포물선의 변형이란?

여기 제가 가장 기본적인 포물선인 y=x^2를 그렸습니다 제가 오늘 하고 싶은 건 어떻게 이 포물선을 이동시키느냐 입니다 예를 들어 보겠습니다 곡선의 그래프를 생각해 보죠 이건 y=x^2 이죠 y-k=x^2을 예로 들어보겠습니다 이 식은 어떻게 생겼을 까요? 여기를 보면 x가 0일 때 x^2가 0과 같습니다 그게 이 노란색 곡선입니다 x^2이 y와 같거나 y가 x^2와 같죠 하지만 이 경우는 x^2가 y와 같지 않습니다 y - k 와 같죠 그러니 x가 0일때, 그것을 제곱하면, 0의 제곱이 y가 되지 않습니다 y-k가 되죠 그러니 이건 y보다 k만큼 작을겁니다 다르게 생각해보면, 이건 0입니다 y보다 k만큼 작다면, y는 k의 값에 상관없이 k가 되어야 합니다 y는 바로 여기 k가 되어야 합니다 그러니 이 점에서 y는 k의 값에 따라 위로 이동합니다 이건 모든 값에 적용됩니다 x가 여기 있다고 가정해 봅시다 노란색 곡선에서 x의 값을 제곱하면 여기가 되죠 제가 여기에 그린 곡선을 넘어서지 않는 걸 볼 수 있습니다 하지만 이 곡선을 보면 x^2이 곡선위에 있지 않습니다 y - k 위에 있죠 그래서 y 는 k보다 높아야 합니다 그래서 이건 y - k, y는 k보다 커야 하죠 그러니 y는 여기가 되어야 겠죠 그러니 이 파란 곡선은 이 곡선을 k만큼 위로 평행 이동 시킨 것이죠 그러니 y-k=x^2는 k만큼 위로 이동 합니다 그 값이 뭐든지 간에 k만큼 위로 이동합니다 이 두 곡선의 거리는 k이죠 될 수 있는대로 깨끗하게 그려보겠습니다 이 길이는 k이죠 이제 가로로 이동하는 방법에 대해 알아보겠습니다 y = (x - h)^2라고 했을 때를 가정해 보도록 합시다 한 번 봅시다 이 값이 0을 제곱했을 때 얻는 값입니다 y는 0 이죠 여기서는 y=0이라는 걸 어떻게 구할까요? 여기 이 값이 0이 되어야 겠죠 x - h가 0이 되거나, x가 h와 같아야 하죠 여기가 h라고 해봅시다 x가 h와 같아야 하죠 한 번 생각해 봅시다 y를 구하기 위해 무슨 값을 제곱하든지 간에 같은 것을 제곱하기 위해 h보다 큰 값을 가져야 합니다 h에서 그 값을 뺄 것이니까요 0이 되기 위해서 x는h와 같아야 합니다 여기서 1을 제곱하고 싶다면, x는 1과 같아야 하죠 편의를 위해 이건 x가 1일 때라고 합시다 그리고 이건 1의 제곱이죠, 그러니 이것도 1이겠네요 하지만 여기서는 1을 제곱하면 x가 1이 아닙니다 x는 h+1이어야 하죠 h보다 1만큼 커야 합니다 같은 값을 얻기 위해서는 h+1이어야 합니다 이제 보다시피 x를 제곱하는 대신 x-h를 제곱합으로써, 곡선을 오른쪽으로 이동시켰죠 보라색으로 그려 보겠습니다, 이 보라색 곡선은 이렇게 생겼겠죠 오른쪽으로 이동시킨 거죠 h만큼 오른쪽으로 이동시켰습니다 이제 다른 방법으로 생각해 봅시다 y = -x^2 라고 가정해 봅시다 x^2의 값이 뭐든지 간에 그 값의 음수를 얻겠죠 x^2의 값이 무엇이든지 간에 양수의 값을 얻게 됩니다 여기서 -1을 곱하면 음수가 되겠죠 그러니 이렇게 생겼겠죠 가로축에 대하여 y=x^2가 대칭 된 모양이겠죠 이렇게 생긴 것입니다 이게 y= -x^2입니다 더 확장시켜 봅시다 y = -2x^2은 어떻게 생겼을까요? 두가지를 해봅시다 y=-2x^2는 어떻게 생겼을까요? 양수의 형태를 봅시다 y=2x^2이죠 이제 우리는 어떤 수를 제곱하고 또 거기에 2를 곱할 겁니다 그러니 그 수는 더 많이 커지겠죠 이렇게 생겼을 겁니다 더 가파르고 좁게 생겼겠죠 아마 이렇게 생겼을 겁니다 다시 한 번 말씀드리지만 제가 지금 정확하게 그리고 있는 건 아닙니다 일정한 비율로 증가되니까 더 빨리 증가될겁니다 y=-2x^2의 경우에는 음수 쪽으로 빨리 증가하겠죠 이렇게 생겼을 겁니다 아까 우리가 그린 것에 x축 에 대해 대칭인 모양이겠죠 이렇게 좁은 포물선일겁니다 그림이 점점 복잡 해지고 있는데요 우리가 y=x^2에서 시작했다는 걸 기억하세요 이 곡선이죠 또 y=1/2x^2이면 어떻게 될까요? 쓸 색이 없네요 y=1/2x^2의 경우를 본다면 느리게 증가하겠죠 더 넓게 그려질 겁니다 느리게 증가할거고요 이렇게 생겼겠죠 이것을 통해 우리는 포물선을 어떻게 사방으로 움직이는 지 알 수 있죠 예를 들면 (지금 제가 여러분에게 개념을 말하기 위해 힘들게 그림을 그리고 있습니다) 이게 y=x^2이라면 이 그래프가 y=x^2인데요 이때까지 사용하지 않은 색을 사용해 봅시다 y-k=A(x-k)^2는 이렇게 생겼을 겁니다 꼭짓점이 (0,0)이 되는 대신 (이 점은 최소점이라고 할 수도 있고 최대점이라고도 할 수 있죠 곡선에서 가장 먼 점인 여기 이 점은 위로 볼록한 포물선에서는 최대점이고, 아래로 볼록한 포물선에서는 최소점입니다) 이동할 겁니다 h만큼 옆으로 이동하고, k만큼 위로 이동할 겁니다 그러니 꼭짓점이 바로 여기가 되겠죠 이건 A에 의해 크기가 조정됩니다 A가 1이라면, 똑같이 생겼겠죠 벌어진 정도가 같을 겁니다 그러니 이건 A=1입니다 만약 A가 1보다 크다면, 이렇게 더 가팔라 지겠죠 A가 0보다 크고 1보다 작다면 이렇게 더 넓어 지겠죠 A가 0이라면 A는 이렇게 직선이 됩니다 A가 음수인데 -1보다 작다면, 이렇게 넓게 그려지겠죠 -1보다 크다고 얘기해야 겠네요 0과 -1사이에 있다면, 이렇게 넓게 그려지겠죠 -1에서, 우리가 처음 그린 포물선을 가로축으로 뒤집은 모양일겁니다 A가 -1보다 작다면, 아마 더 가파른 포물선이 되겠죠 이렇게 생긴 그리고 이를 통해 우리는 어떻게 포물선을 이동하고 확장시키는지 알 수 있었습니다