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주요 내용

이차식의 인수분해: 완전제곱식 (중등3학년)

"완전제곱식"을 이용해 이차식을 인수분해하는 방법에 대해 배워 봅시다. 예를 들어, x²+6x+9는 (x+3)² 으로 표현됩니다.
다항식을 인수분해하는 것은 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 이것은 전개의 반대 과정입니다.
이번 단원에서는 특정 공식을 이용해 완전제곱식 형태의 삼항식을 인수분해하는 방법을 배울 것입니다. 이 과정은 (x+a)² 꼴의 이항식의 곱셈 과정의 역에 해당합니다.수업을 진행하기 전에 한 번 짚고 넘어가세요.

완전제곱식을 이용한 인수분해란?

이항식을 전개할 때는 다음 공식을 따르면 됩니다.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
ab는 임의의 대수식입니다. 예를 들어, (x+5)2 을 전개한다고 할 때, a=x 이며 b=5 입니다.
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
곱셈을 이용해 (x+5)2 을 전개하면 공식을 확인할 수 있습니다.
전개 과정의 반대는 인수분해를 하는 것입니다. 방정식을 반대 반향으로 다시 써 보면 a2±2ab+b2 의 인수분해 공식을 확인할 수 있습니다.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
첫 번째 공식은 x2+10x+25 에 적용할 수 있습니다. 이 경우, a=x 이며 b=5 입니다.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
이러한 형태의 식을 완전제곱식이라고 합니다. 항이 세 개인 다항식은 완전제곱꼴로 나타낼 수 있습니다.
이 공식을 이용해 연습문제의 완전제곱식을 인수분해해 봅시다.

예제 1 : x2+8x+16 인수분해하기

첫 번째 항과 마지막 항은 각각 x2=(x)216=(4)2 으로 완전제곱꼴입니다. 또한, 가운데 항은 2(x)(4)=8x 로 상수항의 제곱근의 두 배입니다.
이는 다항식이 완전제곱식이라는 것을 나타냅니다. 따라서 다음의 인수분해 공식을 사용할 수 있습니다.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
여기서 a=x, b=4 입니다. 다항식은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
(x+4)2 을 전개하여 맞는지 확인해 봅시다:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

이해했는지 확인하기

1) x2+6x+9 를 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

2) x26x+9 를 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

3) x2+14x+49 를 인수분해하세요.

예제 2: 4x2+12x+9 인수분해하기

완전제곱식의 최고차항 계수가 1일 필요는 없습니다.
4x2+12x+9 가 있을 때, 첫 번째 항과 마지막 항은 각각 4x2=(2x)29=(3)2 으로 완전제곱꼴입니다. 또한 가운데 항은 2(2x)(3)=12x 로 상수항의 제곱근의 두 배입니다.
위의 조건을 만족하므로 4x2+12x+9 는 완전제곱식입니다. 따라서 다음의 인수분해 공식을 사용할 수 있습니다.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
여기서 a=2x, b=3 입니다. 다항식은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
(2x+3)2 을 전개하여 맞는지 확인해 봅시다.

이해했는지 확인하기

4) 9x2+30x+25 를 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

5) 4x220x+25 를 인수분해하세요.

심화문제

6*) x4+2x2+1 을 인수분해하세요.

7*) 9x2+24xy+16y2 을 인수분해하세요.