독립사건에 대한 복확률

지금 완벽하게 공정한 동전을 가지고 있다고 가정해봅시다. 한번 맞춰보죠, 저는 이것이 25센트일 것이라 생각할게요. 조지 워싱턴의 희미한 윤곽을 그려보죠, 잘 되게. 이것은 유효한 동전입니다. 몇번 손가락으로 튕겨보고 다양한 확률에 대해 알아보죠. 자 그럼 곧바로 다음의 것을 해보죠. 한번만 튕겨보죠, 이때 던진 동전의 앞면이 나올 확률이 무엇일까요? 음, 2가지의 균등한 확률이 있는데 그중 앞면이 나오는 것은 두 개의 확률 중 하나에 해당되네요. 균등하게 확률이 될 수 있는가에 따라, 가능성이 2분의 1이네요. 만약에 던진 동전이 뒷면이 나오는 확률에 대해 같은 질문을 받는 다면 어떨까요? 균등하게 확률이 될 수 있는 2가지와 그 중에 한 번이 동전이 뒷면이 나와서, 2분의 1이네요. 그래서 이것이 우리가 알아야 할 한가지입니다. 만약 동전이 앞면이 나오는 확률에 동전이 뒷면이 나오는 확률을 더하면, 즉 2분의 1 더하기 2분의 1을 하면 1이 나옵니다. 그리고 이것은 대개 맞습니다. 가능한 모든 일의 확률을 합했을 때 균등하게 1이 되어야 합니다. 이것은 말이 됩니다. 왜냐하면 이러한 모든 분수들, 분수의 분자를 가능한 일들까지 더했을 때, 분모는 항상 가능한 일들이고, 그래서 이러한 모든 것들을 더했을 때 모든 가능한 일들을 얻을 수 있는 것입니다. 이제, 표시를 해보죠. 이것의 확률을 알아내... 저는 이제 이 동전을 두번 튕길 것입니다. .....동전의 앞면과 다른 앞면이 나올 확률을 얻어보죠. 앞면이 나올 확률과 다른 앞면이 나올 확률. 이것에 대해 생각해 볼 두 가지의 방법이 있습니다. 한가지 방법은 그냥 모든 다른 확률들을 생각해보는 것입니다. 저는 처음 튕겼을 때 앞면을, 두 번째 튕겼을 때도 앞면을 얻을 수 있습니다, 처음 튕겼을 때 앞면, 두번째 튕겼을 때 뒷면이 나올수도 있습니다. 또한, 처음 튕겼을 때 뒷면이, 두 번째 튕겼을 때 뒷면을 얻을 수 있습니다. 두번 튕겼을 때 모두 뒷면을 얻을 수 있습니다. 그래서 균등한 확률의 4가지 경우가 있습니다. 균등한 결과가 나오는 별개의 4개지 경우가 여기 있습니다. 그리고 이에 대한 한가지 생각할 것이 있습니다. 처음 튕겼을 때 저는 2가지의 확률을 얻을 수 있습니다. 두 번째에서 또 다른 두가지 확률을 얻을 수 있습니다. 저는 앞면 또는 뒷면을 얻을 수 있습니다. 그리고 저는 각각의 확률에서 4가지의 확률을 얻을 수 있습니다. 각각의 이것들을 통해 저는 여기에서 2가지 확률들을 얻을 수 있습니다. 그래서 다른 방법으로 균등하게 확률이 되는 4개를 얻을 수 있습니다. 저것들에서 얼마나 많은 것들이 우리의 조건들을 충족할까요? 음 우리는 여기서 구할 수 있듯이, 앞면이 2번 나오는 것이 우리의 조건을 만족합니다. 그래서 이것이...하나의 방법이죠. 4개의 경우 중 하나만 동그라미했는데, 일어날 확률이 4분의 1임을 의미합니다. 이것에 대해 생각할 수 있는 다른 한 가지 방법은, 독립적인 일이기 때문에 그리고 이것은 확률에 있어서 중요한 것입니다. 우리는 독립적이지 않으나 독립적이지 않은 일들인 4개의 시나리오를 공부했습니다, 첫 번째 튕김에서 무엇이 발생하고, 두번째 튕김에서 어떤 영향을 끼치는지 그리고 이것은 사실 사람들이 알아차리지 못하는 한가지 입니다, 어떤 사람이 생각했을 때 "도박의 오류"라고 불리는 무언가가 있습니다. "만약 내가 앞면을 여러번 연속적으로 얻었다면, 갑자기 뒷면이 나올 확률이 크다. 이렇지 않을 것입니다. 모든 튕김은 독립적이지 않은 일입니다. 과거에 어떤 결과가 발생했는지는 뒤의 확률에게 영향을 끼치지 않숩니다. 처음의 튕김에서 앞면이 나왔다는 사실이, 두번째 튕김에서 앞면이 나온다는 것에 영향을 주지 않습니다. 앞면, 앞면이나 앞면들이 나올 확률은 처음 튕김에서 앞면이 나오고 두번째 튕겼을 때 앞면이 나올 확률의 곱과 같다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 두 번째 튕김에서 앞면을 얻을 확률이 2분의 1이라는 것을 압니다. 그래서 우리는 2분의 1과 2분의 1, 앞쪽과 동등한, 확실히 우리가 모든 다른 시나리오들과 균등하게 되는 확률들을 시도했을 때 얻는 무엇이다. 다른표시를 해봅시다. 확률을 알아보자.....그리고 뒷면을 약간 무시해보자, 그래서... 뒷면의 긴장감을 유지하자. 뒷면을 얻을 확률과, 그리고 앞면과 뒷면들. 그래서 이것은 일들의 연속적인 것이다. 저는 정확한 순서를 말합니다. 첫 번째 튀김은 뒷면입니다. 두 번째 튀김은 앞면이고 세번째 튀김은 뒷면입니다. 다시 한번 이것들은 독립적이지 않은 일들입니다. 사실 저는 첫 번째 튀김에서 뒷면을 얻었고 결코 두 번쨰 튀김에서 앞면을 얻을 확률에 영향을 끼치지 않습니다. 또한 세번째 튀김에서 뒷면을 얻을 확률에도 영향을 끼치지 않습니다. 그래서, 이것들이 독립적이지 않은 일들이기 때문에 이것은 첫번째 튕김에서 뒷면을 얻을 확률과 두 번째 튕김에서 앞면을 얻을 확률과, 세번째 튕김에서 뒷면을 얻을 확률과 같습니다. 그리고 우리는 독립적이지 않은 일들을 압니다. 그래서 여기에 알맞게 2분의 1과 2분의 1입니다. 앞쪽의 2분의 1과 2분의 1, 4분의 1과 2분의 1은 균등하게 8번 째입니다. 그래서 이것은 8번째와 같습니다. 그리고 우리는 입증할 수 있습니다. 다시 한번 더 다른 시나리오들을 시도해보죠. 그래서 앞면과 앞면, 앞면을 얻을 수있습니다. 앞면, 앞면 뒷면을 얻습니다. 앞면, 뒷면, 앞면을 얻습니다. 앞면, 뒷면, 뒷면을 얻습니다. 뒷면, 앞면, 앞면을 얻습니다. 때때로 이것은 속임수 같습니다. 여기 다른 확률들에 대해 지치고 있는 것은 확인하게 됩니다. 뒷면, 뒷면, 앞면을 얻을 수 있습니다. 뒷면, 뒷면, 앞면을 얻을 수 있습니다. 또는 뒷면, 뒷면, 뒷면을 얻을 수 있습니다. 그리고 우리가 여기서 볼 수 있는 것은, 우리가 확실히 균등하게 확률이 되는 8개입니다. 우리는 균등하게 확률이 되는 8가지를 얻었고, 뒷면, 앞면, 뒷면은 확실히 그것들중에 하나입니다. 이것은 여기에 알맞는 확률입니다. 그래서 이것은 균등하게 확률이 되는 8개 중에 하나입니다. 이것은 여기 있는 것이 불가능하죠.