직각삼각형의 외심

제가 이 영상을 통해 하고자 하는 것은 직각삼각형의 외심이 빗변의 중점이라는 것을 증명하는 것이고, 그것을 증명하기 위해서 하나의 직각삼각형의 밑변 이외의 변의 수직이등분선을 살펴보겠습니다. 변 BC의 수직이등분선을 작도하겠습니다 그것은 이렇게 생겼을 것입니다. 이렇게요. 이 선은 변 BC와 수직으로 만나고, 그 변을 이등분합니다 그래서, B 에서 이 점까지의 거리, 이 점을 M이라고 합시다 M은 중점(Midpoint)을 나타냅니다 M에서 B까지의 거리는 M에서 C까지의 거리와 같습니다 그래서 이 두 거리는 같아집니다 그리고 이 수직이등분선과 빗변의 교점을 O라고 합시다. 우리는 점O가 이 직각삼각형의 외심임을 증명할 것입니다. 이제, 여러분이 가장 먼저 알 수 있는 것은 우리가 많은 문제에서도 봤듯이 삼각형 OBM이 삼각형 ABC와 닮음이라는 점입니다 그것을 증명하는 것은 그렇게 어렵지 않습니다 두 삼각형 모두 이미 직각을 가지고 있으므로 우리가 다른 한 각만 같다는 것을 보인다면 즉, 다른 쌍의 대응각이 같다는 것을 보인다면 우리는 두 삼각형이 닮음이라는 것을 알 수 있습니다 AA닮음으로 증명하겠습니다 그리고 두 삼각형은 확실히 여기 이 각을 공유하고 있습니다 각 OBC는 작은 삼각형에도 있으며 그보다 큰 삼각형의 각 ABC도 사실 그 각과 같습니다 그리고 둘다 직각을 공유하고 있는 것이 확실하므로 AA닮음에 의해서 삼각형 OBM은 삼각형 ABC와 닮음입니다 닮음이라는 점이 어떻게 사용될까요? 닮음인 삼각형들 사이에는 대응변의 비가 항상 일정합니다 예를 들어, 작은삼각형에 있는 변 BM, 다른 색갈로 표시하겠습니다 우리는 변 BM과 변 BC 사이의 비가 즉, 이 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응변의 비가 두 삼각형이 서로닮음이기때문에 작은 삼각형의 빗변인 BO와 큰삼각형의 빗변 AB 사이의 비와 같을 것입니다 사실 변 BM은 변 BC의 절반이므로 변 BM과 BC의 비는 1/2일 것입니다 점M이 변 BC의 중점이므로 BM과 MC의 길이는 정확히 같습니다 그러므로 이것은 전체 BC의 1/2만큼이 됩니다 1/2가 BM/BC와 같고, 그것은 BO/BA와 같으므로 중간과정을 생략해서 1/2가 BO/BA와 같다는 것만을 나타내고 교차해서 곱해주면(십자 곱셈을 해주면) 사실 여러가지 방법이 있겠지만 단순히 교차해서 곱해주면 BA=2BO로 같다는 식이 나옵니다 또, 양변을 2로 나눠주면 1/2 BA=BO라는 식과도 같습니다 그래서 BO는 1/2 BA입니다 그러므로 여기 있는 AO는 BA에서 1/2BA를 뺀 것 만큼이 될 것입니다 그러므로 이것 역시 1/2BA일 것입니다 그러므로 여기있는 선분 AO는 OB와 같습니다 우리가 방금 보인 것은,먼저 여기 있는 이 수직이등분선, 즉, 변 BC의 수직이등분선이 직각삼각형의 빗변과 그 중점에서 만난다는 것입니다 그러므로 우리는 이미 우리가 이미 보인 한가지 사실은 점 O가 빗변 AB의 중점이라는 것입니다 그것은 그 자체만으로도 흥미롭지만 우리는 어떤 점이 어떤 선분의 수직이등분선 위에 위치해 있다면 그 선분의 양 끝점에서 그 점까지의 거리는 같다는것을 알 수 있습니다 우리는 이 점을 저번 영상에서 보였습니다. 그래서 우리는 또 점 O에서 점 B까지의 거리는 OC의 길이와 같다는 것을 알 수 있습니다 그런데 우리는 전에 보였던 이 문장을 통해서 OB의 길이는 OA의 길이와도 같다는 것을 알 수 있습니다 OB의 길이는 OA와 같으므로 OC의 길이도 반드시 OA와 같아야 한다는 것을 의미합니다 다르게 생각해보자면 점 O에서 삼각형의 각 꼭짓점까지의 거리, 각 꼭짓점까지의 거리는 같습니다. 점 O는 삼각형의 각 꼭짓점과 등거리에 있습니다 그래서 이 거리, 외접원의 반지름이 될 이 거리는 여기 이 거리와도 같고 여기 있는 이 거리와도 같습니다 그래서 우리는 점 O에서 모든 꼭짓점까지의 거리가 같고, 이것을 다른 말로 얘기하자면 점O가 외심이라는 것과 같다는 것이므로 우리는 방금 직각삼각형의 외심이 있다면 그것은 직각삼각형의 빗변의 중점이라는 것을 증명했습니다 돌려 말할 때, 직각삼각형의 빗변의 중점은 삼각형의 외심입니다 왜냐하면 삼각형에서 외심은 하나로 결정되기 때문입니다