가필드의 피타고라스 정리 증명

피타고라스의 정리를 증명하는 방법을 배워 봅시다 피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 1876년에 제임스 가필드라는 사람이 처음으로 발견했다고 알려져 있죠 그는 전문적인 수학자가 아니었습니다 이 사람은 미국의 제 20대 대통령입니다 1880년에 대통령으로 선출되었고 1881년에 대통령이 되었습니다 이 정리에 대한 증명을 하원의원 시절에 해냈습니다 에이브라함 링컨만이 기하학을 연구했던 유일한 대통령이자 정치가가 아니었습니다 가필드 덕분에 우리는 직각삼각형을 만들 수 있게 되었습니다 직각삼각형을 그려 볼게요 여기 있는 이 변의 길이를 b라고 하고 이 변의 길이는 a라고 합시다 그리고 이 직각삼각형에서 가장 긴 변은 c라고 해보죠 여기에 직각을 표시해서 직각삼각형이라는 것을 나타내 볼게요 이 삼각형을 뒤집고 돌려서 이 삼각형과 합동이 되는 다른 삼각형을 만들 수 있어요 한번 해 봅시다 a와 동일 선상에 놓이도록 변 b를 그려 볼게요 겹치지 않게 그립니다 여기는 b가 됩니다 조금 더 길게 그려 볼게요 그리고 변 a를 그릴게요 직각도 그려 줍니다 그리고 변 c도 그려 줍니다 먼저 이 두 변 사이의 각의 크기를 생각해 봅시다 이 각의 크기는 얼마일까요? 증명할 수 있는지 살펴봅시다 처음 삼각형에서 이 각을 θ라고 해 봅시다 그렇다면 변 a와 c 사이에 있는 이 각의 크기는 얼마일까요? θ에 이 각을 더하면 90도가 되겠죠? 삼각형의 내각의 합은 180도가 되어야 하는데 다른 한 각이 직각이므로 θ와 이 각의 합이 90도가 되어야 합니다 이 두 각의 합이 90도이므로 이 각의 크기는 (90 - θ)도가 되겠네요 위에 그려준 삼각형은 아래 삼각형과 합동입니다 그러므로 이 각과 대응하는 이 각의 크기도 θ입니다 그리고 이 각은 (90 - θ)도가 되겠죠 이 각은 θ이고 이 각은 90 - θ입니다 구하려는 각의 크기는 얼마일까요? 이 세 각을 모두 더하면 180도가 되죠? 그러므로 θ와 (90 - θ)와 구하려는 각의 크기를 합하면 180도가 됩니다 여기서 θ는 소거되겠죠 그러면 식은 90 + 구하려는 각 = 180도가 됩니다 양변에서 90을 빼주면 구하려는 각의 크기가 90도라는 것을 알 수 있어요 답을 구했습니다 구한 각을 그림에 표시해 볼게요 따라서 이 각은 90도 즉, 직각입니다 이제 사다리꼴을 한번 만들어 보겠습니다 변 a와 아래의 변 b는 평행하죠 그리고 여기도 쭉 이어진 한 변이 됩니다 이제 여기 있는 두 변을 연결해 봅시다 이렇게 만들어진 사다리꼴의 넓이를 생각하는 방법은 여러 가지입니다 첫 번째 방법은 이 사다리꼴의 넓이를 전체 넓이로 생각하는 것이고 두 번째 방법은 사다리꼴의 넓이를 각 도형의 넓이의 합이라고 생각하는 것입니다 먼저 사다리꼴 전체의 넓이로 생각해 봅시다 사다리꼴의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까요? 사다리꼴의 넓이는 사다리꼴의 높이인 변 (a + b)를 윗변과 아랫변의 평균에 곱해서 구할 수 있습니다 따라서 사다리꼴의 넓이는 (a + b) × 1/2(a + b)입니다 윗변과 아랫변의 평균에 높이를 곱하면 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있습니다 이번에는 각 도형의 넓이를 이용해 봅시다 첫 번째 방법으로 구한 식과 같아야겠죠 두 번째 방법으로 사다리꼴의 넓이를 구해 봅시다 그림에서 직각삼각형 두 개를 찾을 수 있죠? 직각삼각형의 넓이는 각각 1/2 × ab가 될 것입니다 이런 직각삼각형이 두 개 있으므로 여기에 2를 곱해야 되겠죠 1/2 × ab에 2를 곱하면 아래쪽 삼각형과 위쪽 삼각형의 넓이의 합이 됩니다 큰 삼각형의 넓이는 얼마일까요? 초록색으로 칠해 볼게요 1/2 × c × c겠죠? 이는 1/2 × c²으로 쓸 수 있으므로 식은 2 × 1/2 × ab × 1/2 × c²이 되겠네요 식을 간단하게 정리해서 맞는지 확인해 봅시다 식을 보기 쉽게 다시 써 볼게요 식의 좌변을 정리하면 1/2 × (a+b)²이 되고 식의 우변은 2 × 1/2 × ab에서 2가 약분되므로 그냥 ab가 되겠죠 따라서 우변은 ab + 1/2 × c²이 됩니다 양변에 2를 곱해서 1/2을 없애 봅시다 양변에 2를 곱해주면 좌변에는 (a+b)²이 남게 되고 우변에서 2를 분배해주면 ab는 2ab가 되고 1/2 × c²의 2는 약분됩니다 따라서 우변의 식은 2ab + c²이 됩니다 좌변의 (a+b)²을 계산하면 어떻게 될까요? a² + 2ab + b²이 되겠죠 식의 우변은 변한게 없으므로 그대로 써주면 되겠죠 복사해서 붙여 넣어 볼게요 따라서 식은 a² + 2ab + b² = 2ab + c²이 됩니다 식을 간단히 해 볼까요? 양변에 모두 2ab가 있으므로 양변에서 2ab를 빼 봅시다 식의 양변에서 2ab를 빼주면 어떻게 될까요? 피타고라스의 정리가 남게 됩니다 a² + b² = c² 재미있죠? 미국의 20대 대통령 제임스 가필드 덕분에 피타고라스의 정리를 이렇게 증명해 보았습니다 정말 흥미롭지 않나요? 피타고라스의 정리는 제임스 가필드가 이를 증명하기 전에도 수천 년 동안 존재했었습니다 이를 제임스 가필드가 증명해낸거죠