내접한 사각형 증명

이 원 안에 내접하는 임의의 사각형을 생각해봅시다 여기에서는 모든 내접하는 사각형에서 대각은 서로 보각이 된다는 것을 증명하겠습니다. 대각들이 보각이라는 것은 이 각의 크기와 이 각의 크기를 합한 값은 180˚가 되어야 한다는 것입니다. 이 각의 크기와 이 각의 크기를 합한 값은 180˚가 되어야 합니다. 이것을 증명하기 위해 여기에 있는 이 각의 값을 x˚라 하고 이 대각의 값이 180˚에서 x˚를 뺀 값이라는 것을 증명한다면 원에 내접하는 임의의 사각형에서 대각들은 서로 보각이라는 것을 증명하게 됩니다. 이는 이 각도의 값은 (180 - x)˚의 값이고 (180 - x)˚ + x˚는 180˚이기 때문입니다. 여러분들은 동영상을 잠시 정지하고 이를 증명할 수 있는지 알아보시기 바랍니다. 여러분에게 약간의 힌트를 드리겠습니다. 다양한 각이 만나는 호의 각도에 대한 것인데요. 한번 같이 생각해봅시다. 이 각도는 x˚의 크기를 가지고 이 호와 만납니다. 따라서, 이 각도의 한 변이 원의 저 부분과 만나고 이 각의 또 다른 변은 원의 저 부분과 만납니다. 따라서 이 각도가 만나는 호는 지금 색칠중인데요. 보이시죠. 색칠은 잘못하지만 이해는 되시죠. 이 노란색 부분이 이 각도에 대한 호입니다. 이미 지난 동영상에서 원에 위치하는 원주각, 이 각의 꼭지점의 관계에 대하여 배운적이 있죠. 원주각과 이 원주각에 대한 호의 중심각의 크기와의 관계는 원주각의 크기는 그 원주각에 대한 호의 중심각 크기의 1/2이 된다는 것입다. 따라서, 이 각의 각도를 x˚라고 한다면 이 호의 중심각의 크기는 2x˚가 됩니다. 2x˚지요. 좋아요, 좀 흥미롭지요. 계속해봅시다. 저 호의 중심각의 크기가 2x˚라면 이 호의 중심각의 크기는 무엇일까요? 이 원의 나머지 부분의 호를 말하는건데요. 원 전체를 보았을 때 전체 360˚의 각도를 가집니다. 따라서 지금 보이는 이 파란색 호의 중심각의 크기는 360˚에서 2x˚를 뺀 크기라고 할 수 있습니다. 전체 360˚에서 파란색 호는 노란색 호를 뺀 것이니까요. 여기에서 남는 것은 노란색 호를 빼면 파란색 호가 남게 되죠. 이제 이 파란색 호와 만나는 각도는 무엇일까요? 이 부분의 파란색 호와 만나는 원주각은 무엇일까요? 이 각이지요. 바로 우리가 x˚에 대하여 알아보고자했던 각도입니다. 바로 저 부분에 대한 각도이지요. 보세요. 이 각도의 두 변이 저 호와 만나는, 저 호에 대한 각도입니다. 따라서, 다시 한 번, 원주각의 각도는 원주각이 만나는 호의 중심각 각도의 1/2이 됩니다. 따라서, 1/2이 무엇일까요. (360 - 2x)˚의 1/2이 무엇이지요? 360의 1/2은 180이고, 2x의 1/2은 x입니다. 따라서, 이 각도의 크기는 (180 - x)˚가 됩니다. 180˚에서 x˚를 뺀 값이지요. 이와 같이, 이 임의의 내접하는 사각형에서 대각은 서로 보각이라는 것을 증명했습니다. 이를 종합해보면, x˚+(180-x)˚는 180도가 되기 때문에 서로 보각이 되는 것입니다.