삼각비에 대하여

이 비디오에서 저는 삼각함수의 기초에 대해서 설명하려고 합니다. 삼각비는 매우 복잡한 주제로 들릴지 모르겠지만, 사실 그저 삼각형의 변의 비에 관한 학문이라는 것을 곧 깨닫게 될 것입니다. Trigonometry의 Trig 부분은 말 그대로 '삼각형(Triangle)'을 뜻하고 있으며, metry 부분은 말 그대로 '단위(Measure)'를 뜻하고 있습니다. 그럼 제가 몇 가지 예를 들어 보도록 하죠. 그러면 훨씬 확실하게 감이 잡히실 겁니다. 우선 직각 삼각형 하나를 그려 보겠습니다. 우선 직각 삼각형 하나를 그려 보겠습니다. 직각삼각형이란 한 각이 90도인 삼각형을 뜻하지요. 저 각이 바로 직각입니다. 90도 입니다. 이후 동영상에서는 각의 크기를 다른 방식으로 표현하는 방법에 대해서도 설명하겠습니다. 다른 방식으로 표현하는 방법에 대해서도 설명하겠습니다. 그럼 이제 직각 삼각형도 그렸겠다, 각 변들에 길이를 지정해 보도록 하겠습니다. 이 변, 즉 삼각형의 높이(height)는 3, 밑변(base)은 4, 그리고 빗변(hypotenuse)은 5라고 가정해 보겠습니다. 빗변은 직각삼각형일 때만 존재하며, 직각의 반대 편에 있는 변이며, 또한 이 직각삼각형의 변 중에서 가장 긴 변이기도 합니다. 직각의 반대 편에 있는 변이며, 또한 이 직각삼각형의 변 중에서 가장 긴 변이기도 합니다. 아마 기하학을 배울 때 미리 배우셨겠지요. 그리고 피타고라스의 정리(Pythagorian Theorem)를 통해 직각삼각형이 저 값들을 실제로 가질 수 있다는 것을 보일 수 있습니다. 높이와 밑변의 길이인 3의 제곱과 4의 제곱을 더하면 빗변의 길이인 5의 제곱이 되며, 이는 피타고라스의 정리를 만족합니다. 그러므로 이 값을 가진 삼각형은 실재할 수 있죠. 그럼 이제 삼각함수의 맛보기에 들어가 보도록 할까요. 삼각함수의 주요 함수들은 다음과 같습니다. 이 함수들이 어떤 의미를 갖는지는 조금 이따가 설명하겠습니다. 사인 함수(sine function), 코사인 함수(cosine function), 그리고 탄젠트 함수(tangent function)이 바로 그들이지요. 줄여서는 sin, cos, tan으로 쓰곤 합니다. 이 함수들은 삼각형의 임의의 각에 대해서 특정한 변의 비를 정의합니다. 그럼 이들의 정의를 좀 더 쉽게 외울 수 있도록 연상 기호를 지어보도록 하겠습니다. 연상 기호를 지어보도록 하겠습니다. 각각 soh, cah, toa라고 부르도록 하죠. 여러분은 이 기호들로부터 놀라울 정도로 많은 도움을 받게 될 것입니다. toa라고 부르도록 하죠. 여러분은 이 기호들로부터 놀라울 정도로 많은 도움을 받게 될 것입니다. soh는 사인(sin)이 대변(opposite)을 빗변(hypotenuse)으로 나누었다는 걸 가리킵니다. 그냥 들어서는 무슨 뜻인지 알기 힘들 테니 곧 자세히 설명하도록 하겠습니다. cah는 코사인(cos)이 인접변(adjacent)을 빗변(hypotenuse)로 나누었다는 걸 가리키며, 마지막으로 toa는 탄젠트(tan)가 대변(opposite)을 인접변(adjacent)로 나누었다는 것을 가리킵니다. 마지막으로 toa는 탄젠트(tan)가 대변(opposite)을 인접변(adjacent)로 나누었다는 것을 가리킵니다. 아마 여러분들은 지금 의아할 겁니다. "이봐, 살, 대체 '대변', '빗변', 그리고 '인접변'이 뭔데?" 여기 각을 하나 잡아 봅시다. 저 각을 세타(theta)라고 부르겠습니다. 길이가 4인 변과 5인 변의 사이에 위치한 각을요. 그럼 이제부터 사인 세타, 코사인 세타, 그리고 탄젠트 세타가 무엇인지 알아보겠습니다. 먼저 사인 세타부터 알아 보도록 하죠. 이들을 알기 위해선 soh, cah, toa면 충분합니다. soh는 대변을 빗변으로 나눈 거죠. 그럼 대변이란 무엇이냐? 이 각을 세타라고 한다면, 이 각이 인접하고 있는 변이 아닌 다른 변의 길이는 3입니다. 이 각이 인접하고 있는 변이 아닌 다른 변의 길이는 3입니다. 이 각이 인접하고 있는 변이 아닌 다른 변의 길이는 3입니다. 그러므로 세타의 대변의 길이는 3이죠. 그러므로 세타의 대변의 길이는 3이죠. 그럼 빗변은 뭘까요? 가장 긴 변을 의미하므로 빗변의 길이는 5입니다. 이렇게 해서 사인 세타는 5분의 3이 되는 겁니다. 이렇게 해서 사인 세타는 5분의 3이 되는 겁니다. 만약 이 각 세타가 변하지 않고 일정한 값을 나타낸다고 하면, 사인 세타, 즉 대변과 빗변 의 비는 삼각형의 크기와 관계없이 항상 5분의 3이 됩니다. 사인 세타, 즉 대변과 빗변 의 비는 삼각형의 크기와 관계없이 항상 5분의 3이 됩니다. 사인 세타, 즉 대변과 빗변 의 비는 삼각형의 크기와 관계없이 항상 5분의 3이 됩니다. 사인 세타, 즉 대변과 빗변 의 비는 삼각형의 크기와 관계없이 항상 5분의 3이 됩니다. 이것도 곧 보여 주도록 하죠. 그러니 우선 다른 삼각함수부터 설명하겠습니다. 그럼 코사인을 생각해 봅시다. 코사인 세타는 인접변을 빗변으로 나눈 것입니다. 우선 변들을 다시 정의해 보도록 하겠습니다. 우린 이미 3을 대변이라고 정의했습니다. 우린 이미 3을 대변이라고 정의했습니다. 주의할 점은 세타 각에 대해서만 대변이 3이라는 겁니다. 마찬가지로 세타 각에 한정해서 인접변은 4입니다. 꼭짓점을 만드는 변이죠. 꼭짓점을 만드는 변이죠. 꼭짓점을 만드는 변이죠. 다시 한 번 말해 두겠지만 이 사실들은 전부 이 각에 대해서만 성립합니다. 저 각에 대해서는 이 초록색 변이 대변이 되고, 노란색 변이 인접변이 됩니다. 그래서 우리는 지금 이 각에 대해서만 이야기하고 있는 겁니다. 이제 이 각의 코사인 값을 알아봅시다. 이 변이 인접변이죠. 길이는 4입니다. 코사인은 방금 설명했듯이 인접변을 빗변으로 나눈 것입니다. 인접변의 길이는 4이고, 그것을 빗변인 5로 나누면 5분의 4가 되지요. 인접변의 길이는 4이고, 그것을 빗변인 5로 나누면 5분의 4가 되지요. 그럼 이제 탄젠트 값을 구해 봅시다. 그럼 이제 탄젠트 값을 구해 봅시다. 탄젠트 세타는 대변을 인접변으로 나눈 값이지요. 대변의 길이는 3입니다. 인접변의 길이는 4입니다. 인접변의 길이는 4입니다. 이렇게 직각삼각형의 세 변의 길이를 아는 것으로 '주요 삼각비(trig(trigonometric) ratio)'를 알 수 있습니다. 다른 삼각비 또한 존재하나 모두 이 주요 삼각비들을 통해 유도할 수 있습니다. 이제 이 삼각형의 다른 각에 대해 생각해 봅시다. 위의 그림으로는 헷갈릴 수 있으므로 삼각형은 새로 그리겠습니다. 위의 삼각형과 같은 삼각형입니다. 위의 삼각형과 같은 삼각형입니다. 당연히 변의 길이도 위와 모두 같습니다. 당연히 변의 길이도 위와 모두 같습니다. 당연히 변의 길이도 위와 모두 같습니다. 위에서는 이 각을 세타라고 정의했습니다. 그럼 이번에는 다른 이 각을 세타가 아닌... 그럼 이번에는 다른 이 각을 세타가 아닌... 다른 그리스 문자인... 프사이라고 해 보죠. 조금 기묘합니다만, 위에서 세타를 사용했으므로 자이라고 하... 위에서 세타를 사용했으므로 자이라고 하... 려고 했으나 그냥 좀 더 간단히, x라고 부르도록 합시다. x라고 부르도록 합시다. 그럼 이제 x에 대한 삼각함수 값들을 구해 보겠습니다. 사인 x는 무엇이 될까요? 위에서 봤듯이 사인은 대변을 빗변으로 나눈 것입니다. 어떤 변이 x의 대변일까요? x의 반대편으로 가 보면 길이 4의 변이 있습니다. x의 반대편으로 가 보면 길이 4의 변이 있습니다. x에 대해서는 이 변이 대변이 되는 것이지요. x에 대해서는 이 변이 대변이 되는 것이지요. 한 번 보세요, 이 길이 4의 변은 세타에 대해서는 인접변이었지만 x에 대해서는 대변이 됩니다. x에 대해서는 대변이 됩니다. 그럼 이번엔 어떤 변이 빗변이 될까요? 빗변은 각에 관계없으므로 위의 그림과 같겠죠. 빗변은 각에 관계없으므로 위의 그림과 같겠죠. 그러므로 빗변의 길이는 여전히 5입니다. 그렇게 사인 x는 5분의 4가 됩니다. 이제 다른 걸 해 봅시다. 코사인 x는 무엇이 될까요? 코사인 x는 인접변을 빗변으로 나눈 것입니다. x의 인접변은 어디일까요? 일단 빗변은 인접변이 아니므로, 꼭짓점을 구성하는 변 중 다른 변인 3의 길이를 가진 변이 인접변이 되겠습니다. 꼭짓점을 구성하는 변 중 다른 변인 3의 길이를 가진 변이 인접변이 되겠습니다. 꼭짓점을 구성하는 변 중 다른 변인 3의 길이를 가진 변이 인접변이 되겠습니다. 꼭짓점을 구성하는 변 중 다른 변인 3의 길이를 가진 변이 인접변이 되겠습니다. 그렇게 코사인 x는 5분의 3이 됩니다. 그렇게 코사인 x는 5분의 3이 됩니다. 마지막으로 탄젠트를 알아보도록 하겠습니다. 마지막으로 탄젠트를 알아보도록 하겠습니다. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 것이지요. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 것이지요. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 것이지요. 대변의 길이는 4이고... 통일성을 위해 파란색으로 쓰겠습니다. 그리고 인접변은 3입니다. 이렇게 해서 모든 삼각비를 구해봤습니다. 다음 강의에서는 훨씬 많은 예를 보여 드리겠습니다. 그래야 삼각함수에 대해 감을 잡기 더 쉬워지겠죠. 몇 가지 생각할 거리를 남겨두겠습니다: 만약 이 각이 90도에 가까워진다면 어떻게 될까요? 아니면 90도보다 커지게 된다면요? 우리가 오늘 사용한 방법-soh, cah, toa 말입니다-을 우리가 오늘 사용한 방법들, 즉 'soh, coa, toa' 방법은, 90도보다 작은 각에 대해서는 다소 복잡하긴 하되 사용할 수 있습니다만, 90도에 가까워질수록 점점 계산하기 곤란해집니다. 그러므로 다음 시간엔 삼각함수를 새롭게 정의할 것입니다. 그것 또한 soh, cah, toa 방식에서 유도된 것입니다. 이 정의로는 어떤 각의 사인, 코사인, 탄젠트 값이라도 구할 수 있습니다.