삼각형을 중선으로 나누기

이번에 알아볼 것은 삼각형 ABC가 주어졌을때 삼각형의 중선들은 무엇이며 서로 간에 어떻게 관련이 있는지 어떤 흥미로운 성질들이 있는지 살펴 봅시다 먼저 한 꼭짓점에서 부터 대변의 중점까지 선을 그어보겠습니다 이 선이 바로 중선입니다 중선은 이 변을 반으로 나누어줍니다 D를 중점이라고 두었을때 점 B에서부터 D의 거리는 점 C와 D 사이의 거리와 일치 하게 되겠죠 각각의 변에서도 같은 방법으로 중선을 그려 볼까요? 이 점은 점E 라고 합시다 마찬가지로 점A에서 점E까지의 거리가 점C에서 점E까지의 거리와 같습니다 약간 기울어져 있긴 하지만 거의 비슷합니다 또 다른 중선을 그려보겠습니다 이 동영상에서 증명하진 않을테지만 우리가 그린 모든 중선은 정확히 한 점에서 만납니다 신기하게도 세 중선이 동시에 한 점에서 만나게 됩니다 중앙에 있는 공통인 점에서 만나게 되죠 어떻게 만나게 되는지 한번 볼까요? 다시 한번 말하지만 증명은 하지 않을겁니다 먼저 이 점을 점F라고 합시다 BF의 길이와 FA의 길이가 같습니다 이때 세 중선이 만나는 점을 '무게중심'이라고 합니다 나중에 물리학에서 배울텐데요 실제적으로 균일한 삼각형이 있다고 가정하고 삼각형을 다룰 때는 이 삼각형은 무게중심을 중심으로 회전될겁니다 지금 기하학에서도 이렇게 무게중심을 공부하게 되네요 일단 여기에 있는 무게 중심은 G라고 부르죠 무게중심은 물체로 된 삼각형에서 무게의 중심역할을 하게 되는데 신기하게도 이 삼각형이 6개의 작은 삼각형들로 나누어지는 것을 볼 수 있습니다 더 흥미로운 것은 이 삼각형들이 합동은 아니지만 같은 넓이를 갖고 있다는 것 입니다 이 동영상에서는 나누어진 6개의 삼각형들이 같은 넓이를 갖고 있다는 것을 증명 해 보이겠습니다 먼저 두 삼각형을 살펴보죠 서로 다른 쌍의 삼각형들을 보게 될겁니다 우선 여기 있는 두 삼각형을 봅시다 이 두 삼각형이 넓이가 같다는 것을 증명하기 위해 간단한 원리로 살펴보겠습니다 여기 두 삼각형을 회전한다고 상상해 봅시다 여기 두 삼각형을 회전한다고 상상해 봅시다 이렇게 그리면 되겠죠 이렇게 그리면 되겠죠 최대한 잘 그려 보려고 노력 해 보겠습니다 이 점이 G 입니다 원래 G와 같은 색으로 쓰겠습니다 이 변도 같은 색으로 그렸습니다 이 점은 C이며 이 점은 B입니다 그리고 이 선은 중선의 일부분이고 이 선이 만난 변의 점이 D가 됩니다 정확히 잘 그리지는 못했지만 이 길이와 이 길이가 같다는 것은 알 수 있습니다 이 두 삼각형의 넓이를 생각해 봅시다 같은 길이의 밑변을 가지고 있죠 삼각형의 넓이 공식은 넓이A= 1/2 곱하기 밑면b 곱하기 높이h 입니다 우선 밑변의 길이는 같으니 높이도 살펴보죠 높이도 역시 같습니다 두 삼각형의 높이는 둘 다 이 길이에 해당됩니다 두 삼각형의 밑변의 길이가 같고 높이도 같네요 둔각삼각형에서 높이는 삼각형의 바깥에 있습니다 둔각삼각형에서 높이는 삼각형의 바깥에 있습니다 둔각 삼각형에서 둔각은 90도를 넘는 각을 말합니다 다시 한번 말하자면 높이는 삼각형 안에 존재 하지 않지만 괜찮습니다 이 두 삼각형은 밑변이 같고 높이가 같으므로 넓이가 같다는걸 알수 있죠 즉 이 삼각형의 넓이를 x라고 하면 이 삼각형의 넓이 역시 x가 됩니다 한번 더 봅시다 이 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고 높이도 같기 때문에 오른쪽 삼각형의 넓이가 y 였다면 왼쪽 삼각형 역시 y가 되겠죠 두 삼각형은 같은 넓이를 갖게 됩니다 마지막으로 여기있는 두 삼각형 역시 같습니다 높이가 같고 및변의 길이 BF 와 FA도 같습니다 높이는 이렇게 그리면 됩니다 이 삼각형의 영역을 z라고 하면 이 영역 역시 z가 됩니다 여러분은 이 삼각형이 넓이가 같은 세 쌍의 삼각형으로 나누어지는 것을 보았습니다 이제 이 모든 영역이 같은 넓이라는 것을 증명 해보도록 하죠 서로 다른 세 쌍의 삼각형이 있습니다 삼각형 BAE를 봅시다 삼각형 BAE를 봅시다 삼각형 BAE의 넓이는 [BAE]= z+z+y를 해서 z+z+y가 됩니다 삼각형 BEC의 넓이는 x+x+y이죠 [BEC]=x+x+y 이 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고 높이가 같습니다 이렇게 높이를 내려보면, 이 각은 둔각이므로 높이가 바깥쪽에 있습니다 하지만, 두 삼각형은 높이가 같기에 두 영역도 넓이가 서로 같다고 할수 있습니다 먼저 z+z+y를 더 간단하게 만들기 위해 z 두개를 더해봅시다 2z+y는 2x+y 와 같습니다 양쪽에서 y를 빼면 2z=2x가 되네요 양쪽에서 2로 나누면 z=x가 나옵니다 z대신 x를 써볼수도 있습니다 여기 있는 모든 삼각형들은 같은 넓이를 가지고 있습니다 하지만 y들도 살펴 봐야겠죠? 하지만 y들도 살펴 봐야겠죠? 보는 방향을 약각 회전을 시켜 봅시다 삼각형 ADC 를 보죠 다른 색깔로 삼각형 ADC를 빗금쳐 보겠습니다 삼각형 ADC 의 넓이는 2y+x입니다 [ADC]=2y+x 이 삼각형은 녹색으로 표시하겠습니다 삼각형 ADB는 삼각형 ADB는 2z+x라고 할수 있겠지만 z는 x와 같으므로 x+x+x가 됩니다 결론적으로 [ADB]=3x가 되네요 결국 전에 배웠던 방법과 같습니다 ADB와 ADC는 밑변의 길이가 같고 높이가 같습니다 이렇게 높이를 그리면 둘의 높이가 같죠 전에도 말했듯이 계속 같은 방법을 쓰는것 뿐입니다 이 둘은 서로 같으므로 2y+x=3x라고 할 수 있습니다 양쪽에서 x를 뺀다음 2로 나누면 y=x라는 간단한 결론이 나옵니다 각 꼭짓점에서 대변의 중점으로 선을 각각 그으면 세 개의 중선이 생기고 이 중선들은 무게중심에서 만나게 됩니다 더욱 흥미로운 것은 넓이가 같은 6개의 작은 삼각형으로 나누어진다는 것입니다