예제: 완전제곱꼴 만들기 (최고차항의 계수 ≠ 1)

완전제곱을 완성해서 4x 제곱 + 40x + - 300 = 0 을 풀려면, 일단 식을 다시 쓰고 그래서, 4x제곱+40x-300=0 입니다 우선, x제곱의 계수가 4이면 불편하니까 1로 바꿔줍시다 그러면 이 방정식의 양변을 4로 나눠줍시다. 그래서 모든 것을 4로 나누어 준다면, 이것을 4로 나누고, 이것을 4로 나누고, 이것도 4로 나눈 다음 0을 4로 나눕시다 그냥 양변을 4로 나눠주는 것이에요 그래서 간단하게 이식은 x제곱+10x , 그리고 이렇게 해도 되는 건 왜냐하면 제가 식을 4로 나누어도, 그러니까 만약에, 만약에 제가 왼쪽에 어떤 짓을 하든 오른쪽에도 똑같이 해주기만 한다면 되니까요 그렇게 하면 어차피 똑같은것은 변함이 없기 때문에 그래도 되는 겁니다 그래서 다시 40 나누기 4는 10x 이고, 300 나누기 4는 무엇일까요? 답은 75가 되는데, 확인해보면.. 400, 4는 3에 들어가지 않고, 4는 30에 7번 들어가고, 7곱하기4는 28 나누기를 하고, 나머지는 2, 0을 데려와서, 4는 20에 5번 들어갑니다 5곱하기4는 20, 0을 빼고, 그래서 결과는 75입니다 그래서 나머지 식은 -75 =0 이 되네요 처음 보자마자, 식을 보고 인수분해하려고 할 수도 있겠지만 아주 분명히 이건 완전제곱식, 세개항의 완전 제곱식이 아닙니다 왜냐하면 딱 여기를 보면, 이 10, 10의 반은 5 이고, 5의 제곱은 75가 이닙니다. 그래서 완전제곱이 아니지요 그래서 우리가 할 것은, 어떻게 해서든, 왼쪽에 무엇이 있든 그것을 완전제곱으로 만드는 것입니다 일단, 75가 걸리적거리므로 치울겁니다 안 치우게 되면, 75가 있는 곳을 가끔씩 쳐다보게 되니까요 이것을 오른쪽에 놓는다면, 식이 좀더 명확해지겠죠 그래서 양쪽에 75를 더해서 왼쪽의 75를 없애줍시다 그래서 우리는 결국 x제곱+10x x제곱+10x-75+75, 75는 사라지고 여기에 작은 빈 공간을 놔줍시다. 왜냐하면 여기에 제곱을 만들기 위해 무언가를 더할 거니까요 그래서 이게 75와 같고, 지금 양변에 75만 더해준겁니다 여기가, 바로 제곱을 완전하게 만드는 것의 포인트 입니다 양쪽에 무언가를 더할 것입니다 한쪽에만 더해주면 안되니까, 그래서 무언가를 양쪽에 더해주고 싶습니다 이 왼쪽 변이 완전제곱이 되게요 그래서 우리가 그렇게 만들 수 있는 방법은 우리가 마지막 동영상에서 했듯이 우리는 완전제곱 세개 항의 완전제곱식을 만들었습니다. 그게 바로 지금 이식의 왼변이죠 이 왼쪽에 있는 식은 우리가 상수항이 있다면 완전제곱이 될것이에요 그 상수항은, 일차항의 계수의 반의 제곱이어야합니다 그래서 일차항 계수는 10, 10의 반은 5이고, 5의 제곱은 25이니까, 저는 25를 왼쪽에 더하고 균형을 맞추기 위해 당연히 오른쪽에도 똑같이 해줍니다 바로 이부분이 완전제곱이 되고, 우리는 궁금해할거에요 "어, 어떤 두 숫자가 더하면 10이 되고, 곱하면 25가 되지?" 그것은 5와 5겠죠 그래서 이것을 인수 분해한다면, 우리는 왼쪽이 (x+5)의 제곱이 되는 것을 확인할 수 있죠 (x+5) 곱하기 (x+5)이고, 그리고 만약에 인수분해가 헷갈린다면 인수분해 비디오들을 보면 됩니다 아니면 전의 비디오도 됩니다 세 개항의 완전제곱식에 대한 거니까요 이걸 완전제곱의 꼴로 바꿔야하구요, 그러면 이렇게 되겠죠 그리고 이 완전제곱은 75+25와 같을 것입니다. 그것은 100이고, 그래서 우리는 지금 무언가의 제곱이 100과 같다는 얘기를 하고 있습니다 무언가의 제곱이 100과 같다면, 그것은 그 무언가가 100의 제곱근중 하나와 같겠지요 그리고 우리는 100이 -10 과 +10 을 제곱근으로 갖는다는 것도 알고요 그래서 우리는 x+5 가 100의 제곱근 중 하나라고 알 수 있습니다 그렇다면 x+5는 -10이나 +10 둘중에 하나에 같겠지요 아니면 우리는 두가지 경우로 나누어 x+5가 10과 똑같거나 x+5가 -10과 똑같을 거라고 얘기할수 있죠 여기 이 쪽에서, 그냥 양쪽에서 5를 빼겠습니다 그냥 써서 계산할게요, 그러면 x=5가 나오고 저는 여기서 5를 또 뺄 수 있겠지요 저는 양쪽에서 5를 뺐습니다 5를 또 빼면, 저는 x=-15를 가지게 됩니다 그래서 이것들이 두개의 답이 됩니다 이 둘을 검토해보면 맞을 겁니다 한번 검토 해봅시다 그래서 한번 5로 가보죠 제가 하나를 하고, 나머지는 여러분이 해보세요 여러분 스스로 확인하게 하려고 나머지 하나는 남겨둘게요 그래서 4x제곱, 즉 4 곱하기 25, 더하기 40 곱하기5, 마이너스 300은 0과 같아야합니다 4곱하기 25는 100, 40 곱하기 5는 200, 여기에 300을 뺄거고, 100+200-300은 분명히 0입니다 그래서 x=5가 맞네요. 그리고 여러분들도 이 식에 대입하면 -15가 또 다른 근인 걸 쉽게 아실수 있을겁니다