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주요 내용

가역성이 있는 기저변환행렬

다른 좌표계 사이를 오가기 위해 가역성이 있는 기저변환행렬을 이용해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

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동영상 대본

이전 동영상들에서 한 것 처럼 기저 벡터들 B 집합이 있다고 가정합시다 그리고 그 기저 벡터들이 v1, v2에서 vk까지 있다고 생각합시다 이것은 k차원 부분공간을 생성할 겁니다 그럼 이것들은 각각 Rn의 원소들입니다 v1, v2에서 vk까지 말입니다 이것들은 모두 Rn의 원소들입니다 마지막 동영상에서 기저 행렬 변환을 정의할 수 있다는 것을 배웠습니다 기저 행렬 변환은 말만 어렵지 그냥 열들에 기저 벡터들로 구성된 행렬입니다 v1, v2에서 vk까지 행렬의 열들을 구성합니다 그러니까 k개의 열과 n개의 행이 존재하겠죠 이들이 모두 Rn의 원소이기 때문에 n개의 항목을 가질 것입니다 n개의 행이 있겠죠 그러니까 n×k의 행렬이 될 것입니다 지난 강의에서, Rn의 원소인 임의의 벡터 a가 있다면 그리고 a가 B의 생성에 속하면 a를 다음과 같이 표현할 수 있다고 했습니다 a는 기저행렬의 변화 곱하기 기저에 관한 a의 좌표와 같다고 할 수 있습니다 이것이 지난 강의에서 확인한 것입니다 B에 관한 a의 좌표가 있다면 기저 행렬의 변화로 곱하여 표준 좌표의 벡터 a를 얻을 수 있습니다 혹은, 표준 좌표의 벡터 a를 안다면 B에 관한 좌표의 a를 구할 수 있습니다 지난 강의에서 확인했었죠 자 이제 특별한 경우를 살펴봅시다 C의 역행렬이 존재한 다고 해보죠 이 말은 무슨 뜻이죠? 혹은 이것이 C에 대해 나타내는 것이 무엇이죠? C의 역행렬이 존재한다는 것은 두 가지를 의미합니다 C가 정사각행렬이거나, 같은 개수의 행과 열을 가진다는 것입니다 그리고 행이나 열이, 둘 중 어떤 것이라도 선형독립한다는 것입니다 열이 선형독립한다고 해보죠 두 번째 문장은 살짝 반복적이죠 C는 선형독립한 열을 가진다는 것을 알고 있습니다, 왜냐하면 열이 부분공간의 기저를 이루니까요 그러니까 기저에서는, 정의에 의해 모든 벡터가 선형독립해야합니다 모든 벡터가 선형독립해야합니다 그러니까 이 부분이 약간 반복적이죠 하지만 흥미로운 것은, C의 역행렬이 존재한다는 것을 안다면 C는 정사각행렬이어야 한다는 것이죠 그리고 이 벡터들이 모두 Rn의 원소라면 k는 n과 동일해야합니다 그러니까 C가 정사각행렬이라는 것은 k가 n과 같거나, n개의 기저벡터가 있다는 뜻입니다 자 그렇다면, B의 생성은 어떻게 구할까요? 생각해봅시다 Rn에는 n개의 선형독립하는 벡터가 있죠 그러니까 Rn에 n개의 선형독립하는 벡터가 있을 때에는 그 벡터들은 Rn의 기저를 이루는 것입니다 n개의 선형독립하는 성분은 Rn을 이루는 기저가 된다는 것이죠 그러니까 B는 Rn의 기저가 될 것입니다 정리하면, C의 역행렬이 존재한다는 것을 안다면 기저벡터의 선형결합을 이용하여 Rn의 그 어떤 벡터라도 만들 수 있습니다 지난 강의에서는 벡터 a가 이 벡터들의 생성에 속하는지 확인해야했습니다 하지만 이제는 그럴 필요가 없어요 C의 역행렬이 존재한다면 B의 생성은 Rn과 같을 것이기 때문이죠 다른 말로는, B의 생성이 Rn과 같다면 n개의 벡터가 있다면, k가 n과 같다면 B의 생성은 Rn과 동일할 것입니다 그러니까 n개의 벡터, n개의 선형독립한 열이 있다면, 선형독립한 열을 가진 n×n의 행렬이 될 것입니다 그 경우 C의 역행렬이 존재하겠죠 그러니까 쌍조건문일 것입니다 그리고 반대로도 얘기할 수 있습니다 B의 생성이 Rn이라면, C의 역행렬은 존재합니다 둘 중 하나만 참이어도 같은 식을 쓸 수 있기 때문에 유용합니다 그러니까 이걸 알고 저걸 구하려고 할 때 단지 C만 곱하면 되는 것이죠 그러니까 이걸 알고 이걸 구한다고 해봅시다 전에는 이 확대행렬을 세우고 구했어야했죠 하지만 C의 역행렬이 존재한다는 걸 알 때는 여기의 벡터가 기저의 생성에서 표현될 수 있다는 것을 압니다 그러니까 여기 벡터는 이들의 선형결합으로 표현될 수 있는 것입니다 그러니까 이 좌표들, 기저에 대한 좌표들에서 임의의 벡터가 표현될 수 있음을 알 때 우리는 이 식의 양쪽을 C의 역으로 곱할 수 있습니다 곱하면 어떻게 되죠? C의 역 곱하기 C 곱하기 B에 관한 a의 좌표는 C의 역과 a를 곱한 것과 같습니다 이것은 그냥 항등행렬이죠 다르게 쓰면, Rn을 모두 생성하는 기저 B에 관한 a의 좌표는 C의 역과 벡터 a를 곱한 것과 같습니다 이것을 좀 적용해봅시다 이것을 좀 적용해봅시다 이번 강의에서 이 정보를 가지고 구체적인 예시를 들어보도록 하죠 임의의 기저가 있다고 가정해봅시다 두 개 벡터를 정의하겠습니다 이렇게 해보죠 v1이 벡터 1, 3이라고 할게요 v2는 벡터 2, 1이라고 하겠습니다 v1와 v2의 집합과 같은 기저가 있죠 이들이 선형독립한다는 것을 확인하는 것은 여러분의 몫으로 남겨둘게요 R2에 두 개의 선형독립한 벡터가 있다면 B는 R2의 기저가 될 겁니다 그리고 기저행렬의 변화를 써본다면 C가 1, 3, 2, 1이라고 할 때 C의 역행렬이 존재한다는 것을 알죠 이것을 증명하기 위해서는 역을 구해보면 됩니다 자 그렇다면 C의 행렬식은 무엇이죠? C의 행렬식은 1×1-2×3 그러니까 -5이겠죠 이것이 C의 행렬식입니다 그러니까 C의 역은, 우리는 2×2의 행렬에서의 일반적인 공식을 구했었죠, 1을 C의 행렬식으로 나눈 것이니까 1 나누기 여기 두 1들을 서로 바꾸고 이 둘을 음수로 만듭니다 그러니까 -2 그리고 -3이 되겠죠 그리고 C의 행렬식이 0이 아니라는 사실은 역을 구할 수 있다는 것을 의미합니다 하지만 아무튼, 이것이 C의 역이죠 그러니까 R2의 원소인 벡터 a가 있다고 해봅시다 무작위의 숫자를 사용해보도록 할게요 a가 7, 2라고 해봅시다 그리고 기저 B에 관한 a의 좌표를 구해봅시다 이렇게 해볼게요 a가 무엇인지 아니까, a에 C의 역을 곱하면 여기 B에 관한 a의 좌표를 구할 수 있겠죠 써보도록 할게요 C가 무엇이죠? C는 이것이고 C의 역은 이것이죠 그러니까 B에 관한 a의 좌표를 C의 역과 a의 표준 좌표를 곱한 것으로 쓸 수 있습니다 혹은 이렇게도 쓸 수 있죠 실제로 숫자를 대입해보도록 하죠 B에 관한 a의 좌표는 C의 역인 -1/5 곱하기 1, -3 -2, 1 곱하기 a, 곱하기 7, 2가 될 겁니다 이것은 뭐랑 같죠? -1/5는 그대로 있고 1×7+(-2)×2 이 부분은 -4니까 7-4는 3이겠죠 다음으로는 -3×7 -21에 1×2를 더합니다 그러니까 -21+2는 -19가 되겠네요 기저 B에 관한 a의 좌표는 다음과 같을 것입니다 일단 -1/5를 정리해볼게요 -3/5가 되고 19/5가 되겠네요 19/5가 되겠네요 이렇게요 확인해봅시다 이것은 a가 -3/5에 첫 기저벡터를 곱한 것에 19/5에 두 번째 기저벡터를 곱한 것을 더한 것과 같다는 뜻입니다 이 경우가 맞다는 것을 확인해보죠 자, -3/5 곱하기 1, 3 더하기 19/5 곱하기 2, 1 이건 무엇과 같을지 봅시다 두 개의 벡터를 써보죠 -3/5 곱하기 3은 9/5겠죠 그리고 이걸 더해보겠습니다 2 곱하기 19니까 38/5가 될 거에요 맞죠? 그리고 19/5 곱하기 1은 19/5일 겁니다 다음으로 이 두 벡터를 더하면 어떻게 될까요? -3/5+38/5이므로 35/5가 되어 7과 같겠죠 -9/5+19/5는 10/5니까 2가 같습니다 자 이제 됐죠 이것이 본래의 a였습니다 우리는 방금 a가 -3/5 곱하기 첫 번째 기저벡터, 더하기 19/5 곱하기 두 번째 기저벡터와 같다는 것을 확인했습니다 자 이것은 벡터 a를 B에 관한 좌표르 나타내려고 했을 때의 경우이죠 반대의 경우일 땐 어떨까요? 만약 B에 관한 벡터 w의 좌표가 간단하게 해봅시다 1, 1일 경우는 어떨까요? 이 경우 표준좌표의 w는 뭘까요? 그냥 곱해보면 되겠네요 w는 기저행렬의 변화, 곱하기 B에 관한 w의 좌표와 같다는 걸 잊지 마세요 그러니까 w는 기저행렬의 변화인 1, 3, 2, 1에 B에 관한 w의 좌표인 1, 1을 곱한 것과 같을 것입니다 풀어보면, 1×1+2×1가 되어 3이겠죠 다음은 3×1+1×1 3+1이니까 4일 것입니다 그러니까 w는 벡터 3, 4입니다 그러므로 기저행렬의 변화에 역이 존재한다는 것을 안다면 다른 말로는 기저가 Rn을 생성한다는 뜻이고 이번 예시에서는 R2겠죠, 그렇다면 표준 좌표와 기저에 관한 좌표로 번갈아 표현할 수 있다는 것입니다 그렇죠? 이건 기저에 관한 좌표이고 이것은 표준 좌표입니다 단순히 이 정보를 사용해서, 그러니까 기저에 관한 좌표가 C의 역에 a를 곱한 것 혹은 기저행렬의 변화의 역에 a를 곱한 것과 같다는 점을 사용해서 구할 수 있습니다 혹은, 표준 기저에 관한 좌표는 기저행렬의 변화에 기저에 관한 좌표를 곱한 것이라고 할 수 있습니다