동전 뒤집기 확률

지금부터 몇 가지 흥미로운 문제들을 풀어보겠습니다. 그리고 여러분은 확률에 관하여 언제나 더 흥미로운 문제를 풀 수 있음을 알게될 것입니다. 자 이제 문제를 풀어보겠습니다. 앞, 뒤가 나올 확률이 동등한 동전을 저는 세 번 던져보겠습니다. 그리고 적어도 한 번 앞면이 나올 확률을 구해보겠습니다. 3번 던졌을 때 적어도 한 면이 나올 확률입니다. 가장 쉬운 방법은 몇 개의 동등한 경우의 수가 있을지 생각해보는 것입니다. 지난 동영상에서 우리는 동전을 세 번 던졌을 때 총 8개의 경우의 수가 나오는 것을 볼 수 있었습니다. 처음 던졌을 때 2가지의 경우의 수가 나올 것입니다. 두 번째로 던졌을 때 역시 2가지의 경우의 수가 있을 것입니다. 세 번째로 던졌을 때도 2가지 경우의 수가 있을 것입니다. 그러므로 2X2X2를 하면 8가지의 동등한 경우의 수가 생깁니다. 동전을 세 번 던진다고 했을 때 몇 가지의 경우의 수가 적어도 한 번 앞면이 나올 경우일까요? 자 여기 모든 경우의 수를 적어놓았으니 세기만 하면 되겠습니다. 몇 가지 경우의 수가 적어도 한 번 앞면이 나올까요? 1,2,3,4,5,6,7 7가지의 경우가 적어도 한 번 앞면이 나올 경우입니다. 마지막 경우의 수는 포함하지 않습니다. 7가지의 경우 중 8개가 적어도 한 번 앞면이 나올 경우입니다. 여러분은 이렇게 생각할 수도 있을 것 같습니다. 모든 경우의 수를 적어봄으로써 확률을 구할 수 있다고 말입니다. 하지만 이것은 매우 어려울 것입니다. 20번 던졌을 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률을 구할 때는 말입니다. 이 경우에는 3번만 던졌기 때문에 쉬웠던 것입니다. 정확히 말하자면 세 번 던지는 행위는 모두 독립적으로 일어난 것입니다. 모든 경우의 수를 다 써서 구하는 것은 더 어렵고 시간이 오래걸릴 것입니다. 20번 던질 경우에서는 말입니다. 어떻게 하면 쉽게 풀 수 있을까요? 다른 방법은 없을까요? 단순히 가장 쉬운 방법으로 할 수는 없을 것입니다. 단순하게 (앞면이 나올 확률 X 앞면이 나올 확률) 이라고 할 수 없습니다. 왜냐하면 처음 던졌을 때 앞면이 나왔다면 그 다음에는 앞면이 나오지 않아도 되기때문입니다. 물론 앞면이 더 나올 수도 있지만 그럴 필요는 없다는 것입니다. 자 이제 좀 더 복잡해집니다. 하지만 쉽게 생각하는 방법이 있습니다. 이 방법을 써 볼 수 있습니다. 여러 시험 문제를 통해 볼 수 있을 것입니다. 문제를 더 어렵게 만드는 것처럼 보일 수도 있지만 잘 생각하면 어느 순간 간단해질 것입니다! 이 문제를 풀 하나의방법은 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 모두 뒷면이 나오지 않을 확률과 같다고 생각하는 것입니다. 맞습니까? 모두 뒷면만 나온다면 적어도 한 번 앞면이 나올 경우에 포함되지 않을 것입니다. 그래서 두 가지는 동치입니다. 세 번 던졌을 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 모두 뒷면이 나오지 않을 확률과 같습니다. 그렇다면 모두 뒷면이 나오지 않을 확률은 무엇일까요? 그것은 1-(모두 뒷면이 나올 확률) 일 것입니다. 총 3번 던지므로 뒷면, 뒷면, 뒷면 이렇게 나올 경우의 수 입니다. 왜냐하면 다른 경우의 수는 적어도 한 번 앞면이 나올 경우를 포함하기 때문입니다. 그리고 그것은 남은 모든 경우의 수입니다. 남은 확률과 이 확률을 더하면 1이 나올 것입니다. 이렇게 적어보겠습니다. 확률은.. (다른 색으로 적어보겠습니다. 더 이해하기 쉽도록 말입니다.) 뒷면이 한 번도 나오지 않을 확률 + 모두 뒷면이 나올 확률 수고스럽지만 거쳐야할 과정입니다. 이것이 모든 경우입니다. 모두 뒷면이 나오지 않을 경우와 모두 뒷면이 나올 경우는 겹치는 부분이 없으므로 더하면됩니다. 그래서 확률은..(이렇게 써보도록 하겠습니다.) 모두 뒷면이 나오지 않을 확률과 무엇을 하고 있는지 명확하게 하기위해서 모두 뒷면이 나올 확률을 더하면 1이 될 것입니다. 이 두 경우는 겹치는 부분이 없습니다. 모두 뒷면이 나오지 않거나 모두 뒷면이 나올 것입니다. 두 경우가 같이 일어날 수는 없습니다. 이는 서로 겹치는 경우가 없으니 이 경우 또는 이 경우라고 말할 수 있고 둘을 더할 수 있습니다. 그리고 이는 모든 경우입니다. 이 두가지의 경우를 합쳐보면 일어날 수 있는 모든 경우가 이 확률에 포함될 것입니다. 이는 1 또는 100%일 것입니다. 이를 다른 방법으로 생각해보면 모두 뒷면이 나오지 않을 확률은 1-(모두 뒷면이 나올 확률)입니다. 여기서 한 것처럼 말입니다. 모두 뒷면이 나올 확률은 쉽게 구할 수 있습니다. 이 확률은 첫 번째 던졌을 때 뒷면이 나올 확률인 1/2 곱하기 여기다가 써보겠습니다. 이는 1- (모두 뒷면이 나올 확률) 첫 번째 던졌을 때 뒷면이 나올 확률인 1/2 두 번째 던졌을 때 뒷면이 나올 확률인 1/2 세 번째 던졌을 때 뒷면이 나올 확률인 1/2까지 곱합니다. 1/2 곱하기 1/2 곱하기 1/2는 1/8입니다. 그렇다면 1-1/8 즉 8/8-1/8은 7/8과 같을 것입니다. 처음 했던 것처럼 모두 써서 답을 구하기 어려운 문제에 대해서는 확률은.. 10번 던진다고 생각해봅시다. 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 10번 던졌을 때 적어도 한 번 앞면 동일한 아이디어로 문제를 풀겠습니다. 이는 같을 것입니다. 10번 던져서 모두 뒷면이 나오지 않을 확률 하나의 면도 뒷면이 나오는 경우가 없는 것을 말합니다. 그리고 이것은 1-(10번 던졌을 때 모두 뒷면이 나올 확률)입니다. 이것은 역시 이 부분 말입니다. 다시 써보겠습니다. 1 빼기 하고 이 부분은 뒷면, 뒷면 즉 1/2 곱하기 1/2 이를 10번합니다. 10번 하겠습니다. 좀 더 깔끔하게 써보겠습니다. 5, 6, 7, 8, 9, 10 분자는 1이 될 것입니다. 1 빼기 (같은 초록색으로 써보겠습니다.) 1 빼기 하고 분자는 1을 10번 곱한 것이므로 1입니다. 분모는 2X2를 하면 4이고 4X2는 8이고 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 분모는 1024입니다. 이는 다음과 같습니다. 1은 1024/1024이고, 빼기 1/1024가 됩니다. 이는 1023/1024와 같습니다. 분모는 같겠습니다. (같은 파란색으로 쓰겠습니다) 앞뒷면이 나올 확률이 같은 동전을 10번 연속해서 던지면 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 매우 높습니다. 1023/1024입니다. 계산기를 통해 퍼센트확률로 계산해봅시다. 재미로 한 번 해봅시다. 1023을 1024로 나누고 적어도 한면이 나올 확률은 99%에 가깝겠습니다. 어림해서 표현하면 99.9%가 되겠습니다. 사실상99.9보다도 아주 조금 높습니다. 이는 매우 강력한 도구 또는 생각하는 방법입니다. 왜냐하면 모든 경우의 수를 다 적으려면 평생이 걸릴 것입니다. 1024가지의 경우의 수를 써야할 것입니다. 10번 던졌을 떄 이렇게 모든 경우의 수를 쓰는 것은 우리의 시간을 많이 잡아먹을 것입니다. 조금만 다른 방법으로 생각해보면 10번 던졌을 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 모두 뒷면이 나오지 않을 확률과 같습니다. 그리고 이는 1 빼기 모두 뒷면이 나올 확률입니다. 이는 비교적 굉장히 쉽게 생각해 볼 수 있는 문제입니다.