원을 정의하는 세 점

3개의 점이 삼각형을 정의한다는 것은 모두 알고 있습니다. 여기에 무작위로 3개의 점을 지정해보겠습니다. 이걸 점 A, 점 B라고 부르고 그리고 이걸 점 C 라고 부릅시다. 이 세 점이 삼각형의 꼭짓점이라고 가정하면 하나의 삼각형이 만들어질것입니다. 그럼 이 도형은 삼각형 ABC이겠죠. 우리는 이미 최근 몇개의 비디오에서 삼각형 ABC는 하나의 독특한 외심을 갖고 있으며 외심은 3개의 꼭짓점들로부터 같은 거리만큼 떨어져 있다는 것을 배웠습니다. 이 세 점들로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 것입니다. 이 사실을 알아내기 위해 할 수 있는 방법은 각 변들을 정확히 반으로 나누면서 수직인 세 개의 선들이 만나는 곳을 그리는 것입니다. 그럼 이 선들이 하나의 점에서 겹쳐진다는 것을 나타낼 수 있습니다. 이게 바로 외심입니다. 여기에 빨리 해 볼게요. 자, 그럼 이것이 이 변의 수직 이등분선이라고 해봅시다. 이 선은 이 변의 수직 이등분선이고, 이 선은 이 변의 수직 이등분선 입니다. 모두 수직이죠. 그리고 모두 세 변을 정확히 이등분 합니다. 그러니까 B 부터 이 점까지의 거리는 A와 이 점의 거리와 같을 것이고 A 와 이 점 까지의 거리는 C와 이 점 까지의 거리와 같을 것입니다. 그리고 C와 이 점의 거리는 B와 이 점의 거리와 같을 것입니다. 그리고 여기 이 점은 아까 이미 한번 언급 되었습니다. 이 점을 점 O라고 부를게요. 우리는 이 것을 바로 외심이라고 부릅니다. 그러니까, 점 O가 바로 외심인거죠. 여기까지는 복습입니다. 자, 세개의 점이 있으면 하나의 특이한 삼각형이 형성되고, 이 삼각형에는 특이한 외심이 존재합니다. 물론 삼각형 세 점으로부터 같은 거리에 위치해 있습니다. 이 세 점은 꼭짓점입니다. 그리고 세 꼭짓점 사이의 거리는... 다른 색으로 그려 보겠습니다. 그러니까 OA의 길이 OC의 길이, OB의 길이는 같습니다. 즉, 세 외접원의 반경 OA = OC = OB입니다. 처음 원에 대해 이야기 했을 때 한 점이 주어지고 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 점들의 궤적을 찾으면 그것이 바로 원이라고 배웠습니다. 궤적은 점들의 집합입니다. 아무 점이나 무작위로 잡아보면 이게 바로 임의의 점 입니다. 반지름도 정할 수 있습니다. 2차원의 평면 위에서 중심으로부터 반지름의 길이만큼 떨어진 점들의 집합을 정하면 원을 생성하죠. 이게 바로 우리가 원을 만드는 방법입니다. 또, 비슷하게 중심을 점 O에서 시작하고 또 다른 모든 점들이 점 O 로부터 떨어진 외접원의 반경이라고 가정하면 점 ABC 를 모두 품은 원을 만들 수 있습니다. 모든 점이 외접원의 반지름만큼 떨어져 있기 때문입니다. 모든 점이 한 집합에 속해 있는 것입니다. 그럼 대략 이런 모양이겠죠? 잘 그리려고 하고 있습니다. 우리가 지난 몇분간 했던 이야기들은 전부 복습입니다. 이미 다 알고 있는 사실이지만 다시 한번 복습한거에요. 재미있는 이론을 한번 더 언급하려고요. 삼각형을 만들 수 있는 세 점이 주어지면 또, 그 삼각형이 만들어진다면 좀 정확히 설명해보죠 이 점들은 동일 직선상에 있지 않은 점들입니다. 그러니까 한 선에 존재하지 않습니다. 동일 일직선상에 존재하지 않는 세 점은 삼각형을 이룹니다. 그리고 모든 삼각형에는 하나의 외심 외접원의 반경이 존재합니다. 또, 공간 안에 임의의 점이 주어진다면 어떤 점, 그리고 반지름이 주어진다면 어떤 점으로 부터 반지름 만큼 떨어진 점의 집합은 원을 생성합니다. 자, 우리는 특이한 외심과 특이한 외접원의 반지름을 가진 특이한 삼각형에 대해 이야기 해 보았습니다. 임의의 점 3개만 있으면 특이한 원 하나가 만들어진다는 것을 보여주기 위해서요. 그러니까 삼각형을 만들기 위해서는 점 3개가 필요한 것처럼 원을 만들기 위해서도 점 3개가 필요합니다. 점 2개로는 가능하지 않습니다. 그리고 만약 두개의 점만이 주어진다면 그 두개의 점을 가지고 작도할 수 있는 삼각형의 개수는 무한대로 늘어납니다. 세번째 점을 아무데나 찍어도 되기 때문이죠. 이런 삼각형을 그릴 수도 있고 이런 삼각형을 그릴 수도 있습니다. 이런 삼각형도 그릴 수 있습니다. 그리고 이 모든 삼각형들은 각기 다른 외심과 반지름을 갖고 있습니다. 그래서 각 삼각형들을 외접하는 원이 생깁니다. 예를 들자면, 이 원은 이 삼각형과 외접하는 원입니다. 이 원이 여기 있을 수도 있습니다. 그래서 점 두개만으로는 안 된다는 것을 알 수 있습니다. 세 개의 점이 필요 합니다. 세 점은 삼각형을 형성할 수 있고, 나아가 특이한 원도 형성할 수 있습니다. 이건 꽤 멋있는 아이디어이죠. 또 다른 문제를 제기하자면, 만약 임의의 삼각형과 외접하는 원이 있다면 원의 중심이 외심이 되는 것일까요? 그 문제에 대해 생각해 봅시다. 이 문제는 한 번에 알아차릴 수는 없기 때문이죠. 여기에 원을 하나 그리면 중심은 여기에 있습니다. 그리고 세 점이 모두 이 원 위에 있는 삼각형을 그리겠습니다. 그럼 원의 중심이 삼각형의 외심이 될까요? 가장 극한의 상황으로 가보죠 이것이 분명하게 삼각형을 벗어난 그림을 그려보겠습니다. 그럼 세 꼭짓점이 확실하게 원 위에 있는 그림을 그릴 수 있습니다. 이 그림을 보면 이 점은 삼각형 안에 있지도 않으니까 이 삼각형의 외심이 될 수 없다는 생각이 들겁니다. 하지만 이 점은 원의 모든 점과 같은 거리에 위치한다는 사실을 기억하세요. 원 위의 모든 점은 이 점으로부터 같은 거리에 위치해 있다는 말입니다. 모두 반지름의 길이만큼 떨어져 있습니다. 그리고 원 위에 있는 삼각형의 세 점은 바로 이 점과 반지름 만큼 떨어져 있습니다. 그러니까 이 길이도 반지름이 되고 여기 부터의 길이도 반지름이 되고 여기 이곳의 길이도 반지름이 됩니다. 이 점은 딱 보면 이 점과 이 점으로부터 모두 같은 거리만큼 떨어져 있습니다. 우리는 이 두 꼭짓점으로 부터 R만큼 떨어져 있다는 것을 알고 있습니다. 그러니까 같은 거리 만큼 떨어져 있으면, 저번 동영상에서 증명한 사실을 이용하면 이 점들과 같은 거리만큼 떨어져 있으면 이 두 점들과 만나는 선분의 수직 이등분선이어야 합니다. 그러니까 이것은 수직 이등분선 위에 있어야 합니다. 이것은 수직인 동시에 이 선분을 이등분 합니다. 그리고 이 선분에 대한 경우도 같은 경우로 볼 수 있습니다. 이 점이 중심으로부터 반지름이 되어주기 때문입니다. "이 점" 이라고 말하기 힘드네요. 점 O라고 부르겠습니다. 점 O는 아 이 점들에 이름을 붙일게요. 자 A, B, C라고 부릅시다. 점 O가 C 와 B와 같은 거리에 있기 때문에 BC의 수직 이등분선 위에 위치 해야 합니다. 그리고 A와 B 로부터 같은 거리만큼 떨어져 있어야 합니다. A와 B가 모두 원 위에 있기 때문에 모두 R 만큼 떨어져 있습니다. 반지름 만큼 떨어져 있단 뜻이죠. 또한, AB의 수직 이등분선 위에 있어야 합니다. 조금 더 정확히 그려보죠. 자. 수직 이등분 선 위에 존재해야 해요. 그리고 마지막으로 AC로부터 같은 거리만큼 떨어진 곳에 위치해야 해요. 모두 반지름 R의 거리이기 때문입니다. 모두 원 위에 존재하기 때문이죠. 그렇기 때문에, AC의 수직이등분선 위에 있어야 합니다. 자. AC가 바로 여기 있습니다. 그리고 여기에서 흥미로운 점 하나가 떠오릅니다. 우리는 삼각형 세 변의 수직 이등분선을 보고 있습니다. 서로를 교차하긴 하지만 삼각형 밖에서 교차하고 있다는 점이 흥미롭습니다. 그리고 교점은 이 원의 중심이기도 합니다. 자, 다시 한번. 가장 마지막 이론은 점 O는 A와 C로부터 같은 거리만큼 떨어져 있다는 것 입니다. 그래서 A와 C의 수직 이등분 선 위에 있어야 하죠. 대략 이렇게 생길 겁니다. 자 다시한번, 우리는 세개의 수직이등분선이 어떤 점에서 교차하고 있는 것을 알 수 있습니다. 그리고 O는 외심입니다. 그러니까 아무 원이나 그려서 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있는 삼각형을 그리면 원의 중심이 곧 삼각형의 외심이 됩니다. 우리는 삼각형의 외심이 삼각형 밖에 존재하는 상황을 그려본 것입니다. 점 O가 곧 삼각형의 외심이 되는 것입니다. 그리고 점 O는 이 삼각형의 외심도 될 것입니다. 이 점은 모든 수직 이등분선 위에 놓일 것입니다. 이건 어느 삼각형의 모든 세 점으로부터 같은 거리에 떨어져 있기 때문입니다. 그리고 모든 꼭짓점은 원 위에 놓입니다.