준좌표로 표현되는 변환과 같은 것이죠 그러니까 이 좌표계에서 표현되는 x의 변환 B에 관한 좌표로 표현되는 x의 변환과 같다는 것이죠 여기서 확인했습니다 그런데 x의 변환은 무엇이죠? A 곱하기 x를 한 것과 같죠 x가 표준좌표에서 표현될 때 적용되는 표준변환을 나타냅니다 그러니까 이것은 표준좌표의 x에 행렬 A를 곱한 것과 같습니다 이렇게 하면 이 점을 표준좌표에서 나타낼 수 있지만 우리는 이 것을 비표준좌표에서 나타내고 싶은 것이죠 이것이 주어졌을 때 벡터 Ax는 어떻게 알아낼 수 있을까요? 어떻게 알아낼 수 있을까요? 이 벡터는 어떻게 생겼을까요? 자, 여기 이 식을 봅시다 이 부분은 이미 우리가 알죠 이 부분은 이것과 같습니다 아닙니다 반대로 해보죠 우리는 이 부분을 압니다 이것과 같죠 여기에 있습니다 우리는 이 점의 정규 표준좌표를 구하고 싶습니다 그럼 어떻게 하면 되죠? C로 곱하면 되겠죠 이렇게 써볼게요 이 식의 양쪽을 C로 곱하면 뭐가 나올까요? 이 부분이 나올 겁니다 아니군요 처음에 봤던 식이 맞네요 우리는 이 부분을 알고, 네 처음에 한 게 맞습니다 이 부분은 이것과 같음을 알죠 그러니까 다시 쓸 수 있습니다 이것은 C의 역 여기에는 x가 아닌 Ax가 있죠 그러니까 C의 역 곱하기 Ax가 되겠네요 비표준좌표에서 표현되는 벡터 Ax는 기저행렬의 변화의 역에 벡터 Ax를 곱한 것과 같습니다 만약 벡터 Ax가 있고 이것을 기저행렬의 변화로 곱한다면 벡터 Ax를 비표준기저에서 표현할 수 있습니다 그렇다면 벡터 x는 무엇과 같죠? 벡터 x는 기저행렬의 변화에 이들 비표준좌표로 표현되는 x를 곱한 것과 같습니다 이것은 C의 역 곱하기 A 곱하기 x와 같고 x는 다음과 같을 것입니다 x는 이렇게 C에 x의 비표준좌표를 곱한 것과 같습니다 정리해볼게요 이 부분에서 잠깐 헷갈렸죠 x의 비표준좌표를 안다면 혹은 B에 관한 좌표의 x를 안다면 이것을 D로 곱합니다 그러니까 이것으로 시작해 D를 곱하면 이 점을 알게 되죠 이것은 이 점과 같습니다 이것은 이 점과 같습니다 이 점은 x 변환을 표준적으로 표현한 것 혹은 x 변환을 B에 관한 좌표로 표현한 것과 같아야 합니다 표현한 것과 같아야 합니다 x 변환은, x가 표준좌표로 표현된다면 A 곱하기 x를 한 것과 같습니다 그냥 A 곱하기 x요 하지만 이것을 비표준좌표에서 표현하고 싶죠 A 곱하기 비표준좌표의 x는 이것과 동일하게 본다면 C의 역 곱하기 A 곱하기 x와 같다고 할 수 있습니다 그러니까 이걸 알고 비표준좌표로 표현하고 싶다면 C의 역으로 곱하면 되겠죠 그러면 비표준좌표에서의 표현을 할 수 있습니다 마지막으로, x는 C 곱하기 비표준좌표로 표현된 x와 같습니다 그러니까 여기 x를 대체할 수 있겠죠 여기서 가장 중요한 것은 D와 기저 B에 관한 x의 좌표를 곱한 것은 C의 역 곱하기 A 곱하기 C 곱하기 기저 B에 관한 x의 좌표와 같다는 것입니다 좌표와 같다는 것입니다 그러니까 D는 C의 역 A, C 를 곱한 것과 같아야 하죠 D는 그러니까 기저 B로 표현되는 T를 위한 변환행렬이라면 여기에 써볼게요 그리고 C가 B를 위한 기저행렬의 변화라면 그리고 C가 B를 위한 기저행렬의 변화라면 가장 중요한 부분이니까 여기에 써볼게요 가장 중요한 부분이니까 여기에 써볼게요 그리고 A가 표준기저로 표현되는 T를 위한 변환행렬이라면 이 부분이 가장 중요합니다 우리는 행렬 D가 C의 역 곱하기 A 곱하기 C와 같다는 것을 알 수 있는 것이죠 이것이 이 강의의 핵심입니다 아주 흥미롭죠 이 부분을 놓치지 않기를 바랍니다 이제 우리는 A가 특정 좌표의 집합이라는 것을 압니다 이제 우리는 A가 특정 좌표의 집합이라는 것을 압니다 하지만 Rn을 표현하는 여러가지 기저가 있죠 그러니까 여러 좌표계에서 선형변환을 나타내는 다른 행렬을 가질 수 있습니다 만약 여러 좌표계의 각기 다른 행렬을 구하고 싶다면 근본적으로 우리는 다루고 싶은 좌표계를 위한 기저행렬의 변화를 세우고 새로운 기저에 관한 새로운 변환행렬을 이런 방식을 사용해서 만들 수 있습니다