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단원 2: [08-11차시] 원주각

원주각 정리 증명

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원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반이라는 것을 증명합니다.

시작하기

증명하기 전에, 원에 대한 까다로운 용어들을 이해하고 넘어갑시다.

여기 여러분 스스로 용어를 구할 수 있는지 확인해보는 간단한 게임이 있습니다.

그림을 이용하여, 변수와 용어를 짝지으세요.

1

좋습니다! 이 용어들을 계속 사용할 것입니다.

증명하고자 하는 것

원주각

(ψ)

과 중심각

(θ)

이 같은 호를 공유할 때, 발생하는 멋진 일에 대해 증명하려고 합니다: 중심각의 크기는 원주각의 두 배입니다.

θ = 2 ψ

증명

모든 (위에서 정의한)

θ

와

ψ

에 대하여,

θ = 2 ψ

를 증명하기 위해, 다음 세 가지 경우를 고려해야 합니다:

경우 A	경우 B	경우 C

이 경우들은 원주각과 중심각이 같은 호를 공유하는 모든 상황을 설명 가능하다는 것을 함께 살펴봅시다.

경우 A: 지름은 원주각( $ψ$ ‍)을 이루는 직선 중 하나에 놓여 있습니다.

단계 1: 이등변삼각형 나타내기

\overset{―}{B C}

와

\overset{―}{B D}

는 둘 다 반지름이므로, 길이가 같습니다. 이는

△ C B D

가 이등변삼각형이고, 양 끝의 각이 동일하다는 뜻입니다.

m ∠ C = m ∠ D = ψ

단계 2: 평각 나타내기

∠ A B C

은 평각이므로,

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

단계 3: 방정식을 만들어 $ψ$ ‍ 구하기

△ C B D

의 내각은

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

이고, 어떤 삼각형이든 내각의 합이

180^{\circ}

라는 것을 알고 있습니다.

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

좋습니다. 경우 A에 대한 증명이 끝났습니다. 두 경우만 남았습니다!

경우 B: 지름은 원주각 $ψ$ ‍을 이루는 두 직선 사이에 있습니다.

단계 1: 영리하게 지름 그리기

지름을 이용하여, 다음과 같이

ψ

를

ψ_{1}

와

ψ_{2}

로,

θ

를

θ_{1}

과

θ_{2}

로 나누어 봅시다:

단계 2: 경우 A에서 배운 방식으로 두 방정식 세우기

그림에서, 지름은 원을 두 부분으로 나눕니다. 각 부분에서 지름은 원주각을 이루는 직선 중 하나입니다. 이는 경우 A와 같은 상황이므로,

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

그리고

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

경우 A에서 이렇게 배웠기 때문입니다.

단계 3: 방정식 더하기

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & (1)과 (2) 더하기 \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & 동류항 \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2}, ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

경우 B도 끝났습니다. 하나 남았습니다!

경우 C: 지름은 윈주각을 이루는 직선 밖에 있습니다.

단계 1: 영리하게 지름 그리기

지름을 이용하여, 두 각을 새로 만들어 봅시다:

θ_{2}

ψ_{2}

단계 2: 경우 A에서 배운 방식으로 두 방정식 세우기

경우 B와 마찬가지로, 경우 A처럼 만들기 위해 도형을 새로 구성하였습니다. 이 도형에 따르면:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

단계 3: 대입하고 단순화하기

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

끝났습니다! 세 가지 경우에서

θ = 2 ψ

를 증명하였습니다.

요약

중심각과 원주각이 같은 호를 공유할 때, 중심각은 원주각의 두 배라는 것을 증명하기 위해 여러가지 경우를 고려하였습니다.

세 경우에 대한 증명을 시작하였습니다. 이 경우들은 원주각과 중심각이 같은 호를 공유하는 모든 상황을 설명 가능합니다.

경우 A	경우 B	경우 C

경우 A에서, 이등변삼각형과 평각을 나타내었습니다. 이로부터,

ψ

와

θ

를 이용하여 방정식을 세웠습니다. 대수학을 이용하여,

θ = 2 ψ

를 증명하였습니다.

경우 B와 C에서, 지름을 영리하게 그렸습니다:

경우 B	경우 C

경우 A에서 나온 결과를 통해 이것이 가능하게 되었습니다. 경우 B와 C에서, 경우 A에서 배운 내용만을 이용하여 그림과 관련된 방정식을 세웠습니다. 방정식을 세운 후, 대수학을 통해

θ = 2 ψ

를 보였습니다.

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증명하고자 하는 것

증명

경우 A: 지름은 원주각(ψ‍ )을 이루는 직선 중 하나에 놓여 있습니다.

단계 1: 이등변삼각형 나타내기

단계 2: 평각 나타내기

단계 3: 방정식을 만들어 ψ‍ 구하기

경우 B: 지름은 원주각 ψ‍ 을 이루는 두 직선 사이에 있습니다.

단계 1: 영리하게 지름 그리기

단계 2: 경우 A에서 배운 방식으로 두 방정식 세우기

단계 3: 방정식 더하기

경우 C: 지름은 윈주각을 이루는 직선 밖에 있습니다.

단계 1: 영리하게 지름 그리기

단계 2: 경우 A에서 배운 방식으로 두 방정식 세우기

단계 3: 대입하고 단순화하기

요약

대화에 참여하고 싶으신가요?

경우 A: 지름은 원주각( $ψ$ ‍)을 이루는 직선 중 하나에 놓여 있습니다.

단계 3: 방정식을 만들어 $ψ$ ‍ 구하기

경우 B: 지름은 원주각 $ψ$ ‍을 이루는 두 직선 사이에 있습니다.