직각삼각형의 삼각비

확실하게 삼각함수를 다룰 수 있도록 좀 더 많은 예시들을 풀어보도록 합시다. 일단 직각삼각형을 몇 개 그려보겠습니다. 일단 직각삼각형을 몇 개 그려보겠습니다. 미리 설명해 두어야 할 것이 있는데 제가 이제까지 정의한 방식은 오직 '직각삼각형'에서만 통용되는 방식입니다. 그러니 직각삼각형이 아닌 삼각형에서 삼각함수를 구하기 위해서는 직각삼각형을 새롭게 그려 삼각함수를 구할 필요가 있습니다만, 지금은 직각삼각형의 경우에 대해서만 생각합시다. 여기 삼각형이 있습니다. 밑변의 길이를 7 그리고 높이를 4라고 두고, 그리고 높이를 4라고 두면 빗변의 길이가 어떻게 될지 알아 봅시다. 일단 빗변을 h라고 둡시다. 피타고라스의 정리로부터 h의 제곱은 7의 제곱에 4의 제곱을 더한 것이라는 사실을 알 수 있습니다. 직각삼각형의 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같기 때문이죠. 그렇기 때문에 h의 제곱은 7의 제곱 + 4의 제곱이 됩니다. 이는 곧 49+16이 되고 이는 곧 49+16이 되고 49+10=59, 그리고 59+6=65가 됩니다. 49+10=59, 그리고 59+6=65가 됩니다. 이렇게 우리는 h의 제곱이 65라는 사실을 알았습니다. 이렇게 우리는 h의 제곱이 65라는 사실을 알았습니다. 제가 제대로 한 게 맞죠? 49에 10을 더하면 59이고 거기에 6을 더해주면 65니까요. 이걸 다르게 쓴다면, 각 변에 제곱근을 씌우는 것으로 이걸 다르게 쓴다면, 각 변에 제곱근을 씌우는 것으로 h는 루트 65라고 할 수 있겠네요. 답을 더 이상 간단하게 만들 수는 없습니다. 65는 13 X 5로 나타낼 수 있고 65는 13 X 5로 나타낼 수 있고 두 소인수 모두 제곱 꼴이 아니기 때문에 더 이상 간단하게 할 수 없는 거죠. 그러므로 h는 루트 65입니다. 그럼 이제는 이 각의 삼각함수들을 구해볼까 해요. 이 각은 앞으로 세타라고 부르겠습니다. 삼각함수를 구할 때면 제가 저번 시간에 말씀드린 것들을 적어두고 싶겠죠. -최소한 제가 문제 풀 때는 많은 도움이 되거든요- "soh cah toa" "soh cah toa" 지금 흐릿하게 제 삼각함수 선생님이 생각나는데 아니, 어쩌면 책에서 읽은 걸 지도 모르겠군요. 잘 모르겠어요. "soh cah toa"라는 인도 공주에 대한 이야기였는데... 출처가 어찌 됐던 간에, 이는 몹시 유용한 연상법이므로 삼각함수를 구할 때는 "soh cah toa"를 사용하도록 합시다. 코사인 값을 구해보겠습니다. 코사인 값을 구해보겠습니다. 코사인 값을 구하고 싶을 땐 "soh cah toa!"라고 외치면 해결 됩니다. 그 중에서도 "cah"가 코사인을 다루는 법을 알려주고 있습니다. "cah"라는 것은 코사인이 인접변을 빗변으로 나누었다는 걸 의미하죠. 코사인은 인접변을 빗변으로 나누었단 겁니다. 그래서 이 각 세타를 봤을 때, 삼각형의 어떤 변이 인접변인가요? 우선 우리는 빗변이 뭔 줄 알죠. 여기 있는 이 변이 바로 빗변이지 않습니까. 그러므로 저 변은 인접변이 아니예요. 따라서 빗변을 제외한 세타에 인접하고 있는 변은 이 길이 4의 변이죠. 따라서 인접변은 이곳입니다. 말 그대로 각에 인접하고 있습니다. 즉 각을 이루는 변이라고도 말할 수 있겠군요. 그래서 코사인은 4를 빗변으로 나눈 값입니다. 우린 이미 앞서 빗변의 값을 구했죠. 루트 65입니다. 그렇기 때문에 코사인 세타는 루트 65분의 4입니다. 가끔은 분모를 유리화해 줘야 할 필요가 있습니다. 루트 65처럼 분모에 무리수가 들어가는 걸 싫어하는 사람들이 있거든요.\ 루트 65처럼 분모에 무리수가 들어가는 걸 싫어하는 사람들이 있거든요. 분모에서 무리수를 제거하기 위해서는 분모와 분자에 모두 루트 65를 곱해주면 됩니다. 분모와 분자에 모두 루트 65를 곱해주면 됩니다. 이는 숫자의 값을 바꾸지 않습니다. 루트 69분의 루트 69는 당연히 1이니까요. 숫자에 1을 곱하고 있는 것뿐입니다. 그러므로 숫자의 값은 바꾸지 않습니다만, 분자에서 무리수를 제거하는 것은 가능합니다. 그렇게 하여 분자는 4 곱하기 루트 63이 되고 분모는 루트 65에 루트 65를 곱했으니 65가 되겠습니다. 무리수를 완전히 제거하지는 못했습니다. 분자에는 아직 루트가 남아 있어요. 이제 다른 삼각함수들을 구 봅시다. 최소한 핵심 삼각함수만이라도요. 여러분은 곧 엄청난 종류의 삼각함수를 배우게 되겠습니다만 그 삼각함수는 전부 이 핵심 삼각함수, 사인 코사인 탄젠트에서 유도된 것입니다. 그러니 이제 사인 세타를 구해봅시다. 다시 한 번 말하지만 "soh cah toa"입니다. "soh"가 사인에 대한 정보를 알려주지요. 사인이란 대변을 빗변으로 나눈 값입니다. 사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이지요. 사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이지요. 그러면 이 각에 대해서 어떤 변이 대변일까요? 그냥 이렇게 반대편으로 가주면 그곳이 대변입니다. 길이는 7이네요. 그러므로 대변의 길이는 7입니다. 그러므로 대변의 길이는 7입니다. 다음은 빗변을 알아야겠죠. 사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이니까요. 빗변은 루트 65입니다. 루트 65입니다. 앞서 말했듯이 이 값을 유리화해 주고 싶다면 분모와 분자에 모두 루트 65를 곱해주면 됩니다. 그러면 분자는 7 곱하기 루트 65, 그리고 분모는 위의 경우와 마찬가지로 65가 되겠습니다. 이제는 탄젠트를 구할 차례입니다! 탄젠트를 해 봅시다. 제가 탄젠트를 이야기 할 때면, 탄젠트 세타를 이야기 할 때면 다시 한 번 "soh cah toa"로 돌아가면 되겠습니다. "toa"가 탄젠트에 대한 사실들을 알려 줍니다. "toa"가 탄젠트에 대한 사실들을 알려 줍니다. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 값이지요. 대변을 인접변으로 나눈 값이지요. 대변을 인접변으로 나눈 값이지요. 이 각에 대해서 대변은 뭘까요? 이미 우린 답을 구해뒀습니다. 7입니다. 반대편의 변은 7이죠. 이렇게 하여 대변은 7입니다. 그러므로 탄젠트는 인접변을 7로 나눈 값인데 인접변의 길이는 4지요. 인접변의 길이는 4지요. 그렇게 해서 탄젠트 세타는 4분의 7이고, 전부 끝났습니다. 이렇게 우리는 세타에 대한 삼각비를 모두 구했어요. 이제 다른 걸 시도해 봅시다. 다른 걸 해봅시다. 이제는 조금 더 구체적으로 설명해 보겠습니다. 지금까지는 그냥 막연하게 "이게 탄젠트 x고, 이게 탄젠트 세타야"라고 말했으니까요. 조금 더 구체적으로 이야기해 봅시다. 다른 직각 삼각형을 그리도록 합시다. 다른 직각 삼각형을 그리도록 합시다. 여기 그렸습니다. 우리가 앞으로 다룰 것은 오직 직각삼각형 뿐이예요. 빗변은 4라고 가정하고 이 변의 길이를 2로 이 변의 길이를 2 곱하기 루트 3이라고 가정합시다. 우리는 이 값들이 실제로 성립한다는 것을 증명할 수 있습니다. 이 변을 제곱하게 되면 2루트 3의 제곱에 2의 제곱을 더하면 어떤 값이 나오나요? 이건 2죠. 즉 4 곱하기 3이 될 것입니다. 4 곱하기 3에 4를 더 해주면 곧 12 더하기 4가 되므로 16이 됩니다. 그리고 당연히 16은 4의 제곱입니다. 이렇게 피타고라스의 정리를 만족하고 있어요. 그리고 만약 기하 시간에 배웠을 30도, 60도, 90도의 각을 가지고 있는 삼각형의 경우를 기억하고 계신다면 그리고 만약 기하 시간에 배웠을 30도, 60도, 90도의 각을 가지고 있는 삼각형의 경우를 기억하고 계신다면 이 삼각형이 그 30도, 60도, 90도 삼각형이라는 걸 눈치채셨을지도 모르겠네요. 이 각이 물론 직각이고 이 각이 물론 직각이고 여기 있는 이 각이 30도 이며 마지막으로 여기 있는 이 각이 바로 60도가 되겠습니다. 이 삼각형이 30도 60도 90도 삼각형인 이유는 30도의 값을 가진 각의 대변의 길이가 빗변의 길이의 0.5배이고 60도의 값을 가진 각의 대변의 길이가 빗변이 아닌 다른 한 변의 길이의 루트 3배이기 때문입니다. 60도의 값을 가진 각의 대변의 길이가 빗변이 아닌 다른 한 변의 길이의 루트 3배이기 때문입니다. 우린 30도 60도 90도 삼각형에 대해 복습하지는 않을 거예요. 제가 방금 해 버렸다는 사실은 제쳐 두고 말이죠. 다른 각에 대해서 삼각함수 값들을 알아 봅시다. 다른 각에 대해서 삼각함수 값들을 알아 봅시다. 사인 30도가 무엇이었죠? 그리고 30도란 것도 결국 직각삼각형 안에서 계산한다는 사실을 알아야 합니다. 그리고 30도란 것도 결국 직각삼각형 안에서 계산한다는 사실을 알아야 합니다. 좀 더 일반적인 정의 역시 배우게 될 겁니다. 하지만 사인 30도의 경우는 이 삼각형의 이 각도가 30도이기 때문에 이 삼각형을 이용할 수 있겠군요. 그리고 앞서 말한 "soh cah toa"를 생각해 봅시다. 다시 쓸 게요. soh cah toa. soh는 사인에 대한 사실들을 알려줍니다. 대변을 빗변으로 나눈 ㄱ밧이죠. 사인 30도란 대변을, 즉 길이가 2인 변을 빗변으로 나눈 것입니다. 그리고 빗변의 길이는 보다시피 4이죠. 그러므로 사인 30도란 4분의 2, 즉 2분의 1이라는 결과가 도출됩니다. 앞으로 보게 될 사인 30도는 항상 2분의 1입니다. 그럼 코사인은 어떨까요? 코사인 30도의 값은 무엇일까요? 또 한 번 "soh cah toa"로 돌아갑시다. cah가 코사인에 대한 정보를 알려 주죠. 코사인은 인접변을 빗변으로 나눈 값입니다. 그래서 30도의 각을 보면, 이쪽이 인접변입니다. 이곳이 바로 인접변이죠. 보시다시피 이 각과 인접해 있습니다. 빗변은 아닙니다. 코사인은 인접변을 빗변으로 나눈 값입니다. 그러므로 인접변인 2 루트 3을 빗변인 4로 나눈 4분의 2 루트 3이 됩니다. 저 값을 약분하게 되면 분자와 분모를 모두 2로 나누어 2분의 루트 3이 됩지요. 마지막으로, 탄젠트 값을 구해 보겠습니다. 탄젠트 30도를 구하려면, 일단 "soh cah toa"로 돌아가겠습니다. soh cah toa toa가 탄젠트를 다루는 법을 알려 줍니다. 대변을 인접변으로 나누면 되죠. 우리는 탄젠트 30도를 구하고 있으므로 30도를 중심으로 생각하겠습니다. 탄젠트 30도죠. 대변의 길이는 2이고 대변의 길이는 2이고 인접변의 길이는 2 루트 3입니다. 30도의 바로 옆에 있죠. 인접하고 있습니다. '인접'이란 바로 옆에 있다는 뜻이죠. 그러므로 2 루트 3... 따라서 두 개의 2는 약분 되므로 결국 루트 3분의 1이 됩니다. 아니면 분자와 분모에 루트 3을 곱하여 3분의 루트 3이라는 값을 구할 수도 있습니다. 3분의 루트 3이라는 값을 구할 수도 있습니다. 3분의 루트 3이라는 값을 구할 수도 있습니다. 이렇게 루트 3분의 1을 3분의 루트 3으로 유리화 하는 것이 가능합니다. 잘 되었 군요. 이제는 60도의 경우를 확인하기 위하여 방금 사용한 삼각형을 다시 한 번 써 보겠습니다. 이미 그려 뒀으니까요. 그럼 사인 60도는 뭘까요? 그리고 전 부디 지금 내용을 따라오고 있기를 바랍니다. 사인이란 대변을 인접변으로 나눈 거죠. soh cah toa 중에 soh입니다. 60도에 대해서는 어느 변이 대변일까요? 60도의 반대쪽에 있는 변은 바로 2 루트 3으로 대변은 2 루트 3이 되겠군요. 그리고 60도 각에 대한 인접... 앗, 죄송합니다. 사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이지요. 혼란스럽게 했다면 죄송합니다. 사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이므로 4분의 2루트3이 되겠습니다. 4가 빗변입니다. 그리고 이 값은 약분하게 되면 2분의 루트 3이 되지요. 그럼 코사인 60도는 무엇일까요? 항상 "soh cah toa"는 기억해 주세요. 코사인은 인접변을 빗변으로 나눈 값이죠. 인접변은 60도의 바로 옆에 있는 변입니다. 그러므로 인접변은 2가 되고, 빗변은 4가 되는 군요. 따라서 코사인 60도는 2분의 1이 됩니다. 그러면 마지막으로, 탄젠트 60도 값은 무엇일까요? 탄젠트 60도 값은 무엇일까요? 당연히 탄젠트 역시 "soh cah toa"에 따릅니다. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 값입니다. 60도의 대변은 2루트3입니다. 2루트3이죠. 그리고 60도의 인접변은 바로 2입니다. 60도의 인접변은 2이군요. 그러므로 탄젠트 60도는 2분의 2루트3이 되어 결국 루트3으로 약분 됩니다. 이 삼각함수들이 어떤 관계인지를 한 번 보십시오. 사인 30도는 코사인 60도와 값이 같습니다. 또 코사인 30도는 사인 60도와 값이 같지요. 그리고 두 탄젠트 값은 서로의 역수 관계가 됩니다. 아마 여러분도 이 삼각형에 대해서 조금만 생각해 보시면 왜 이런 결과가 나오는지 쉽게 이해하실 수 있을 겁니다. 이 내용은 계속 진행될 것이며 추후의 영상에서 더 많은 예재들을 제공해 보겠습니다.