번갈아 생기는 기저의 변환행렬 예제

지난 강의에서 배운 걸 복습하겠습니다 m에서 m으로 사상되는 선형변환이 있다면, 그리고 표준좌표를 다루고 있다면 표준좌표의 임의의 벡터 x에 적용되는 변환은 행렬 a에 x를 곱한 것과 같습니다 이걸 한 번 써볼게요 표준좌표를 다룬다면 그러니까 표준좌표의 x가 있습니다 변환을 적용한다면, 이것은 x를 a와 곱한 것과 같겠죠 x를 a와 곱한다면, 표준좌표의 x의 변환을 알 수 있을 것입니다 우리가 아주 친숙한 좌표계이죠 자, 이제 m에 또 다른 기저가 있다고 해봅시다 b가 v1, v2, ... , vn에 이르는 벡터집합과 같다고 가정해보죠 그러면 n개의 선형독립하는 벡터가 있겠죠 b는 rn을 이루는 기저라고 해봅시다 rn을 위한 기저이고 비표준 기저라 해봅시다 표준 기저벡터가 아닌 것이죠 아무튼 b를 rn을 위한 기저라 하고 v1, v2, ... , vn을 열벡터로 가지는 c를 기저 b를 위한 기저행렬의 변화라고 해봅시다 우리는 이미 여러 번 했는데요 만약 rn에 속하는 벡터 x를 b의 좌표에서 표현할 수 있다면 이것을 기저행렬의 변화로 곱한다면 x의 표준좌표를 알 수 있겠죠 혹은, 이 식의 양쪽을 c의 역으로 곱하면 그러니까 x의 표준좌표로 시작하여 c의 역으로 곱한다면 b 좌표의 x, 혹은 x의 또 다른 비표준좌표를 구할 수 있습니다 이미 둘 다 다루었던 것이죠 그러니까 여기에 적용해봅시다 x를 비표준좌표에서 표현하고 싶다면 어떻게 할 수 있을까요? 자, x가 있고 비표준좌표에서 표현하려면 무엇으로 곱해야하죠? c의 역으로 곱할 수 있겠죠 c의 역으로 곱하면 c의 역으로 곱하면 그러니까 이 점에서 시작해서 이 끝의 점으로 도달하려면 어떤 행렬을 곱해야하죠? x를 c의 역으로 곱하면 b좌표의 x를 구할 수 있습니다 이들은 b에 관한 좌표가 되는 것이죠 x의 변환도 마찬가지로 할 수 있습니다 이것은 표준적으로 표현한 x의 변환이죠 이 방향으로 가려면 c의 역을 곱하면 되겠죠 그렇게 하면 b 좌표에서 표현되는 x 변환을 얻을 수 있습니다 지난 강의에서 확인했던 것은 자 이 둘은 왜 분리되어있죠? 지난 강의에서 구했었는데요 어쩌면 여기에 곱하여, b 좌표의 x를 b 좌표의 x 변환으로 바꾸어주는 행렬 d가 존재할지 모릅니다 우리는 이것을 행렬 d라고 했었죠 지난 강의에서 우리는 d가 a로 표현될 수 있다는 것을 증명했습니다 원한다면 다시 유도해보아도 좋습니다 하지만 우리는 이미, 다른 색으로 쓸게요, d가 c의 역 곱하기 a 곱하기 c와 같다는 것을 알아냈습니다 자, 방금까지 한 것은 모두 지난 강의에서 배운 모든 것을 복습한 것입니다 좀 정리가 되었길 바래요 이들이 똑같은 것을 행하는 다른 방법이라는 걸 인지해서 좋네요 이 둘은 모두 변환입니다 a로 곱하는 것과 d로 곱하는 것 모두 같은 변환을 적용하는 것이죠 단지 다른 좌표계에서 행한다는 것만 다릅니다 다른 좌표계는 같은 벡터를 나타내는 다른 방법일 뿐입니다 이것과 이것은 동일한 벡터를 나타내는 다른 수단입니다 이것과 이것은 동일한 벡터를 나타내는 다른 수단입니다 이들은 둘 다 변환 d를 나타내고 있습니다 자 이것이 지난 강의에서 알아낸 관계이지요 기저행렬의 변화를 안다면, 그 역도 아는 것이고, 표준의 기저선형변환행렬을 안다면, 이걸 구할 수 있습니다 반대로 할 수 있는지도 봅시다 d를 알 때, a를 구할 수 있을까요? 이 식의 양쪽을 c의 역으로 곱한다면 d 곱하기 c의 역은 c의 역 곱하기 A 곱하기 C 곱하기 C의 역과 같겠죠 이 식의 양쪽에 c의 역을 곱한 것입니다 이것은 항등행렬이 될 것이므로 무시할 수 있습니다 그리고 양쪽에 c를 곱하면, 왼쪽은 c 곱하기 d 곱하기 c의 역이 되고, 이것은 c 곱하기 c의 역 곱하기 a와 같겠죠 이 부분은 항등행렬이 될 거에요 그럼 a는 c 곱하기 d 곱하기 c의 역과 같겠죠 이것 또한 흥미로운 결과입니다 우리가 사용할 수 있는 유용한 결과 중 하나이지요 지금까지 제가 보여준 것은 꽤 추상적입니다 실제로 이 원리들을 예시에 적용시켜 보도록 할게요 그러니까 T 변환이 있다고 가정해봅시다 이건 유용할지 모르니까 그대로 둘게요 T 변환은 R2에서 R2로의 사상입니다 그리고 T를 위한 변환행렬이 그러니까 T의 표준좌표 x는 행렬 3, 2, -2, -2와 같다고 해봅시다 방금의 예시에서, 이것은 표준기저에 관한 변환행렬이 되겠죠 그리고 이것을 a라고 부를 수 있겠네요 또 다른 기저가 있다고 가정해봅시다 또 다른 기저 R2를 가정해봅시다 이것을 b라고 할게요, 지금까지 그렇게 불러왔으니까요 그리고 또 다른 기저 R2는 벡터 1, 2, 2, 1이라고 하겠습니다 이 또 다른 기저가 주어졌을 때 이 좌표계에서의 변환행렬을 세울 수 있는지 확인해봅시다 그러니까 우리는 b좌표의 x에, 혹은 이 기저에 관한 좌표에서의 x에 적용했을 때 이 행렬과 같아지는 임의의 행렬 d를 구하고 있는 것입니다 이것은 d 곱하기 v좌표의 x와 같겠네요 이것이 우리가 구하려고 하는 것입니다 이 부분이요 혹은, 도표로 돌아가서 보면 이것을 구하려고 하고 있죠 b 좌표의 x를 알 때 d를 곱하면, b좌표의 x 변환을 알 수 있을 것입니다 자 여기 예시에 적용해봅시다 공식은 여기 구했습니다 d를 구하기 위한 공식은 지난 강의에서 증명했었죠 그러니까 c의 역을 구해야합니다 b를 위한 기저행렬의 변화는 무엇이죠? 이건 이곳에 두고 싶네요 그러니까 b를 위한 기저행렬의 변화는 단순히, c라고 부르겠습니다 c라고 부르겠습니다 b를 위한 기저벡터이므로 1, 2, 2, 1이 될 것입니다 그리고 그 역을 구하고 싶죠 행렬식부터 구해볼게요 c의 행렬식은 1×1-2×2 1-4이니까 -3이겠네요 c의 역은 1을 행렬식으로 나눈 것입니다 1을 -3으로 나눈 것, 혹은 -1/3 곱하기 이 둘을 바꿉니다 1과 1을 바꾸고 이 둘을 음수로 바꾸어 -2, -2가 되겠죠 이것이 c의 역입니다 그러니까 여기 d 벡터는 c의 역 곱하기 a 곱하기 표준기저에 관한 변환행렬 곱하기 c일 것입니다 여기에 써볼게요 그러니까 우리가 구하고 싶은 d는 c의 역 곱하기 a 곱하기 c입니다 이것은 다음과 같죠, c의 역은 -1/3 곱하기 1, -2, -2, 1 곱하기 a, 다른 색으로 할게요 다른 색으로 바꾸는 게 좋겠어요 그러니까 c의 역 곱하기 a, a는 여기에 있죠, 곱하기 3, -2, -2, 2 곱하기 c가 되는 것입니다 c는 여기에 있죠 노란색으로 쓸게요 곱하기 c, c는 1, 2, 2, 1이 될 거에요 나눠서 단계별로 풀어봅시다 찬찬히 해봐요 이 부분은 무엇과 같을까요? 2×2를 2×2로 곱하는 것이니까 또 다른 2×2의 행렬이 나오겠네요 첫 번째 항은 3×1+(-2)×2 3×1+(-2)×2가 되니까 3-4 즉 -1이 되겠죠? 3×1+(-2)×2 맞아요, -1입니다 그리고 3×2-2×1이니까 4가 되겠네요 3×2-2×1은 4이죠 그리고 다음으로 내려가면 2×1-2×2 2×1-2×2 2-4이니까 -2가 되겠네요 다음으로는 2×2-2×1 4-2이니까 2가 되겠죠 그러니까 행렬 d는 -1/3 곱하기 1, -2, -2, 1 곱하기 이 두 행렬의 곱이 될 것입니다 이것이 무엇인지 구해봅시다 둘의 곱을 구하면 또 다른 2×2 행렬이죠 1×(-1)... 1×(-1)+(-2)×(-2)가 될 거에요 확실하게 해봅시다 그러니까 (-2)×(-2)는 4이고 1×(-1)은 -1이죠 그러니까 3이 될거에요 다음 항으로 넘어가봅시다 1×4+(-2)×2 4-4이니까 0이겠죠? 다음으로는 -2×(-1)+1×(-2) -2×(-1)+1×(-2)이니까 0이 되겠네요 마지막으로, -2×4 이건 8이죠? 더하기 1×2 그러니까 -2×4의 -8 더하기 2는 -6이 될 것입니다 이 모든 것 곱하기 -1/3을 하면 3 곱하기 -1/3은 -1 -1/3 곱하기 0은 0 -6 곱하기 -1/3은 2가 되겠군요 그러니까 d는 이제 기저 b에 관한 변환행렬입니다 우리는 여기의 공식을 적용해서 알아내는 데 성공했습니다 자, 이제 사실 나머지는 다음 강의에서 다루도록 하죠 이것이 실제로 가능하다는 것을 보여주도록 하겠습니다 임의의 벡터 x로 시작하여 변환을 적용하거나 좌표의 변화를 적용하여 이 단계로 오고 d를 적용합니다 이 방향으로 가서 이 변환을 얻기 위해서 c를 곱해도 됩니다 그럼 a와 같겠죠 이걸 다음 강의에서 해보도록 하겠습니다