점과 직선 사이의 거리

이 동영상에서는 각의 이등분선 위에 있는 점들에 대하여 알아보도록 할것이다. 그러나 시작 하기 전에 확실하게 알아야 할것이 점과 선 사이의 거리를 이야기 할 때 그것이 무엇을 뜻하는지 정확히 이해하는 것이다. 어떤 점을 점 A라 하고 여기에 어떤 선이 있다고 하고 그 선을 BC라고 부르자. 그리고 점과 점 사이의 거리를 알아보자. 매우 분명하게 다른 점으로 선을 하나 그으면 B를 이미 사용했으니, 그냥 다른 점으로 선을 긋고 그 선의 길이를 구하면 거리는 두 점 사이의 길이일 것이다. 하지만 한 점과 선은 너무 많은 점들이 이 선 위에 있기에 이 거리를 구하거나, 이 거리를 구하려고 했다면, 아니면 이 거리는, 모두 다른 길이인데 어떻게 그것만의 정해진 거리가 있을까? 그리고 이것을 설명하는 방법은 앞으로 수학공부를 할때 더 깊이있게, 벡터와 선형대수를 배울때 배울 것이다. 점과 선 사이의 거리는 그들 사이의 가장 짧은 거리이고 그 가장 짧은 거리는 점에서 선으로 수직선을 내리는 것이다. 그리고 바로 여기에 이건 우리가 점과 선 사이의 거리라고 하는 것이고, 이건 수직이므로 가장 짧은 거리라고 할 수 있는데 상대적으로는 이 점과 이 선 위에 있는 다른 점, 이 위의 다른 점을 고르고 점 E라고 하면, 이제 생각해보자. 이 점은 제멋대로 아무데나 그린 것 이다. E를 여기에 그렸을 수도 있고, 여기에 E를 그렸을 수도 있고, 아무데나 E를 그렸을 수 있다. 그러나 어디에 E를 그렸거나 A와 E 사이에 선분을 그린다면 수직을 그렸던 곳 까지 A에서 E까지 직각 삼각형을 그린 것을 볼 수 있다. 이제 이 점을 점 F라고 하고, E와 F가 다르다는 조건 하에 항상 직각 삼각형을 그릴 것이라고 생각하자. 그러면 곧바로 D가 이 주황색의 길이보다 짧아야 된다는 것을 알 수 있을 것이다. 왜냐하면 이 주황색은 빗변이기 때문이다. 빗변은 항상 삼각형의 가장 긴 변이고 D의 제곱 더하기 어떤 변의 제곱이나 이 변의 제곱과 같을 것이다. 제대로 되었다면 이건 왜 수직선을 내리는 것이 항상 가장 짧은 선과 점 사이의 거리가 되는지를 알 수 있을 것이다. 그 독특한 가장 짧은 거리가 우리가 점과 선 사이의 거리라고 부르는 것이다. 그리고 이제 이건 접어두고 각의 이등분선에 대하여 생각해 보자. 여기에 각을 하나 그리자. 그리고 이 점을 다른 색으로 표시하고 점 A라고 부르자. 그리고 이건 점 B라고 부르고 여긴 점 C라고 하자. 각의 이등분선은 기본적으로 선이나 선분이고 각을 두개의 같은 크기의 각으로 나누는 선이다. 전에도 말했다시피 각 ABC를 이등분 하고 싶다면 여기 이 각을, 2개로 나누면, 잠시 더 좋은 버전으로 그리고 다시 두개로 나누면, 좀 더 잘 그리면, 그림이 아직도 그렇게 안 보이는데, 됐다. 그래서 여기 점을 D라고 하고 다시 한번 더 이건 선이라고 할 수 있다. 선분이 될수도 있고 아무거나 될 수 있다. 그러나 이걸 생각을 하는 방법은 이게 이제 각 DBC가 각 DBA와 같다고 하면, 이 각이, DBC가 각 DBA와 같다고 하면 DB가 각 ABC를 이등분 한다고 할수 있다. 선분 DB에 대해서는 이걸 한 쪽으로만 뻗어나가는 직선으로 만들 수도 있었을 것이다. 계속 오른쪽으로 가면, DB 는 각 ABC를 이등분 할 것이다. 내가 점과 선 사이의 거리를 이야기하면서 시작한 이유는 각의 이등분선 위에 있는 아무 점이나 사실은 각의 변에서 거리가 같다는 것을 보여주고 싶었기 떄문이다. 반대로 말하자면, 각의 변에서 같은 거리에 있는 아무 점은 모두 각의 이등분선이 될것 이다. 각의 이등분선에 있는 아무 점이나 잡고 이 점을 고르면 점을 우선 F라고 하고, 아니 E를 안 썼으니 E라하자. 이건 우리가 고른 각의 이등분선 위의 점이고, 이제 E와 BC 사이의 거리와 E와 BA 사이의 거리를 보자. 우린 이미 점과 선 사이의 수직선의 길이는 같다고 했다. 여기에 수직선을 그리면 이건 한개의 거리이고 이건 또 다른 거리이다. 여기 주황색 선은 E와 BC 사이의 거리이고 이 주황색 선은 E 와 BA 사이의 거리이다. 내가 증명하고 싶은 것은 이 거리들은 같다는 것이다. 첫번째로 알아야 할것은 두개의 직각 삼각형이 있다는 것이고 두개의 같은 각이 있다는 것이다. 각 ABE는 각 CBE와 합동이고 DB가 이등분하니 이 각은 저 각과 같다. 둘 다 직각이므로 둘 다 2개의 같은 각을 가지고 있고 이는 3개의 같은 각을 가지고 있다는 것이고 이 각도 그렇다는 것이며 이 변도 공통으로 가지고 있다는 것이다. 3개의 각이 합동이지만 그리고 공통은 아니지만 이 변은 공통으로 가지고 있으므로, BE는 이 두개의 삼각형의 빗변이다. 따라서 이 각과 저 각 그리고 이 변과 저 각 그리고 이 각과 저 변 으로 이 두 개의 삼각형은 서로 합동이라고 할수 있다. 이 삼각형과, 위에 점 좀 찍고, F라고 부르고 이건 G라고 부르면 삼각형 EBF는 삼각형 EBG와 AAS합동이라고 할수 있다. AAS로 두개의 동위각이 같으면 3번째 각도 같을 것이라고 알 수 있다. 그러니 여기에 있는 이 각도 같을 것이고 ASA로 증명할 수 있어 이 두개의 것들은 합동이다. 하지만 이 두개가 합동이라면 대응변들도 합동일 것이고 EF의 길이, 선분 EF는 선분 EG와 합동일 것이다. 위의 것은 EF의 길이가 EG와 같은 것과 같고 이건 정말로 다 동등한 설명들이다. EF의 길이는 EG의 길이와 같으므로 두 개의 선분의 길이는 점과 두개의 각각의 변의 거리이다. 우리는 방금 첫번째 상황을 증명한 것이고, 한 점이 각의 이등분선위에 있으면 이건 각의 2개의 변으로 부터 같은 거리에 있는 것이다. 거꾸로 생각해보면 여기에 각을 하나 더 그리고 이걸 A, B, C라고 불러보자. 그리고 아무 점이나 E라고 하고 E를 여기에 두고 E가 BC와 같은 거리에 있다고 가정해보자. 우리는 E가 각의 이등분선 위에 있다는 것을 증명하고 싶다. 각의 이등분선 위에 있다면 같은 거리에 있는 것이고 여기서 같은 거리에 있다면 각의 이등분선 위에 있는 것이고 BC와 BA와 같은 거리에 있다면 이 수직선은 저 수직선과 합동일 것이다. 점들에게 이름을 붙여주고 점 D라고 하고 점 F라고 하고 선분 BE를 그리면 2개의 직각 삼각형이 생긴다. 이미 2개의 변이 서로 같다는 것을 아니, 둘다 빗변을 공유하고 빗변들은 서로와 같으므로 피타고라스의 정의를 통하여 2개의 변의 길이를 알면 3번째 변도 알수 있다. 2개의 변을 아니 3번째 변의 길이도 같을 것이고, 이 변은 저 변과 같은 길이일 것이다. 따라서 SSS합동 조건으로 두개의 삼각형이 합동이라는 것을 알 수 있다. 저기서는 특별히 RSH를 사용했었을 수도 있었다. 직각 삼각형이 있으면 길이가 같은 변이 한 세트 있을 것이고 합동인 빗변도 있으면 맞는 것이다. RSH로 합동을 증명해도 되고 어쨋건 삼각형 EBD가 삼각형 EBF와 합동이라는 것을 알 수 있다. 여기서는 SSS로 증명했지만 RSH를 썼을 수도 있다. ASS가 모든 삼각형에게 쓰일수 있다는 것을 우리는 안다. 그리고 RSH는 직각 삼각형에게 ASS이다. 만약 2개의 직각 삼각형의 변이 같다면 직각 삼각형의 두 변이 합동이라면 2개의 삼각형은 분명히 합동일 것이다. 하지만 두개의 삼각형이 합동이라는 것을 알게 되면 동위각들도 합동이어야 하고 각 EBD와 각 EBD 가 각 EBF와 동위각이며 각 EBD가 각 EBF와 합동이라는 것을 알 수 있다. EBD는 EBF와 합동이고 EBD가 EBF와 합동이면 선분 EB는 각 CBF를 이등분 해야하고 CBA가 CEF라 불릴 수도 있다. 드디어 끝났다! 여기에 무언가가 이등분선 위에 있으면 이것은 각의 양 변에서 같은 거리에 있으며, 변으로 부터 같은 거리에 있으면 그 점이 각의 이등분선 위에 있다는 것이다. 또는 이 점은 각의 이등분선의 끝에 있을 수도 있다. 하지만 한 가지 분명한 것은 이것이 항상 각의 이등분선 위에 있다는 것이다.