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주요 내용

번갈아 생기는 기저의 변환행렬 예제 2

기저 B 에 대한 변환행렬이 실제로 기능을 하는지 알아봅시다. 먼저 다른 기저로 실행하고자 하는 이유를 간단히 짚어 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

이제 다른 좌표계에서 선형변환을 할 수 있는 걸 압니다 이전에 했던 변환은 표준기전에 대해 했던 변환들입니다 마지막 비디오에서 표준좌표에서 벡터 x가 정의역에 있고 변환을 적용하면 표준기저에 대한 변환을 A 변환행렬이라고 하면 이런 사상이 있을 겁니다 x를 A랑 곱하면 x의 변환을 얻습니다 이전 비디오들에서 봤던 걸 기억해봅시다 그래서 똑같은 사상을 하면 따른 좌표계에서도 할 수 있습니다 기저 B에 대한 임의의 좌표계에서 똑같은 걸 할 수 있습니다 그냥 다른 변환행렬을 사용하면 됩니다 마지막 비디오에서 그 다른 변환행렬이 뭔지 알아봤습니다 기저변환을 해야 합니다 그래서 이 기저가 있다고 합시다 이 모든 걸 복붙하겠습니다 이전에 뭘했는지 이해하기 위해서 말입니다 이게 그 예였습니다 복사하겠습니다 여기에 붙이겠습니다 이전 비디오에서 중요한 것들을 다 여기에 붙이겠습니다 이전 비디오에서는 이게 기저라고 했습니다 여기에 복붙하겠습니다 저게 다른 기저입니다 그리고 기저변환행렬 그리고 그것의 역함수가 있습니다 저것들은 알아두는 게 유용합니다 복붙하겠습니다 그래서 복사하고 붙이겠습니다 수정하고 붙이겠습니다 여기에 쓰겠습니다 이걸 먼저 쓰는 게 좋았을 수 있겠지만 아이디어가 이해가 갑니다 그리고 표준기저에 대한 변환행렬을 쓰고 싶습니다 여기에 쓰겠습니다 이게 어디서 왔는지 궁금하면 이건 모두 이전 문제에서 왔습니다 여기에 복붙하겠습니다 수저하고 붙이겠습니다 그리고 이것도 붙이겠습니다 마지막 비디오의 핵심은 이 기저에 대한 변환행렬을 구하는 것이었습니다 마지막 비디오에서 가장 중요했던 D는 이것입니다 이것도 복붙하겠습니다 복사 그리고 붙여 넣기하겠습니다 마지막 비디오에서 가장 중요한 것들을 한 곳에 모았으니 수정하고 복사하겠습니다 이 비디오에서 하고 싶은 것은 D가 정말 정의한 역할을 하는지 알아보겠습니다 여기에 쓰겠습니다 다른 벡터를 예로들겠습니다 이 변환은 정의역이 R2입니다 벡터 x로 시작하겠습니다 x는 1, -1이라고 합시다 이전에 하던대로 변환을 적용해서 x의 변환을 구할 수 있습니다 한번 해보겠습니다 x의 변환은 이 행렬 곱하기 x입니다 그럼 이건 뭘까요? 한번 보겠습니다 공간을 아끼기위해 이 모서리에 해보겠습니다 그래서 이 행렬 곱하기 x입니다 그래서 이 첫번째 항은 3 곱하기 1 더하기 -2 곱하기 -1입니다 -2 곱하기 -1은 2입니다 그래거 3 더하기 2는 5입니다 두번재 항은 2 곱하기 1 더하기 2 곱하기 -1입니다 이건 그냥 2입니다 그래서 2 더하기 2는 4입니다 그래서 이건 x의 변환입니다 벡터 x는 어떤 좌표로 표현됐을까요? 또는 어떤 다른 기저좌표들로 표현됐을까요? 그래서 벡터 x는 어떻게 이 기저에 대한 좌표로 표현됐을까요? 이전에 한번 봤습니다 여기에 썼습니다 여기에 하는 것도 유용하겠습니다 이걸 복사하겠습니다 이 두개를 다 복사하겠습니다 이것 다 유용할 것입니다 수정하고 복사하겠습니다 여기서 x에서 다른 기저의 x 또는 다른 좌표로 표현된 x로 가려면 x 곱하기 C의 역함수를 해야 합니다 그래서 이것을 복붙했습니다 복사하고 여기 위에 붙이겠습니다 나중에 적용할 수 있게요 x에서 x의 B 좌표들로 가려묜 x를 C의 역함수랑 곱합니다 C의 역함수는 이것입니다 x를 C의 역함수랑 곱하면 이 버전의 x를 구합니다 한번 해보겠습니다 이번에는 저것입니다 -1/3는 앞에 놓겠습니다 -1/3 곱을 곱합니다 암산으로 할 수 있는지 보겠습니다 1 곱하기 1입니다 더하기 -2 곱하기 -1는 2입니다 그래서 1 더하기 2입니다 그건 3입니다 -2 곱하기 1은 -2 더하기 1 곱하기 -1입니다 그럼 -1입니다 그래서 -2 빼기 1이니까 -3입니다 그래서 -1/3 곱하기 이걸하면 B 좌표에 대한 x의 표현은 -1 그리고 1입니다 흥미롭네요 첫번째 항이랑 두번째 항을 바꾼 것 같습니다 D를 x에 적용하면 어떻게 되는지 보겠습니다 그래서 D를 x에 적용하면 B 좌표를 다루면 D는 변환행렬입니다 어떻게 되는지 보겠습니다 자리를 마련하기 위해 밑에 쓰겠습니다 D를 x에 적용하면 뭘까요? 이건 B 좌표에 있는 x의 변환입니다 그래서 이건 뭘싸요? 이걸 D랑 곱해야 합니다 그래서 -1 곱하기 -1은 1입니다 더하기 0 곱하기 1입니다 -1 곱하기 -1은 1입니다 0 곱하기 -1 더하기 2 곱하기 1입니다 그래서 2 곱하기 1은 2입니다 모든 잘 맞고 연산 실수를 안했으면 이 벡터랑 여기 있는 벡터랑 톡같아야 합니다 만약 표준기저에서 기저 B로 변환하면 말입니다 이 방향으로 가면 이걸 C 역함수랑 곱합니다 이 공식만 쓰고 있습니다 표준기저에 있으며 C의 역함수를 곱하면 기저 B로 변환할 수 있습니다 그럼 뭘 얻는지 보겠습니다 이걸 C의 역함수랑 곱할 것입니다 자기를 아끼기 위해 여기 위에 쓰겠습니다 벡터 5, 4를 C의 역함수랑 곱할 것입니다 그래서 -1/3 곱하기 1, -2, -2, 1을 할 것입니다 -1/3은 앞에 쓰겠습니다 1 곱하기 5는 5입니다 더하기 -2 곱하기 4는 5 빼기 8입니다 그리고 -2 곱하기 5는 -10입니다 더하기 1 곱하기 4입니다 -2 곱하기 5는 -10입니다 더하기 1 곱하기 4는 4입니다 그래서 이건 -1/3 곱하기 -3입니다 그럼 이건 뭘까요? 이건 -6입니다 이걸 -1/3 곱하면 음수는 양수가 되고 1, 2가 됩니다 정답입니다 이것의 기저를 기저 B로 변환하려면 또는 좌표계를 B에 대한 좌표계로 변환하려면 이걸 C의 역함수랑 곱하면 됩니다 그리고 정답을 얻습니다 문자 그대로 B 좌표로 표현한 x의 변환입니다 그냥 이걸 C의 역함수랑 곱했습니다 그 결과는 B 좌표 버전의 x를 구하고 B 좌표에 대한 변환행렬 적용해서 이거랑 곱한 것과 같습니다 똑같은 답을 얻었습니다 이 짧은 방법을 사용했건 이 방법을 사용했 건 상관없습니다 똑같은 답을 얻었습니다 이건 증명이 아닙니다 그냥 마지막 비디오에서 한 것이 임의의 x와 같은 경우에도 적용된다는 것을 보여드리고 싶었습니다 다른 것들에도 적용된다는 것 당신이 확인할 수 있습니다 이 비디오에서 기저변환을 하면 변환행렬을 찾을 수 있다는 걸 이해했을 겁니다 어떻게 하는 건 보여줬지만 왜할까요? 마지막에 어떤분이 댓글을 달았습니다 왜하는지 질문하셨습니다 지금 그 댓글을 보고 있지 않지만 기억해보면 그분의 선생님께서 선형대수학은 알맞은 기저를 고르는 학문이라고 하셨다고 합니다 한번 써보겠습니다 또는 알맞은 좌표계를 고르는 것과 같습니다 그럼 왜 알맞은 좌표계를 고르는 것이 중요할까요? 큰 따움표로 강조해보겠습니다 그럼 알맞은 좌표계를 구하는 것은 무엇을 의미할까요? 본래의 표준기저에 대한 변환행렬을 살펴보면 괜찮습니다 2×2행렬입니다 하지만 행렬연산을 하면 복잡한 연산을 해야 합니다 여러번하게 되면 복잡해서 좋지 않습니다 하지만 기저들을 변환하면 새로운 기저의 좌표계로 가면 변환행렬이 더 간단해진는 걸 볼 수 있습니다 이건 대각행렬입니다 대각행렬은 무엇이랑 곱하면 문자 그대로 첫번째 항과 두번째 항의 환산계수를 얻는 것과 같습니다 여기서 했습니다 이걸 이 벡터와 곱하면 말 그대로 첫번째 항에 -1을 곱하고 두번째 항을 2로 곱한 것과 같습니다 그래서 훨씬 단순한 연산이죠 이것을 구하기 위해서 C의 역을 방금 전의 모든 과정을 거쳤지만 이것을 다시 표준좌표로 바꾸기 위해서 C로 곱하는 것은, 방금 전에 한 것보다 더 많은 노동을 필요로 한다고 생각할 수도 있겠죠 하지만 D를 여러 번 적용해야 하는 것을 상상해보세요 x 곱하기 D 곱하기 D 곱하기 D 곱하기 D를 하게 되는 경우를 생각해보세요 이렇게 생각해봅시다 A 곱하기 A 곱하기 A를 적용하거나 이 벡터에 A를 100번 곱하고 또 임의의 벡터에 A를 100번 곱하는 건 여기의 벡터에 D를 100번 곱하는 것보다 훨씬 연산적으로 복잡할 것입니다 이 방향으로 변환하고 다시 변환하는 과정을 거친다고 해도요 그러니까 많은 문제들, 특히나 컴퓨터과학, 혹은 여러분이 다루는 다른 분야에서라도 알맞은 기저를 고르는 것은 중요합니다 알맞는 좌표계를 선택하면 많은 문제들의 연산이 쉬워집니다