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주요 내용
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증명: 반지름은 접선과 수직입니다.

동영상 대본

여기 한 원이 있습니다 원의 중심은 O입니다 그리고 원의 접선이 있습니다 이 직선의 이름을 붙여볼게요 직선 L이라고 합시다 보다시피 이 점 A는 접선과 원이 만나는 점이고 점의 중심에서 점 A까지 반지름을 그립니다 이번 시간에 배울 것은 이 반지름과 이 접선이 직각을 이루며 만나는 것을 증명하는 것입니다 직각임을 증명하려고 합니다 직각임을 증명하려고 합니다 먼저 해야 할 것은 점 A가 직선 L에서 원의 중심과 제일 가까운 점임을 증명하는 것입니다 증명하려는 것은 점 A가 점 L에서 점 O와 제일 가까운 점이라는 것입니다 점이라는 것입니다 강의를 멈추고 스스로 증명해보세요 직선 L의 다른 점을 생각해 봅시다 직선 L의 다른 점을 생각해 봅시다 직선 L의 임의의 점을 고릅니다 이 점이 될 수도 있고 이 점이 될 수도 있습니다 이 점이 될 수도 있고요 바로 알겠지만 원 밖에 있는 점들입니다 점이 원 밖에 있다면 이 점을 고를게요 좀 더 확실하게 보여주기 위해서입니다 이 점이 원 밖에 있다면 점 O에서 이 점까지 이 점을 B라고 부를게요 반지름을 긋습니다 반지름을 긋고 조금 더 가면 만나겠네요 이 변 OB의 길이는 반지름보다 더 깁니다 원 위의 반지름을 그렸을 때 원 위의 반지름을 그렸을 때 원 밖으로 나가려면 더 길게 그려야 하기 때문이죠 따라서 접선의 정의에 의하여 점 A가 유일한 점입니다 원 위에 있는 유일한 점이죠 직선 L 위의 다른 점들은 원 밖에 있습니다 따라서 반지름보다 더 길게 되죠 따라서 점 A가 적절해 보입니다 다른 점을 고르면 원 밖에 있으므로 반지름보다 더 길기 때문이죠 따라서 점 A가 직선 L에서 원의 중심에 제일 가까운 점입니다 아직입니다 더 확인할 게 있습니다 한 점과 직선이 있고 그 점, 즉 제일 가까운 점을 직선 밖의 점과 연결하면 직선과 수직이 될까요? 여기 공간을 좀 마련해보죠 증명할 내용은 직선에서 제일 가까운 점과 직선에서 제일 가까운 점과 직선에서 제일 가까운 점과 직선 밖의 점을 연결하면 직선 밖의 점을 연결하면 직선 밖의 점을 연결하면 직선과 수직이 되는지입니다 직선과 수직이 되는지입니다 우리가 할 것은 여기 직선 L이 있고 여기 직선 L이 있고 직선 밖의 한 점 직선 밖의 한 점 바로 이 점을 O라고 한다면 직선에서 제일 가까운 점과 이 점을 연결합니다 직선에서 제일 가까운 점 이 점이라고 해봅시다 이 두 점을 이어서 선분을 만듭니다 새로운 색으로 해보죠 이 두 점을 이어 직선을 만들면 직선과 수직이 됩니다 직선을 쭉 내리면 됩니다 그럼 수직이 될 것입니다 이를 모순을 이용하여 증명하겠습니다 수직이 아니라고 가정합니다 이렇게 가정합니다 직선 밖의 점과 직선 밖의 점과 그 점과 가까운 직선 위의 점을 그 점과 가까운 직선 위의 점을 이은 선분은 이은 선분은 직선과 수직이 아닙니다 직선과 수직이 아닙니다 어떻게 시각화할까요? 여기 직선을 하나 그릴게요 직선 L입니다 여기 점 O가 있습니다 이 점과 직선 L 위에 제일 가까운 점이 있다고 합시다 제일 가까운 점이 있다고 합시다 두 점을 연결하면 이는 직선 L과 수직이 아닙니다 제일 가까운 점을 점 A라고 부릅시다 이 둘을 연결하는 선분은 직선과 수직이 아니라고 합시다 수직이 아니라고 가정합니다 따라서 이 각은 90도가 아닙니다 이렇게 가정하여 모순을 이용하여 증명하는 이유는 이 각이 90도가 아니라면 직선 L 위의 다른 점들도 점 O와 제일 가까운 점이 될 수도 있음을 보여서 직선 L 위에서 점 O와 제일 가까운 점이 A라는 가정에 모순임을 보이기 위해서입니다 어떻게 가까운 점을 항상 잧을 수 있나요? 직각삼각형을 만듭니다 직각삼각형을 이렇게 만들게요 직각삼각형을 이렇게 만들게요 이렇게 직각삼각형을 만들 수 있습니다 이 변을 a라고 부릅니다 이 변을 a라고 부릅니다 밑변을 b라고 부릅니다 다른 색으로 하죠 b는 직각삼각형의 밑변이죠 빗변은 O와 A 사이 거리입니다 c라고 부릅니다 피타고라스 정리에 따르면 a² + b² 은 a² + b² 은 a² + b² 은 c²과 같습니다 c²과 같습니다 b²은 이것이 정상적인 삼각형이라면 이 값은 양수일 것입니다 따라서 a는 c보다 작습니다 그러므로 이런 결론이 나옵니다 이 값이 어떤 양수값이고 a와 c는 양수 즉, 모든 값이 양수이므로 a는 c보다 작아야 합니다 직각삼각형에서 빗변이 아닌 변은 직각삼각형에서 빗변이 아닌 변은 이쪽에 공간이 있다고 보므로 빗변보다 작을 것입니다 빗변이 제일 깁니다 따라서 a는 c보다 작습니다 여기서 알 수 있는 것은 다른 점을 발견합니다 이 점을 D라고 부릅니다 이 점을 D라고 부릅니다 이 점을 D라고 부릅니다 D는 가까운 점이 됩니다 D는 가까운 점이 됩니다 D는 가까운 점이 됩니다 모순이 발생하였습니다 점 A가 점 O와 가장 가까운 점이라고 가정하였죠 하지만 선분을 만들어본 결과 90도가 아닙니다 90도가 아니라면 수직선을 그려서 더 가까운 점을 찾을 수 있습니다 이는 점 A가 제일 가까운 점이라는 사실에 모순입니다 따라서 이는 모순입니다 따라서 이는 모순입니다 따라서 이는 모순입니다 이 점이 제일 가까운 점이 아니고 다른 점을 찾을 수 있기 때문이죠 따라서 직선 밖의 점에서 직선에서 제일 가까운 점에 선분을 그으면 수직이 됩니다 수직이 되어야 합니다 따라서 직선 밖의 점과 직선상의 제일 가까운 점을 연결하여 선분을 만들면 직선과 수직이 됩니다 직선과 수직이 됩니다 이러한 생각도 할 수 있죠 반지름이 있을 때 접선과 원이 만나는 교점에서 접선과 원이 만나는 교점에서 90도를 이룹니다 이것이 반지름과 접선입니다