중선과 무게중심에 대한 예제

변 AE의 길이는 12이며 변 EC의 길이는 18입니다 중선이 여러개 그려져있네요 중선은 대변을 이등분하는 선을 말합니다 즉 ED와 DC, CB와 BA, 그리고 AF와 FE가 모두 같다는겁니다 점 F, B, D는 모두 각 변의 중점이며 점 G는 무게중심이 됩니다 세 중선의 교점이기 때문입니다 먼저 BGC의 넓이에 대해 알아봅시다 BGC는 여기에 있는 이 삼각형입니다 이 넓이를 알아내기 위해서는 세 중선이 삼각형의 넓이를 6등분한다는 사실만 알면됩니다 여기 6개의 삼각형이 모두 같은 넓이를 차지한다는거죠 전체 삼각형의 넓이만 알면 이 문제를 풀수 있을것 같네요 이것은 직각삼각형입니다 AE의 길이는 12이기 때문에 옆에 12라고 쓰겠습니다 EC의 길이는 18입니다 따라서 AEC의 넓이는 밑변 18과 높이 12를 곱한후 2로 나누면 됩니다 9곱하기 12로 계산을 하면 108이네요 108이 바로 삼각형 AEC의 전체넓이인데요 BGC의 넓이를 구하려면 정점에서 및변까지 수직을 내리고 중선으로 나누어진 6개 삼각형 중 하나의 넓이를 구하면 됩니다 이전 영상에서 증명한대로 6개의 삼각형은 모두 같은 넓이를 갖기 때문이죠 삼각형 BGC의 넓이는 삼각형 AEC의 넓이와 동일합니다 전체 삼각형을 6으로 나누면 180을 6을 나누는것과 같습니다 따라서 180을 6으로 나누어 주면 됩니다 바로 18이죠 108은 6x18과 같기 때문입니다 따라서 BGC의 넓이는 18입니다 중선으로 나누어진 작은삼각형들의 넓이도 각각 모두 18입니다 삼각형 FGE의 넓이도 18이라는 말이죠 첫번째 질문을 해결했습니다 다음 질문은 AG의 길이인데요 AG는 이 중선의 더 긴 부분입니다 AG의 길이를 알기 위해서는 무게중심이 항상 중선의 2/3위치에 있음을 기억하면됩니다 즉 중선을 2:1로 나눈다는거죠 2대 1의 비율이라는 겁니다 따라서 AG의 길이를 구하는것은 중선의 길이만 주어졌다면 가능합니다 중선의 길이의 2/3을 구하면 됩니다 다행이 이 삼각형은 직각삼각형이고 F와 D가 중점이기 때문에 문제가 더 쉬워졌네요 예를 들어 AE의 길이가 12이고 ED의 길이가 18의 반이라는것을 알기 때문에 ED는 9라는 것을 알 수 있습니다 ED는 새로운 색으로 표현해봤습니다 이제 직각삼각형 AED의 빗변인 AD를 구하기 위해 피타고라스의 정리를 이용하면 됩니다 AD는 AED의 빗변이기 때문입니다 먼저 12의 제곱 더하기 9의 제곱은 AD의 제곱입니다 12의 제곱은 144이고 9의 제곱은 81이므로 둘을 더하게 되면 225가 됩니다 따라서 AD의 제곱은 225입니다 225는 15의 제곱이므로 AD는 15가 됩니다 다시 한번 더 말하자면 AD의 길인 225, 또는 15의 제곱이 됩니다 우리는 길이에 대해 이야기하고 있으므로 양수만 사용 합니다 음수에 대해서는 생각하지 않습니다 따라서 AD는 15입니다 이 길이가 15인거죠 그리고 AG는 AD의 2/3입니다 AG는 AD의 2/3입니다 무게중심은 어느 중선이던 그 중선의 2/3위치를 지난다는 것은 이전 영상에서 증명했습니다 그러므로 15의 2/3을 해 보면 10이 되고 10이 바로 AG의 길이가 됩니다 두번째 질문도 해결했으니 이제 세번째 문제를 풀어볼까요? FGH의 넓이가 얼마인지 구하는 것인데요 먼저 색칠을 해볼게요 만약 HG와 FH의 길이를 알았다면 이 삼각형의 넓이를 아주 쉽게 구했겠죠 HG와 FH의 길이를 알아내는 방법은 사실 여러가지가 있습니다 HG의 길이를 알아내는 하나의 방법은 HG가 삼각형 FGE의 높이이며 AFG의 높이라는 사실을 이용하는겁니다 두삼각형 모두 밑변의 길이가 6이기 때문에 HE와 AF 모두 길이가 6이죠 두 삼각형 모두 6이라는 밑변을 가지며 HG라는 같은 높이를 가집니다 두 삼각형의 넓이도 쉽게 알수있죠 우린 이 넓이가 18로 같음도 압니다 삼각형 AFG를 이용해봅시다 삼각형 AFG의 넓이는 1/2 x 6 x HG가 됩니다 또는 1/2 x 밑변 x 높이 이죠 이미 삼각형 AFG의 넓이는 18로 주어졌습니다 1/2 x 6 x GH = 18인거죠 따라서 3 x GH=18 이므로 양변을 3으로 나누어주면 GH=6 이 됩니다 이것이 첫번째 방법이고 따라서 GH는 6과 같습니다 닮음을 이용해 구하는 방법도 있는데요 삼각형 AHG와 AED가 닮음이고 이 빗변의 길이는 전체의 2/3이므로 GH는 9의 2/3이라고 할 수 있겠네요 9의 2/3을 하면 또 6이라는 답이 나오죠 두 방법 모두 GH의 길이를 구할 수 있었습니다 이제 FH의 길이만 알면 되는데요 우리가 AH의 길이를 안다면 FH의 길이를 구할 수 있습니다 왜냐하면 AF의 길이가 6임을 알기 때문에 FH=AH-AF임을 이용할 수 있기 때문이죠 그럼 AH를 알아봅시다 닮음을 이용해볼건데요 닮음을 이용해볼건데요 여기의 큰 직각삼각형 AED와 작은 직각삼각형 AHG는 각각 둘다 직각이 있네요 그리고 둘다 A라는 각을 가지고 있습니다 때문에 두 삼각형은 서로 두개의 각이 동일합니다 따라서 서로의 닮은 삼각형이 되죠 AH 대 AE는 12이며 AG또는 10 대 AD 와도 같습니다 AD도 이미 15라는 것을 알죠 AH의 길이는 12의 2/3이 될겁니다 닮음을 이용해서 풀어보도록 하죠 우변이 2/3 이고 양변에 12를 곱해주어 AH=2/3x12 를 계산하면 8이 됩니다 따라서 AH는 8, AF는 6 이므로 FH는 2가 됩니다 이제 FHG의 넓이를 구할 수 있을 만큼 다 구한것 같습니다 여기에 써보겠습니다 FH를 밑변으로 사용해 볼게요 사실 다른 방법도 있지만 FH를 밑변으로 사용해 보겠습니다 1/2 x 밑변 2 x 높이 6 = 6 이 되어서 답은 6입니다 여러분은 지금 알아낸 방법들로 이 삼각형에 있는 모든 선들의 길이와 넓이들을 더 구할 수 있습니다 이미 거의 다 풀긴 했습니다