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좌표계 변환을 이용한 변환행렬 구하기

동영상 대본

R2에 있다고 가정합시다 그래프를 그리겠습니다 이게 세로축입니다 이게 가로축입니다 이렇게 말입니다 벡터 1, 2 가 있다고 합시다 제 벡터는 이렇게 생겼습니다 1 그리고 위로 2 갑니다 그래서 제 벡터는 이렇게 생겼습니다 한번 그려보겠습니다 이게 제 벡터입니다 벡터 1,2 입니다 이 벡터로 생성된 선을 보고싶습니다 선 L을 정의하겠습니다 선 L은 집합 t 곱하기 1, 2입니다 t는 실수입니다 그럼 이 선은 2의 기울기를 가진 선입니다 1을 움지일때마다 2를 위로 갑니다 이 선을 한번 그려보겠습니다 여기까지는 새로운게 없습니다 이것보다 조금 더 잘 그려보겠습니다 이제 됐네요 이렇게 계속 갑니다. 벡터의 음에 배수도 있을 수 있으니까 여기로도 갈 수 있습니다 이 벡터의 양의 배수 또는 음의 배수로 정의된 포인트들은 이 선을 표준위치로 그리면 모두 그 위에서 볼 수 있습니다 이게 이 벡터의 선입니다 이제 이 선 주위에 반사되는 선형변환을 만들 겁니다 예를 들어 이 벡터가 있으면 이렇게 그리겠습니다 이 벡터가 이 포인트를 지정한다고 합시다 이 벡터는 벡터 x라고 합시다 이 벡터 x의 변환이 이 선 주위로 반사된 x여야 합니다 이 방향으로 가면 이게 변환이 돼야 합니다 이게 x의 변환이 되길 원합니다 이렇게 생겨야합니다 다를 예를 들겠습니다 이 벡터가 있다고 가정해봅시다 다른 벡터도 있습니다 이 선에 직교하는 벡터도 있다고 합시다 벡터 v1이 있다고 가정합시다 이거랑 직교합니다 이 성분들 중에 하나를 음수로 만들겠습니다 벡터 2, -1 이 있으면 선이랑 직교하는 걸 시각적으로 볼 수 있습니다 이걸 v1라고 하겠습니다 v1는 2, -1 입니다 시각적으로 직교하는 걸 볼 수 있습니다 내적으로 직교하는 걸 알 수 있습니다 2 곱하기 1 더하기 -1 곱하기 2는 0입니다 그래서 v1은 당연히 생성벡터와 직교합니다 선에 있는 모든 포인트와 직교합니다 이것의 변환을 하면 그냥 선을 뒤집는 것이랑 같습니다 이렇게 그릴 수 있습니다 그래서 v1의 변환은 초록색으로 그린 것과 같습니다 그래서 v1의 변환은 그냥 이 선을 뒤집을 것과 같습니다 선 L에 대한 반사를 찾고 있습니다 그래서 이게 v1에 대한 변환입니다 실제 변환 행렬은 무엇인지 아직 모릅니다 그것을 찾는게 이 비디오의 핵심입니다 하지만 v1의 변환은 이건의 음수일 것입니다. 그래서 -2, 1 입니다 이 변환을 정의하고 싶습니다 이 변환을 R2에서 R2로 정의하고 싶습니다 이건 반사입니다 어떻게 표현해도 좋은데 벡터 x는 선 L에 대한 반사입니다 이전에 변환벡터를 찾으려면 선형변환을 알아야 합니다 이게 선형변환인 건 다시 안 보여도 될 겁니다 이전에 선형변환의 변환행렬을 찾으려면 T(x)는 임의의 2×2 행렬입니다 왜냐하면 R2에서 R2 곱하기 x로 사상하기 때문입니다 이전에는 A를 찾으려면 A는 첫 표준기저벡터 1,0에 변환을 적용하면 됩니다 그리고 A의 두번째 열은 0, 1에 변환을 적용하면 됩니다 만약 Rn에 대해 알아보면 이걸 n번 하고 n 기저벡터들이 있을 겁니다 이걸 여러번 봤습니다 이전에 변환행렬을 만들었을 때 이것들을 찾는 건 복잡하지 않았습니다 하지만 이제는 그렇게 쉽게 구할 수 없습니다 벡터 1, 0이 있다면 이것의 변화능ㄹ 찾으려면 이것 뒤집으면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 기하학이랑 삼각법을 더 창의적이게 쓰면 이 수랑 이 수를 찾을 수 있습니다 0, 1을 뒤집으면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 찾을 수 있지만 쉽지 않습니다 한번 써보겠습니다 쉽지 않습니다 이렇게 찾을 수도 있지만 더 쉬운 방법이 있습니다 이 쉬운 방법을 한번 배워보겠습니다 통찰할 수 있을 겁니다 다른 좌표계에 대해서 말했습니다 이것의 변환도 말입니다 표준좌표계에서 찾는 건 어렵습니다 왜냐하면 이 선에 대해 반사하기 때문입니다 하지만 선에 대한 반사가 더 자연스러운 좌표계를 정의하면 어떨까요? 벌써 당신은 흥미로운 좌표계를 볼 수 있을 수 있을 겁니다 v1를 하나의 기저 벡터 그리고 다른 기저벡터는 1,2로 된 좌표계가 있다고 합시다 그럼 적어요 이 좌표계에서는 반사가 이 기운어진 선 주위로 안해도 됩니다 반사는 두번째 좌표축에 대한 반사일 겁니다 그럼 더 자연스러운 변환일 겁니다 이건 되게 흥미롭습니다 이전 비디오들에서 한 걸 한번 복습해보겠습니다 이전 비디오들에서 표준좌표에 있으면 벡터 x에 행렬 A를 곱하면 x의 변환을 구합니다 이건 여러번 봤습니다 이건 표준좌표입니다 좌표에 변환도 봤습니다 다른 기저에 대한 좌표도 구할 수 있습니다 x 곱하기 C의 역함수를 하면 다른 기저에 대한 x의 표현 또는 다른 좌표를 찾을 수 있습니다 그럼 그럴 행렬 D랑 곱할 수 있습니다 D는 C의 역함수 곱하기 A 곱하기 C입니다 마지막 2번째 또는 3번째 비디오에서 보여준 것 같습니다 C는 기저변환행렬이라는 것을요 C는 그냥 새로운 기저벡터들을 열로 있는 행렬입니다 C의 역함수는 그것의 역입니다 그럼 D를 적용할 수 있습니다 D랑 x의 B 좌표 버전을 곱하면 x의 변환을 B 좌표 버전으로 구할 수 있습니다 그건 x의 변환입니다 x의 변환은 B 좌표로 표현할 수 있습니다 이걸들 왔다갔다 바꿀 수 있다는 것도 배웠습니다 C의 역함수를 곱하면 이쪽으로 갈 수 있습니다 C를 곰하면 저 쪽으로도 갈 수 있습니다 여러 비디오에서 이걸 공부했었습니다 이번 비디오에서 A를 찾고 싶습니다 이 변환을 말로만 정의했습니다 표준기저로 표현된 변환행렬을 찾고 싶습니다 하지만 쉽지 않다는 걸 압니다 어려운 기하학이랑 삼각법을 사용해 1, 0 이 1, 2 벡터로 생성된 선에 반사되면 어떻게 되는지 찾아야 합니다 쉽지 않습니다 하지만 기저를 변환하면 어떨까요? 새로운 기저로 변환하면 어떨까요? 새로운 기저를 정의한다고 합시다 생성된 벡터들 또는 기저벡터들은 이 벡터들 2, 1 그리고 벡터 1, 2입니다 새로운 가로축은 가로가 아닌 것을 알 것입니다 새로운 가로축은 이렇고 새로운 세로축은 이렇습니다 그럼 이 새로운 좌표계에서는 변환은 이 새로운 세로축에 반사입니다 그래서 D를 구하는 게 더 쉬웁니다 이 좌표계에서 더 간단한 변환입니다 D를 구하면 A의 해를 구할 수 있습니다 이건 배웠었습니다 A는 C 곱하기 D 곱하기 C의 역함수입니다 이전 비디오에서 보여드렸습니다 새로운 좌표계에서 D를 찾는 게 더 쉬운지 보겠습니다 한번 실험해보겠습니다 변환벡터들을 표시하겠습니다 이게 기저벡터들이라고 합시다 저건 v1이라고 하겠습니다 여기에서 표기한 것이랑 똑같습니다 이 생성벡터에 대해 반사한다고 생각하고 이걸 v2라고 하겠습니다 새로운 좌표계는 기저 v1 그리고 v2로 만들어져 있습니다 v1은 새로운 기저로 어떻게 표현될까요 새로운 기저로 변환하면 얼마만큼 첫번째 기저벡터 또는 두번째 기저벡터가 v1의 선형결합을 하기 위해 필요한지 말해줍니다 v1은 1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2입니다 C의 역함수를 찾아 곱했을 수도 있으나 v1을 만드는 기저벡터들의 선형결합 찾는 게 의미 없으니 생략하겠습니다 그걸 찾는 건 의미 없습니다 v1은 1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2입니다 기저 B에 대한 좌표들은 1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2입니다 좋습니다 그럼 D는 뭘까요? 한번 보겠습니다 D를 먼저 찾고싶습니다 D를 찾으면 바로 이 공식을 적용해 A를 찾을 수 있습니다 D는 2×2 벡터라고 합시다 R2에서 R2로 사상합니다 계속 2차원 공간에서 존재합니다 2차원 공간에서 사상합니다 그래서 D는 두개의 열벡터 d1 그리고 d2로 이루어져있습니다 그럼 D 곱하기 이건 뭘까요? 이렇게 써보겠습니다 조금 밑으로 가겠습니다 조금만한 차트를 보여드리고 싶습니다 D 곱하기 B 좌표에 대한 첫번째 기저벡터는 D의 열들인 d1, d2 곱하기 B 좌표에 잇는 v1입니다 그래서 곱하기 1, 0 입니다 그래 이게 뭘까요? 그건 이 열들의 선형결합입니다 그래서 1 곱하기 d1 더하기 0 곱하기 d2 입니다 그래서 d1이 첫번째 열입니다 저건 뭘까요? D 곱하기 B 좌표 버전의 x는 뭘까요? B좌표 버전의 x의 변환을 까먹었습니다 그래서 그건 B 좌표 버wjs의 v1의 변환입니다 x 대신에 v1을 여기다 넣습니다 그럼 B버전의 v1 버전 곱하기 D는 B버전의 v1의 변환 또는 B에 대한 그것의 좌표입니다 저것과 동일합니다 여기에 여러가지 흥미로운 게 있습니다 첫번째 행을 이걸 적용하면 D 곱하기 이걸하면 D의 첫번째 행을 구할 수 있습니다 왜냐하면 이것 곱하기 1, 0 첫번째 기저를 하면 이 기저벡터들을 자긴들의 기저로 표현하면 그냥 새로운 좌표계에 있는 표준기저벡터들로 볼일 겁니다 그래서 2, 1을 이거에 대한 새로운 기저로 표현하면 1 곱하기 이거 더하기 0 곱하기 이거입니다 그래서 1, 0 입니다 v2를 새로운 기저로 표현하고 싶으면 뭘까요? 그건 0 곱하기 이거 더하기 1 곱하기 이것입니다 0 곱하기 v1 더하기 1 곱하기 v2입니다 그래서 0, 1입니다 이게 일반적인 것을 볼 수 있습니다 생각해보면 이거 당연합니다 왜냐하면 첫번째 기저벡터는 1 곱하기 첫번째 기저벡터 더하기 0 곱하기 두번째 기저벡터이기 때문입니다 n 기저벡터들이 있으면 그럼 1 곱하기 첫번째 벡터 더하기 0 곱하기 나머지입니다 일반적으로 n 기저벡터가 있습니다 그리고 이걸 새로운 기저로 표현하고 싶습니다 그럼 근본적으로 0들이 많을 겁니다 왜냐하면 1 곱하기 n번째 기저벡터이고 나머지는 0입니다 그래서 이게 n번째 항입니다 이건 일반적으로 적용됩니다 만약 표준기저벡터들을 그렇게 부르고 싶으면 이걸 en이라고 부를 수 있습니다 이건 유용하지만 몰라도 되는 겁니다 이 아이디어가 일반화 될 수 있다는 걸 보여주고 싶었습니다 이게 왜 유용할까요? 이 논리를 적용하면 D 곱하기 이것은 저것입니다 D의 첫번째 열은 B 좌표로 된 첫번째 기저벡터에 적용된 변환입니다 D를 다시 쓰고 싶었으면 D를 다시 이렇게 쓸 수 있습니다 D의 첫번째 열은 d1입니다 이건 B 좌표에 있는 첫번째 기저벡터 v1에 적용된 변환가 똑같습니다 그럼 d2는 뭘까요? 두번째 기저벡터 v2에도 똑같이 하겠습니다 D 곱하기 B 좌표에 있는 두번째 기저벡터 v2입니다 이건 d1, d2 곱하기 새로운 좌표계에서 표현한 이것입니다 이게 새로운 좌표계에서는 어떻게 표현되죠? 0 곱하기 v1 더하기 1 곱하기 v2입니다 0,1 입니다 여기에 다 썻습니다 0, 1 입니다 이건 0 곱하기 d1 더하기 1 곱하기 d2입니다. 그래서 d2입니다 그래서 이것은 뭘까요? D 곱하기 B 좌표로 표현된 x를 곱하면 B 좌표로 표현된 x의 변환입니다 그래서 이건 B 좌표로 표현된 v2의 변환입니다 D는 이렇게 표현됩니다 이게 D의 첫번째 열입니다 D2의 두번째 열은 이것입니다 B의 좌표에 있는 v2의 변환입니다 이것보다 이렇게 찾는 게 더 쉽나요? 이전에 변환을 표준기저벡터들에 적용하면 표준변환 또는 변환행렬을 표준기저에 대해 구할 수 있다고 했습니다 그게 우리가 찾고 싶은 것의 전부였습니다 저건 쉽지 않다고 했습니다 이게 더 쉽나요? 그러 v1의 변환은 뭘까요? 원래의 변화의 정의를 다시 생각해봅시다 이게 v1입니다 v1의 변환은 -v1이였습니다 v1의 변환을 B 좌표로 쓰고 싶습니다 여기에 써보겠습니다 v1의 변환은 선에 대해 반사하면 -v1입니다 v1이 선 L에 직교하니까 그럽니다 그래서 v1을 골랐습니다 이것의 변환을 하면 이걸 뒤집으면 됩니다 그럼 그 벡터가 마이너스가 됩니다 이럼 이건 뭘까요? 만약 B 좌표로 쓰고 싶으면요 -v1은 -1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2입니다 -v1의 B에 대한 좌표들은 -1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2입니다 이건 이 기저벡터에 적용된 무게들입니다 그래서 이건 쉽습니다 이건 -1 그리고 0 입니다 D의 첫번째 열입니다 그럼 D의 두번째 열은 뭘까요? 이건 v2의 변환입니다 v2는 선 L을 생성하는 벡터입니다 이건 v2 입니다 그럼 v2를 변환하면 어떻게 될까요 이 선 위에 있는 것을 이 선에 대해 반사하면 변화가 없이 똑같습니다 아무것도 안 변합니다 이것 주위에 반사한는 것입니다 이 벡터를 돌리는 걸 상상할 수 있을 것입니다 그건 벡터를 바뀌지 않습니다 그렇죠? 그래서 이것 1, 2의 변환은 그냥 1, 2입니다 v2의 변환은 그냥 v2입니다 한번 써보겠습니다 v2의 변환은 v2입니다 이 기저벡터들을 변환하는 게 자연스러워서 고른 걸 알 수 있습니다 되게 쉬웠습니다 그럼 이것은 어떨까요? 이걸 B 좌표로 표현하고 싶으면요? B 좌표로 v2는 0, 1이라는 걸 알아냈습니다 그래서 그냥 0, 1입니다 이제 기저 B에 대한 변환행렬 D가 있습니다 D는 B 좌표에 대한 첫번째 기저벡터의 변환입니다 이것은 1, 0입니다 그리고 D의 두번째 변환은 B 좌표에 대한 두번째 기저벡터의 변환입니다 이것은 0, 1입니다 이걸 B 좌표로 표현된 두번째 기저벡터의 변환이라고 할 수 있습니다 말이 좀 뒤얽이네요 하지만 잘 이해하실 수 있을 겁니다 이건 쉬웠습니다 D를 구했습니다 기저를 변환하고 D를 구하는 게 더 자연스러웠다는 걸 느끼실 겁니다 이제 D가 뭔지 알았으니까 A를 구할 수 있습니다 표준기저에 대한 변환행렬을 풀 수 있습니다 그러기 위해서는 C랑 C의 역함수를 알아야 합니다 C는 그냥 기저행렬변환입니다 그건 그냥 기저벡터들입니다 열이 기저벡터들로 구성된 행렬입니다 여기에 기저가 있습니다 C는 그냥 2, 1 그리고 1, 2입니다 C의 역함수는 뭘까요? C의 역함수는 이것의 행렬식입니다 그래서 2 곱하기 2는 4입니다 4 빼기 1 곱하기 1은 3입니다 그래서 행렬식분의 1은 1/3입니다 1/3 곱하기 이 행렬입니다 이 행렬은 이것들을 바꾸는 것입니다 이건 2 그리고 2입니다 이것을 음수로 만들면 됩니다 그럼 -1, -1 입니다 이게 C의 역함수입니다 그럼 이제 A를 구할 수 있습니다 다른 이쁜색을 골라서 쓰겠습니다 A는 2, 1, 1, 2 인 C랑 D를 곱합니다 D는 -1, 0, 0, 1 곱하기 C의 역함수입니다 C의 역함수는 1/3(2, -1, -1, 2) 입니다 이걸 한번 풀어보겠습니다 행렬의 곱을 풀어보겠습니다 이 두개를 풀겠습니다 그럼 뭘까요? 해는 2×2 행렬입니다 2 곱하기 -1 더하기 1 곱하기 0은 -2입니다 이건 2 곱하기 0 더하기 1 곱하기 1입니다 그럼 1이겠죠? 2 곱하기 0 더하기 1 곱하기 1입니다 여기슨 1 곱하기 -1 더하기 2 곱하기 0은 -1입니다 그 다음은 1 곱하기 0 더하기 2 곱하기 1은 2입니다 그 다음에 이것 곱하기 여기 이는 이것을 해야 합니다 1/3을 앞에다 놓겠습니다 나중에 계산해도 되니까요 이걸 곱하겠습니다 2, -1, -1, 2 를 곱하겠습니다 이걸 계산하면 A일 것입니다 노란색으로 하겠습니다 이건 2×2 행렬입니다 그럼 -2 곱하기 2는 4입니다 실수를 안하게 -4를 쓰겠습니다. -2 곱하기 2 더하기 1 곱하기 -1은 -1입니다 이건 저 항입니다 다음 항은 -2 곱하기 -1입니다 그럼 2 더하기 1 곱하기 2는 2 더하기 2입니다 그럼 이 항을 하겠습니다 -1 곱하기 2는 -2 더하기 2 곱하기 -1은 -2입니다 그래서 -2-2입니다 마지막으로 -1 곱하기 -1은 1입니다 1 더하기 2 곱하기 2입니다 그럼 1 더하기 4입니다 맞게 했는지 확인하겠습니다 -2 곱하기 2는 -4입니다 1 곱하기 -1하면 맞습니다 1/3이 앞에 있으니 1/3 곱하기 이 행렬을 해야합니다 -4 -1은 -5입니다. 그 다음은 4, -4, 그리고 5입니다 그래서 5/3, 4/3, -4/3 그리고 5/3입니다 이게 표준기저에 대한 변환행렬 A입니다 한 번 다시 체크하겠습니다 이전에 이 문제를 풀었었는데 다른 답을 얻었던 것 같습니다 다시 한번 맞게 했나 확인해보겠습니다 C는 이 기저벡터들입니다 한번 보겠습니다 첫번째 기저벡터는 벡터 2, -1였습니다 여기서 틀렸습니다 첫번째 기저벡터는 벡터 2, -1이였습니다 두번째 기저벡터는 벡터 2,1입니다 그래서 C가 다르게 나왔습니다 다른 건 안 틀렸을 겁니다 왜냐하면 이 정보를 다른데 안 썼기 때문입니다 그래서 2, -1이니까 C는 2, -1입니다 그래서 C의 역함수를 다시 계산하겠습니다 2 곱하기 2는 4 빼기 1 곱하기 1은 4 더하기 1입니다 그래서 5입니다 틀린 점 죄송합니다 이것들을 이제 바꿀 것입니다 그리고 이 두개의 항들이 음수가 될 것입니다 그래서 이것들은 음수입니다 이것들을 양수입니다 다시 한번 쓰겠습니다 다시 한번 쓸린 점 사과드립니다 C의 역함수는 2, 1, -1, 2 곱하기 1/5입니다 1/3이 아닙니다 이게 -1이 바꾸는 것입니다 그래서 뭘할까요? 이게 C의 역함수입니다 그래서 2, -1입니다 이건 양수 1입니다 그리고 이 분모는 5입니다 그래서 이게 5입니다 이건 양수 1입니다 이건 안 바꿉니다 아닙니다 C가 2, -1이니까 바꿉니다 이 부분을 다시 하겠습니다 여기 문제가 더 큰 것 같습니다 수정하는 것 보다 다시하는 게 더 빠를 것 같습니다 곱샘을 다시 하는 게 쉽습니다 죄송합니다 제 실수 때문에 당신의 시간을 낭비해서 죄송합니다 다시 쓰겠습니다 A는 2, 1, -1, 2 입니다 2, -1, 1, 2입니다 이것들은 기저벡터들입니다 여기 마이너스 기호를 까먹었습니다 기저벡터들 곱하기 행렬 D -1,, 0, 0, 1입니다 곱하기 1/5입니다 이건 C의 역함수입니다 2, 1, -1, 2 입니다 그래서 이건 뭘까요? 이 두개를 먼저 풀겠습니다 1/5 곱하기 2 곱하기 -1 더하기 1 곱하기 0입니다 그래서 -2입니다 2 곱하기 0 더하기 1 곱하기 1은 1입니다 -1 곱하기 -1 더하기 2 곱하기 0은 1입니다 -1 곱하기 0은 0입니다 더하기 2 곱하기 1은 2입니다 그런 다음 그걸 2, -1, 1, 2이랑 곱합니다 그래서 이게 뭘까요? 1/5 곱하기 -2 곱하기 2은 -4 더하기 1 곱하기 1 더하기 1입니다 다음 항은 -2 곱하기 -1은 2입니다 더하기 1 곱하기 2는 2입니다 그리고 1 곱하기 2는 2입니다 더하기 2 곱하기 1은 2입니다 맞죠? 1 곱하기 2 더하기 2 곱하기 1입니다 그리고 1 곱하기 -1입니다 1 곱하기 -1은 -1입니다 더하기 2 곱하기 2는 4입니다 그래서 1/5 곱하기 -4 4, 4, 그리고 -3입니다 아닙니다, 죄송합니다 양수 3입니다 -4+1은 -3이고 -1+4는 3입니다 여기서 보시는 것과 같이 행렬을 다루면 연산을 잘해야 합니다 행렬 A는 이전과 달리 3/5, 4/5, 4/5 3/5입니다 기저벡터들을 잘 못 쓰고 음수들을 까먹어서 만든 연산 실수를 배제하면 이 비디오에서 배운 방법이 표준기저에 대해 변환행렬 A를 찾는 게 더 쉽다는 것을 알겁니다 변환행렬 D를 더 자연스러운 기저좌표꼐에서 먼저 찾고 그런 다음에 A의 해를 구하면 됩니다 그리고 정답이라는 걸 바라며 이 것과 같은 결과를 얻으면 됩니다 이 답은 제 기억이 맞다면 이 문제를 첫번째로 풀었을 때랑 같습니다