특정한 형태의 식의 곱셈 예제

지금부터 가장 대표적인 다항식의 곱셈 두 종류에 관한 예제를 풀어보려 합니다 대수학에서 가장 흔히 사용하는 다항식의 곱셈입니다 첫 번째는 이항식의 제곱입니다 (x+9)를 전체 제곱하면 여러분은 아마도 " x^2 + 9^2 아니에요? "라고 말할지도 몰라요 그럼 전 이렇게 얘기하겠죠 "아닙니다" 이런 오해를 하시면 절대로 안돼요 이 식은 x^2 +9^2 이 아닙니다 기억하세요 (x+9)^2 은 (x+9)*(x+9)와 같습니다 같은 이항식을 두 번 곱하는 겁니다 언제나 명심하셔야 하는 게 이 식을 단순히 x^2 + 9^2으로 생각하기 쉬운데 아니라는 거죠 식을 전개해야죠 이렇게 식을 전개했으니 저번 동영상에서 배운 곱셈 기술을 이용해 이항식을 곱해봅시다 저번처럼 삼항식을 곱하듯 이항식을 곱하면 된다는 것을 보여주기 위해서 (x+9)를 (x+ 분홍색 9)와 곱합니다 제가 이렇게 색 구분을 하는 이유는 이 9와 이 x를 곱하는 것의 차이를 보여주기 위함입니다 이제 계산합시다 9 곱하기 9를 하면 81이고 상수 자리에 써줍니다 9 곱하기 x는 9x 입니다 이제 다른 노란색 x 항을 계산해봅시다 x 곱하기 9는 9x이고 일차항 자리에 써줍니다 x 곱하기 x는 x 제곱 x 제곱 이제 이 모두를 더해줍니다 x^2 + 18x + 81 이 답으로 나옵니다 따라서 이 식은 x^2 + 18x + 81 입니다 아마 여기서 패턴을 발견했을 수도 있는데 두 번째 문제에서 자세히 알려줄게요 이항식을 제곱했을 때 무슨 일이 일어났나요? x^2이 있습니다 이 x 와 이 x를 곱하면 x 제곱이 되죠 그리고 9 곱하기 9는 81이죠 그리고 이 항 18x가 있습니다 어떻게 이 18x가 나왔을까요? 자, 우리는 이 x와 9를 곱해서 9x를 구했고 그러고 나서 이 9와 x를 곱해서 다른 9x를 구했습니다 그리고 이 두 항을 더해서 18x를 구했습니다 따라서 일반적으로 이항식 제곱이 나오면 언제든지 이렇게 하면 됩니다 일반항으로 설명해볼게요 (a + b)^2 이 있다고 합시다 (a+b)의 제곱 이 식으로 다시 곱할게요 여러분의 이해를 위해서 이건 (a+b) 곱하기 a 더하기 이 b는 초록색으로 쓸게요 b×b는 b^2 가 됩니다 b^2는 상수라고 가정합시다 여기다가 b^2를 써줍니다 이걸 상수라고 가정했습니다 이게 상수가 되고 이건 아까의 81과 비슷합니다 a는 변수인데 이걸 바꾸는 게 더 낫겠네요 이 식을 (x+b)^2로 바꿔 생각해봅시다 b는 상수입니다 따라서 이 식은 (x+b) 곱하기 (x+ 초록색 b)가 되고 b를 상수가 가정하고 b×b = b^2 b 곱하기 x는 bx 그러고 나서 분홍색 x를 계산하면 x 곱하기 b는 bx 그리고 x 곱하기 x = x^2 여러분이 이 모두를 더하면 x^2 + 2bx + b^2 가 나오죠 여러분이 지금 보시는 건 결과입니다 (x+b)^2를 계산하면 x^2 + 2*(bx) + b^2가 됩니다 이 패턴을 이용해서 몇 개 더 계산해봅시다 여러 개 더 빠른 방식으로 해보겠습니다 (3x - 7)의 제곱 여러분께 말씀드렸던 걸 기억해주세요 기억만 하는 것이 아니라 여러분들은 언제나 왜 이렇게 되는지 이해해야 합니다 이 식을 곱할 때 분배법칙을 두 번 이용할 때 여러분들은 같은 답이 나온다는 걸 압니다 따라서 이 식은 (3x)^2 + 2*(3x)*(-7) 맞죠? 이 두 항을 곱한 것에 2를 곱한 거니까요 더하기 (-7)^2 곱셈법칙을 이용하면 (3x)^2은 9x^2가 됩니다 이 항은 2x3으로 6에 -7을 곱하면 -42x가 됩니다 그리고 (-7)^2는 플러스 49 이게 빠른 방법이었습니다 이상하게 하는 것이 아니라는 걸 보여드리기 위해서 느린 방법으로도 보여드릴게요 (3x-7) 곱하기 (3x-7) -7 곱하기 -7는 +49 -7 곱하기 3x는 -21x 3x 곱하기 -7는 -21x 3x 곱하기 3x는 9x^2 왼쪽으로 스크롤 좀 할게요 다 더해줍니다 9x^2－42x + 49 가 나오죠 실제로 같은 값이 나왔습니다 한 문제 더 해 봅시다 빠른 방식으로 하겠습니다 8x - 3 ... 변수를 더 추가해 봅시다 (4x^2 + y^2)가 있다 하고 이 식을 제곱합시다 전과 동일해요 이 식은 이 항을 제곱하고 (4x^2)^2 더하기 2 곱하기 이 두항의 곱 2*(4x^2)*(y^2) 더하기 (y^2)^2 그럼 이 식은 무엇과 같을까요? 이 식은 4 제곱인 16에 x^2의 제곱인 x^4가 되고 더하기 2 곱하기4 곱하기 1 8x^2y^2가 됩니다 y^2의 제곱인 y^4가 됩니다 여러분들은 계속 이항식의 제곱만 했습니다 여러분께 다음 예로는 합과 차의 곱을 보여드릴게요 생각보다 간단합니다 여러분께 일반항으로 보여드릴게요 (a+b)*(a-b)로 합시다 그럼 이 식은 어떤 식과 동일할까요? 이 식은 a 곱하기 a 아 다른 색으로 해봅시다 (a-b) 이렇게 말이죠 초록색 a 곱하기 이 분홍색 a a 곱하기 a 더하기가 아니라 빼기 초록색 a 곱하기 이 b 이 빼기 부호는 b로부터 왔고 그 다음으로 초록색 b 식에 초록색 b와 분홍색 a의 곱을 더합니다 쉽게 각 항을 다른 항과 곱하고 있는 거에요 마지막으로, 초록색 b와 분홍색 b의 곱을 뺍니다 빼기 부호는 이 분홍색 b에서 왔습니다 이 식은 어떻게 될까요? 결국 이 식은 a^2 - ab 이 항은 +ab로 쓸 수 있습니다 b^2을 마지막으로 뺍니다 이 두 항은 없어지고 -ab + ab = 0 결국에는 a^2 - b^2만 남습니다 이 결과가 굉장히 깔끔한 데 모든 것을 간단하게 하기 때문이죠 이 방식을 이용해서 다른 곱셈도 해 봅시다 (2x-1)*(2x+1)가 있습니다 아까와 같습니다 이 (2x+1)은 (a+b)처럼 (2x-1)은 (a-b)처럼 볼 수 있습니다 이 항이 a이고 저 b가 1입니다 이 항이 b입니다 이 항은 a이고요 쉽게 아까 발견한 패턴을 이용해 봅시다 이 식은 무엇과 같을까요? 이 식은 a^2 그러니까 (2x)^2 빼기 b^2 그러니까 1^2 (2x)^2는 4x^2입니다 1의 제곱은 그냥 일이고요 그래서 답은 4x^2 - 1입니다 모든 걸 명확하게 하기 위해서 한 문제만 더 해 봅시다 그래서 만약에 음... 지금은 곱셈에만 초점을 맞출겠습니다 (5a-2b)를 (5a+2b)에 곱합니다 이 방식은 더하기와 빼기의 곱에만 이용할 수 있다는 것을 명심합시다 그럴 때에만 쓸 수 있죠 의심이 된다면 식을 전개해보세요 좀 더 오래 걸리겠지만 말입니다 항들이 소거되는 것을 볼 수 있습니다 아무 이항식 곱셈에나 쓸 수 있는 방식이 아닙니다 앞서 이항식의 제곱에서 보았듯이 말입니다 패턴을 이용하면 이 식은 (5a)^2 - (2b)^2이 되는데 이는 25a^2 - 4b^2입니다 오늘은 여기까지 하고 다음 동영상에서 볼게요