내접한 도형: 지름에 대한 각

아래의 원 O에서 선분 SE는 지름입니다 선분 SE에 색칠을 해보겠습니다 선분 SE는 원 O의 지름이지요 그렇다면 ∠ISE는 몇 도일까요? 우리가 알아보아야 할 것은 ∠ISE의 각도인데요 여기에 있는 이 각도를 알아보도록 하겠습니다 늘 그렇듯이, 동영상을 잠시 멈추고 직접 문제를 풀어보시기 바랍니다 실제로 이 문제는 다양한 방법으로 풀 수 있는데요 가장 먼저 떠오르는 방법으로 여기에는 많은 삼각형이 있으니까 삼각형 내각의 총합이 180°라는 사실을 이용할 수 있습니다 이 삼각형을 보시면 이 중 하나의 각도를 알 수 있는데요 이 각은 27도라고 되어 있지요. 이 각을 보시면 ∠SIE인 이 각도를 알아낼 수 있다면 삼각형의 두 개의 내각을 알 수 있으니까 다른 나머지 내각도 알 수 있지요 그림에서 보시면 ∠SIE을 알 수 있는데요 ∠SIE는 61°의 보각이기 때문입니다 그러니까 이 각을 보시면 이 각에 61°의 각도를 더한 값이 180°가 되어야 하지요 이 각도들은 서로 보각이니까요 아니면, 이 각은 180-61의 값이 된다고도 할 수 있습니다 그러니까 어떻게 될까요? 180-60은 120이니까, 여기에서 1을 뺀 값은 119, 119°가 됩니다 따라서 우리가 구하려던 이 각도에 119°를 더하고 여기에 27°를 더하면 180°가 됩니다 또는 이 각도는 180-119를 하고 여기에서 27을 뺀 값이라고 할 수도 있지요 따라서 180-119-27을 구하면 180-119은 61이고 61-27을 하면 34가 됩니다 따라서 ∠ISE의 값은 34°가 됩니다 이 문제를 풀 수 있는 방법은 여러가지가 있다고 말씀드렸는데요 또 다른 방법으로 문제를 풀어봅시다 지금 적은 것은 모두 지우도록 하겠습니다 답은 이미 구했지만 이 문제는 여러가지 방법으로 풀 수 있다는 것을 보여드리기 위해서 우리는 계속해서 ∠ISE의 값을 구하도록 하겠습니다 이 문제에 다른 방법으로 접근해보면 우리가 이 원에서 몇 개의 원주각을 알고 있고 하나의 호가 원의 지름과 만난다면 그 원주각은 직각이라는 것을 알고 있지요? 즉, 90°가 되는거죠 그러니까 여기의 이 각은 90°입니다 이러한 사실을 이용해서 이 각을 알아낼 수 있습니다 이를 이용해보면 이 삼각형을 보았을 때 90+61에 이 각의 값을 더하면 180°가 되지요? 그러니까 이 각도는 다른 방식으로 생각해보면 180-90 에서 61을 뺀 값이니까 180-90-61 180-90-61 = 29° 따라서 이 각도의 값은 29°입니다 그림에서 큰 삼각형을 보시겠어요? 이 전체 각의 값을 알고 있다면 이 전체 각에서 29를 빼서 ∠ISE의 값을 구할 수 있겠죠? 그러니까 이 큰 각도, 붉은색으로 칠한 이 각도의 값에 90°를 더하고 여기에 27°를 더한 값이 180이 되는겁니다 세 개의 각은 삼각형 SLE의 내각이니까요 따라서 이 각도는 180-61 180-61에서 27 아, 180-61이 아니라 180-90이 맞지요 180-90-27의 값이 이 각도의 값이 됩니다 이 세 개의 각을 합치면 180이니까요 180-90-27은 180-90=90이고 90-27은 63입니다. 즉, 63°가 됩니다 따라서, 이 큰 각의 값은 63°입니다 작은 각은 29°였죠? 따라서 ∠ISE의 값은 63°에서 29°를 뺀 값이니까 63-29를 해보면 34°가 됩니다 이 방법이 조금 더 어렵기는하지만 먼저 생각나는 방법으로 문제에 접근하면 됩니다 첫번째 풀이 방법이 조금 더 쉽고 명확한 방법입니다 하지만 다양한 방법을 알아두는 것이 좋습니다 여기에서는 원주각에 대한 호가 지름을 만난다는 점을 이용했습니다 "그걸 어떻게 알 수 있나요?"라고 묻는다면 이전의 동영상 수업에서 이미 증명해본 적이 있지요 하지만 여기에서는 원주각의 크기가 그 원주각에 대한 호의 중심각 크기의 1/2이라는 사실을 이용한 것입니다 이 원주각에 대한 호는 중심각의 크기가 180° 입니다 따라서 이 각은 중심각이 아니라 원주각이고, 원주각은 중심각의 1/2이므로 따라서 이 원주각은 90°가 됩니다