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주요 내용
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동영상 대본

임의의 삼각형을 하나 그리고 3개의 중선을 그렸습니다 중선 EB, 중선 FC, 중선 AD 입니다 세 중선은 점 G에서 만나고 이 점을 무게중심이라고 합니다 이 영상에서 증명하려는 것은 무게중심은 각 중선의 2/3 위치에 있다는 것입니다 즉, 임의로 세 중선 중 EB를 골랐을 때 그것이 성립함을 증명하려고 합니다 EG의 길이가 GB의 2배가 된다는 것을 증명해 봅시다 길이에 상관없이 이 길이의 2배인 것입니다 다시 말하면 EG는 EB의 2/3 입니다 이 성질은 어느 중선을 사용해도 증명할 수 있습니다 무게중심이 정확히 중선의 2/3 위치에 있다는 것 즉, 이 선분을 다른 선분의 2배가 되도록 나눈다는 것입니다 먼저 삼각형 ABE를 살펴봅시다 삼각형 ABE를 다시 그립니다 이 중선을 밑변으로 하고 원래 삼각형과 색을 같게 하여 그립니다 중선을 여기에 그린 뒤 두개의 노란색 변을 그립니다 원래 삼각형과 같게 그립니다 같은 색으로 그립니다 먼저 무게중심 G를 찍고 점 A와 연결하는 자주색 선분을 그립니다 저것보다 깔끔하게 그려보죠 점A와 연결합니다 점 F와 연결하는 파란색 선분을 그립니다 점F와 파란색 선분으로 연결합니다 주황색으로 모든 점들을 표시합니다 점 E, 점 B, 점 A 그리고 여기는 점F 입니다 원래 삼각형과 같은 표시를 합니다 한 개짜리 표시는 저쪽에 두 개짜리 표시는 이쪽 변에 합니다 EG가 EB의 2배가 됨을 증명하는 방법은 이전 동영상의 결과를 이용하는 것입니다 세 중선이 삼각형을 넓이가 같은 6개의 작은 삼각형들로 분할한다는 것을 이용하는겁니다 그러므로 이 세 개의 작은 삼각형은 넓이가 같습니다 6개의 작은 삼각형중 3개이기 때문이죠 세 개의 삼각형은 넓이가 같습니다 이제 여기 삼각형을 봅시다 삼각형 AGB을 살펴보죠 삼각형 AGB은 이 삼각형들과 넓이가 같습니다 이것을 삼각형과 비교해 봅시다 이 삼각형과 삼각형 EAG를 비교해봅시다 이 삼각형과 비교해 봅시다 원래 그림에서 여기있는 삼각형이죠 두 삼각형은 높이가 같습니다 두 삼각형의 밑변이 같은 선분에 있기 때문입니다 밑변이 동일하지는 않지만 같은 선분에 포함되어 있습니다 작은 주황색 삼각형은 GB를 밑변으로 갖고 있고 큰 파란색 삼각형은 EG를 밑변으로 갖고 있지만 두 삼각형은 같은 높이 h를 갖고 있습니다 이렇게 그려보죠 두 삼각형의 높이가 모두 여기입니다 여기에서 알 수 있는 것은 무엇일까요 이 파란색 삼각형 EAG의 넓이가 주황색 삼각형 넓이의 2배인 것을 어떻게 알 수 있을까요 이는 작은 삼각형이 두개가 있기 때문입니다 주황색 삼각형의 넓이를 x라고 합시다 넓이를 A라고 하고 싶지만 A 라는 기호를 이미 사용했으니까 넓이를 x 라고 하죠 그러면, 두 파란 삼각형의 넓이도 각각 x 입니다 따라서 이 파란 전체 삼각형도 알 수 있습니다 전체 파란 삼각형의 넓이는 2x 입니다 두 파란삼각형에서 넓이는 밑변 x 높이 x 1/2이므로 밑변은 EG 초록색으로 해봅시다 1/2 x EG x h 이것은 2x 입니다 2x 와 같습니다 삼각형 넓이 공식을 적용하여 보면 1/2 x 밑변 x 높이는 여기 넓이와 같습니다 주황색 삼각형으로도 해봅시다 오른쪽으로 옮겨서 써봅시다 1/2 x GB x h는 x 와 같습니다 이 식이 x와 같으므로 식 전체를 여기 x에 대입할 수 있습니다 어떻게 될 지 이미 알고 있겠지만 단계를 건너뛰지 않고 해보겠습니다 1/2 x EGx h 이것은 2x 와 같다 x 대신 이것을 여기에 쓰면 2 x 1/2 x GB x h 그러면 이런 식을 얻게 됩니다 1/2 x EG x h = 2 x 1/2 x GB x h 이제 이 식을 간단하게 만들어 봅시다 2 x 1/2는 1이 됩니다 그리고 양변을 h로 나누어 주면 1/2 x EG는 GB와 같다는 식이 됩니다 식을 다시 써보겠습니다 같은 색깔로 다시 써보죠 1/2 x EG 는 GB 와 같다 다시 써봅시다 GB가 EG의 반이라는 것을 의미합니다 예를 들면 EG가 2라면 GB는 1이고 EG가 4라면 GB는 2입니다 이것이 우리가 증명하려던 결과입니다 증명하려던 결과를 되짚어 봅시다 양변에 2를 각각 곱해주면 좌변은 EG가 되고 우변은 2GB가 됩니다 따라서 EG가 GB의 2배이고 이것을 어느 중선에 적용해도 성립합니다 무게중심이 중선의 2/3 위치에 있음을 증명할 수 있습니다