삼각형의 내심과 내접원

여기 삼각형 ABC가 있습니다 그리고 지난 시간에 우리는 각의 이등분선 위에 있는 점들의 특징을 알아보았습니다 그리고 이번에 제가 해보고 싶은 것은 그 각 이등분선의 특징이 삼각형에서 어떻게 나타나는지 알아보는 것입니다 그렇다면 우선 각 A, B, C를 이등분해봅시다 여기 이등분선을 그려보겠습니다 아마 각이등분선은 이렇게 생길 것입니다 저는 이 선이 최대한 각이등분선에 가깝도록 그리고 싶습니다 여기 점에 이름을 붙여보죠 잘 모르겠네요 이 점을 점 D라고 부르죠 그리고 또다른 각이등분선을 그려봅시다 각 ABC를 이등분하는 선 말입니다 여기 그려보겠습니다 아마 이렇게 생기겠죠 이 점은 점 E라고 부릅시다 선분 AD는 각 BAC를 이등분하고 선분 BE는 각 ABC를 이등분합니다 그리고 여기 선분 AD가 이 각을 이등분한다는 것을 통해 여기 이 두 각들의 크기가 같다는 것을 알 수 있습니다 값이 같을 것입니다 그리고 이 선분이 각 ABC를 이등분한다는 것으로 보아 각 ABE의 크기는 각 EBC의 크기와 같음을 알 수 있습니다 네, 각 EBC 말입니다 그리고 두 선분이 삼각형 안의 한 점에서 교차하는 것이 보이니 그 점을 재미로 몇 개의 알파벳을 뛰어넘겨서 점 I 라고 하죠 그렇지만 이 점을 I라고 부르는 것이 유용하다는 것을 잠시 후에 알게 될 것입니다. 점 I에 대해 몇 가지 흥미로운 점을 발견할 수 있습니다 점 I 는 두 개의 각이등분선 모두에 위치하고 있습니다 그리고 지난 비디오에서 우리는 각이등분선 위에 있는 점은 두 개의 변과의 거리가 같다는 것을 알아냈습니다 예를 들어 점 I 는 변 AD 위에 있기 때문에 각 BAC 의 두 변 (변 BA, 변 AC) 과의 거리가 같을 것입니다 이 변과의 거리와 이 변과의 거리와 이 변과의 거리가 같습니다 점 I 는 선분 AD 위에 있기에 방금 제가 내린 두 수선의 길이는 같다는 것을 알 수 있습니다 물론 수선일 때 성립할 것입니다 그리고 지난 비디오에서 어떤 점과 선분의 거리를 구할 때 가장 짧은 거리를 구해야 한다는 것을 배웠고 그 거리는 점에서 수선을 내렸을 때임을 알게 되었습니다 그렇기 때문에 점 I 에서 수선을 내린 것입니다 수선의 발에 이름을 붙여보죠 이 점은 점 F 라고 이름을 붙이고 이 점은 점 G 라고 이름을 붙이겠습니다 그리고 점 I 가 각이등분선인 선분 AD 위에 있기 때문에 선분 IF의 길이는 선분 IG의 길이와 같을 것이라고 알 수 있습니다 그렇습니다 그리고 점 I 는 또다른 각이등분선 위에 위치합니다 점 I 는 각이등분선 BE 위에 위치하는데 이를 통해 변 AB로부터의 거리는 변 BC로부터의 거리와 같아야 함을 알 수 있습니다 점 I에서 변 AB까지의 거리는 벌써 선분 IG의 길이라고 명시해 놓았습니다 그렇지만 우리는 선분 IG의 거리는 점 I에서 변 BC까지의 거리와 같아야 함을 알고 있습니다 그래서 점 I에서 변 BC로 또다른 수선을 내리고 이 점을 H라고 하겠습니다 아직 H라는 문자를 사용하지 않았으니까요 이 길이와 이 길이는 같아야 합니다 점 I 가 각이등분선 위에 앉기 때문이죠 선분 IG의 길이는 선분 IH의 길이와 같고 선분 IF의 길이와 IG의 길이가 같음을 알기에 또 선분 IG의 길이가 선분 IH의 길이와 같다면 선분 IF와 선분 IH의 길이가 같다는 것을 알 수 있습니다 당연한 결과이지요? 이 둘의 길이가 같고, 또 이 둘의 길이가 같다면 이 둘의 길이도 같습니다 그렇다면 점 I가 어떤 각의 두 변과의 거리가 같다면 우리가 지난 비디오의 두 번째 부분에서 배운 바에 의하여 그렇다면 점 I가 어떤 각의 두 변과의 거리가 같다면 이 점은 각이등분선 위에 있다는 것을 알 수 있습니다 여기 있는 등식은 점 I가 각이등분선 위의 점이라는 것을 보여줍니다 I는 각 ACB의 각이등분선 위에 있습니다 왜냐하면 각 ACB 의 각 두 변과 같은 거리 상에 있기 때문입니다 그리고 우리가 방금 증명한 것은 삼각형의 세 각의 각이등분선 위에 동시에 존재하는 매우 특별한 점이 있다는 것입니다 그리고 이는 당연한 것이 아닙니다 세 개의 선분이 모두 한 점에서 교차하는 것은 당연한 것이 아닙니다 두 선분이 한 점에서 교차하는 것은 놀랄 일이 아닙니다 그렇지만 세 선분의 경우에는 이야기가 달라지죠 그렇지만 외심을 구할 때 각 변의 수직 이등분선들은 깔끔하게도 한 점에서 교차하였습니다 그리고 이 비디오에서 각이등분선들이 모두 한 점에서 만남을 보이는 것은 매우 멋진 일입니다 점 I는 각 ACB 위에 있기에 각 ACB의 각이등분선은 아마 이렇게 생길 것입니다 네, 아마 이렇게 생기겠죠 그리고 여기 이 각은 바로 옆의 각과 크기가 같을 것입니다 그리고 우리는 방금 한 삼각형에서 각 꼭지점에서 각이등분선을 그으면 모든 각이등분선이 한 점에서 교차함을 알아냈습니다 한 점에서 교차하기 때문에 뭔가 특별한 이름이 필요하겠죠 정말 그렇습니다 그렇기 때문에 이 점을 I라고 부른 것입니다 우리는 점 I를 내심 (영어로는 Incenter)이라고 부릅니다 삼각형 ABC의 내심 그리고 왜 이 점을 삼각형의 내심이라고 부르는지 알게 될 것입니다 우리가 외심에 대해 배울 때 어떤 원의 중심이 삼각형의 외심이 될 수 있다는 것을 배웠습니다 그리고 우리는 5초 후에 점 I 가 삼각형 안에 위치하는 원의 중점과 같다는 것을 알게 될 것입니다 세 변과 접하는 원 말입니다 그럼 그런 원을 어떻게 작도하죠? 우리는 벌써 점 I 가 세 변과 똑같은 거리에 있음을 알아냈습니다 이 길이는 이 길이와 이 길이가 같기 때문이죠 그렇다면 점 I를 중심으로 하고 반지름이 삼각형의 세 변과의 거리인 원을 그리면 어떻게 될까요? 반지름의 길이가 IF, IG, IH와 같은 원 말입니다 그러면 우리는 아마 이렇게 생긴 원을 갖게 될 것입니다 아마 이렇게 생긴 원을 갖게 될 것입니다 이것보다 더 잘 그려보겠습니다 아무 기구도 없기 때문에 이게 제가 그릴 수 있는 최선의 원입니다 반지름의 길이가 점 I와 세 변과의 거리와 같은 이 원은 (우리는 벌써 점 I로부터 세 변까지의 거리가 모두 같음을 보였습니다) 삼각형 안에 위치하고 있습니다 그러면 이 도형을 원이라고 부릅니다 원 I라고 부르겠습니다 원에 이름을 붙일 때 주로 원의 중심의 이름으로 부른다는 것을 명심합시다 원 I는 삼각형 ABC의 내접원입니다 그리고 이 원의 반지름의 길이를 R이라고 할 때 R은 IF, IH, IG와 길이가 같음을 알 수 있습니다 이 반지름은 내접원의 반지름이죠 그리고 내접원은 삼각형 안에 있으니까 맞는 말입니다 우리가 세 변의 수직이등분선의 교점에 대해 배웠을 때는 그 점을 외심이라고 불렀습니다 외심은 원에 외접하고 있는 원의 중심이었기 때문입니다 우리는 이제 각의 이등분선에 대해 얘기하고 있습니다 그리고 이를 통해 우리는 삼각형 안에 위치하는 원을 그렸고 삼각형의 세 변과 원이 접한다는 것도 증명했습니다 그리고 이 원이 내접원이기 때문에 세 개의 각이등분선의 교점을 내심이라고 할 수 있고 그리고 이 길이를 내접원의 반지름이라고 할 수 있습니다