유리수와 무리수란?

유리수에 대해서 이야기해 봅시다 가장 간단하게 생각하는 방법은 어떤 수를 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 있으면 유리수가 됩니다 예를 들어 모든 정수는 유리수입니다 1은 1분의 1이나 -2분의 -2 또는 10000분의 10000으로 나타낼 수 있습니다 모두 1을 다르게 표현한 것입니다 두 정수의 비를 사용하여 셀 수 없이 많은 방법으로 1을 표현할 수 있습니다 같은 수 나누기 같은 수로 말입니다 - 7은 - 7/1로 나타낼 수 있고 7/- 1 또는 - 14/2로 나타낼 수도 있습니다 이렇게 다른 방식으로 무한히 표현할 수 있습니다 그러므로 - 7은 당연히 유리수입니다 이는 두 정수의 비로 나타낼 수 있습니다 그런데 정수가 아닌 것들은 어떨까요? 예를 들면 3.75 어떻게 이것을 두 정수의 비로 나타낼 수 있을까요? 3.75는 375/100으로 나타낼 수 있고 이것은 750/200과 같습니다 아니면 3.75는 3과 3/4과 같다고 할 수 있습니다 여기에다가 쓰겠습니다 그것은 15/4와 같습니다 4 곱하기 3은 12이고 더하기 3은 15입니다 이것은 15/4와 같습니다 아니면 - 30/- 8이라고 적어도 됩니다 분모와 분자에다가 각각 - 2를 곱했을 뿐입니다 이 수는 확실히 유리수네요 이게 두 정수의 비로 어떻게 나타내어지는지에 대한 여러 가지 예를 들었습니다 순환소수는 어떨까요? 순환소수의 대표적인 예를 들어 봅시다 0.333이 있는데 3이 계속된다고 해봅시다 3 위에 작은 선(한국에서는 점)을 표시해서 나타낼 수 있습니다 순환소수 0.3 입니다 그리고 나중에 제가 순환소수를 어떻게 두 정수의 비로 바꾸는지를 보여줄게요 이건 명확히 1/3입니다 또는 순환소수 0.6 의 경우에는 2/3가 됩니다 수많은 다른 예들이 있습니다 다른 순환소수가 있을 때 한 자리만 반복되지 않고 무려 백만 자리가 반복되더라도 이 패턴이 계속 반복되는 한 그 수를 두 정수의 비로 항상 나타낼 수 있습니다 여러분이 무엇을 생각하고 있을지 압니다 많은 것을 살펴봤어요 정수를 다 포함했고 모든 유한소수도 포함했고 순환소수도 포함했습니다 무엇이 남았을까요? 유리수가 아닌 수가 있을까요? 아마 있을 것이라고 추측하고 있을 것입니다 아니면 사람들이 굳이 그것을 유리수라고 정의하는 고생을 하지 않았겠지요 알고 보면 수학에서 가장 유명한 수들은 유리수가 아닙니다 그리고 그러한 수들을 무리수라고 부릅니다 많은 무리수 중 주목할 만한 예 몇 개를 써봤습니다 원주율은 무리수입니다 이 수에는 끝이 없습니다 이는 계속되며 절대 반복되지 않습니다 e도 마찬가지입니다 절대 끝나지 않고 절대 반복되지 않지요 이것은 복리와 복소수에서 발전된 것이지요 e는 어디에서나 나옵니다 제곱근 2도 무리수입니다 황금비를 나타내는 파이도 무리수입니다 자연에서 발생되는 이러한 많은 수들이 무리수입니다 이들은 무리수가 아니라 특별한 수일 뿐이라고 생각할 수 있습니다 그러나 저는 여기서 특별한 예시를 보여줬을 뿐입니다 하지만 중요한 부분은 무리수가 생소하게 보일지라도 그들이 흔하지 않은 것은 아닙니다 사실 두 유리수 사이에는 항상 무리수가 존재합니다 계속해서 찾을 수 있습니다 셀 수 없이 많이 있습니다 하지만 모든 유리수 사이에 최소 하나가 있으므로 무리수보다 유리수가 더 적게 존재한다고 할 수 없습니다 나중에 이 부분에 대해 증명하겠습니다 예를 들어 유리수 1과 유리수 2 사이에 적어도 하나의 무리수가 있을 것이라는 것은 명백한 결과입니다 무리수는 생소해 보이지만요 다른 방법으로 생각해 보면 완전제곱이 아닌 어떤 수에 제곱근을 씌우면 그 값은 무리수가 됩니다 무리수와 유리수를 더해도 그렇습니다 나중에 더 구체적으로 얘기할게요 스스로 한 번 증명해 봅시다 무리수와 유리수의 합은 무리수가 된다는 것을 말입니다 무리수와 유리수의 곱은 무리수가 된다는 사실도요 이 세상에는 무리수가 아주 많이 있다는 것을 알아두길 바랍니다