증명: 평행사변형의 마주 보는 변

이번 영상에서 증명할 내용은 평행사변형과 직접적으로 관련이 있는데요 여기 있는 첫번째 평행사변형을 보자면 "야, 평행사변형 ABCD가 있을때, 반대편도 같은 길이를 가지고 있다는 것을 증명해보자."라고 하는 거죠 변 AB의 길이가 변 DC의 길이와 같고 변 AD의 길이가 변BC의 길이와 같다는 것을 증명하는거죠 자, 여기 대각선을 그려봅시다 대각선을 그리고, 이 대각선은, 여기 이 두 평행선을 어떻게 교차한다고 보는지에 따라 다르긴 하겠지만 횡단선이라고 생각해 봅시다 그 전에, 좀 더 깔끔하게 그려보도록 할게요 이것보다 이렇게 그리면 되겠군요 이 마름모를 봤을때 이 대각선 DB를 우리는 평행선 AB와 DC의 횡단선이라고 볼 수 있습니다 횡단선이라고 했을 때 이 각 ABD는 즉, 여기에 있는 각 ABD는 여기에 있는 각 BDC와 합동이라고 할수 있겠죠 이 둘은 엇각이니까요 이제 횡단선과 두 평행선이 있을때 우리는 각 ABD는 각 BDC와 합동이라는 것을 알게 되었습니다 이제 여러분은 여기에 있는 이 대각선 DB를 다른 두 평행선 AD와 BC의 횡단선으로 볼수도 있는데요 만약 여러분이 이 선을 그렇게 여긴다면 여기에 있는 각 DBC와 각 ADB가 아까와 똑같은 이유로, 즉 두 평행선의 횡단선의 엇각이라는 것을 눈치 챌수 있습니다 이것을 써서 나타내면 두 평행선과 이것의 횡단선이 있을 때 이 각은 내부 엇각이라는 것을 알 수 있습니다 또한 여기에 있는 이 두개의 삼각형 삼각형 ADB와 삼각형 CDB는 이 변을 공유하고 있습니다 이것이 같다는 건 명확한 사실이고요 그렇다면 이게 왜 유용한지 알아봅시다 자, 지금쯤 여러분들인 우리가 그간 이 두개의 삼각형이 모두 이 분홍색으로 칠해진 각과 이 변을 공통적으로 가지고 있다는 것과 이 초록색으로 칠해진 각과, 분홍색으로 칠한 이 각과 여기의 이 변, 마지막으로 초록색 각을 공통으로 가지고 있다는 것을 보여주려고 했다는 것을 눈치 챘을 겁니다 결국 우리는 각-변-각의 조합으로 이 두 삼각형이 서로 합동이라는 것을 알아낸거죠 한 번 적어볼까요 우리는, 표시되지 않은것에서 분홍색, 초록색을 따라가보면, 삼각형ABD는 마찬가지로 표시되지 않은것에서 분홍색, 초록색을 따라가면, 삼각형CBD와 합동임을 알 수 있죠 이것으 각-변-각 합동입니다 따라서 이것은 각-변-각 합동으로부터 나온 것입니다 이것이 어떤 쓰임이 있을까요 두 개의 삼각형이 합동이라면 두 삼각형과 연관되는 모든 특징들 또한 같을 것입니다 예를 들어, 아랫쪽 삼각형의 변 DC는 위쪽 삼각형의 변 BA와 일치합니다 위쪽 삼각형의 변 BA와 일치합니다 따라서, 그들은 합동이어야 합니다 그래서, 변DC는 변BA와 같을 것으며 이것은 그들이 합동하는 두 삼각형의 대응하는 변이기 때문입니다 그러므로, 이것은 저것과 같을 것이며 그 논리에 따라서 AD는 CB와 같을 것입니다 AD는 바로 그 이유에서 CB와 같습니다 합동인 삼각형의 서로 대응하는 변이라는 점에서죠 그리고 이제 끝났습니다! 우리는 마주보고 있는 변이 합동이라는 것을 증명했습니다 이제, 다른 것도 살펴보죠 우리가 사각형을 가지고 있다고 가정해보죠 마주보는 변이 합동이라는 것을 우리는 이제 압니다 이것이 평행사변형임을 증명할 수 있을까요 똑같은 증명을 거꾸로 하면 됩니다 대각선을 여기다 그리고, 삼각형에 대해 많은 것을 아니까요 한 번 그려보죠 됬습니다 가장 어려운 부분이었습니다 이제 됬군요 좋아요 이제, 우리는 명백히 CB가 그 자신과 같을 것이라는 것을 압니다 그것처럼 그려보겠습니다 그것이 같은 선이니까 물론 같겠죠 이제 흥미로운 것을 발견할 수 있습니다 우리는 방금 이 사각형을 두 개의 삼각형, 삼각형 ACB와 삼각형 DBC로 나누었습니다 그리고 이 두 삼각형의 모든 세 개의 변들이 각각 같다는 것을 알아차리세요 따라서, 변-변-변 합동에 의해 그들이 합동이라는것을 알 수 있습니다 이제, 우리는 삼각형 A부터 시작해서 삼각형 ACB가 삼각형 DBC와 합동 이라는 것을 알 수 잇죠 이것은 변-변-변 합동에 의해서 입니다 이것이 우리에게 무엇을 해줄까요 이것은 모든 대응되는 각들이 합동일 것이라는 것을 의미합니다 그래서 예를 들어 각ABC는, 표시를 해보자면 각DCB와 같을 것입니다 각 D C B 여러분들은 이제 합동인 삼각형의 각들이 대응한다는 것을 알 수 있습니다 시간을 줄이기 위해 간략하게 썼습니다 그래서, 각ABC는 각 DCB와 같을 것이며 이 두 각들은 합동입니다 이것이 흥미로운 이유는 여러분이 보는 긴 선이 변 AB와 변 CD를 교차하고 이것을 통해 이 둘이 엇각일 수 있다는 것을, 엇각이면서 같다는 것을 알 수 있기 때문이죠 그리고 우리가 한 쌍의 엇각을 통해 변 AB가 변 CD와 평행할 것을 알 수도 있죠 이것이 저것과 평행입니다 우리는 엇각을 통해 AB와 CD가 평행한다는 것을 알 수 있습니다 교차하는 평행선들이 보일 것입니다 그 논리를 그대로 가져와서 각ACB가 각DBC와 같을 것임을 알 수 있습니다 합동인 삼각형의 합동인 각들을 대응시킴으로써 알 수 있죠 이 각이 저 각과 같다는 것을 의미합니다 다시 한 번 이 둘은 엇각이 될 수 있군요 교차하는 선과 평행하는지 확신 할 수 없는 두 개의 선이지만 엇각이 같기 때문에 이들이 평행한다는 것을 알 수 있습니다 이것이 저것과 평행한 것이지요 우리는 AC가 BD와 평행하는 것을 엇각을 통해 알 수 있습니다 이제 끝낫습니다! 우리가 지금까지 한 것은 흥미롭습니다 우리는 평행사변형에서 대응하는 변들이 같은 길이를 가진다는 것, 또한 대응하는 변이 같은 길이를 가진다면 평행사변형이라는 것을 알게 되었습니다 우리는 실제로 두 방향 모두에서 증명했으며 따라서 우리는 그것을 통해 실제로 명제를 하나 만들 수 있습니다 사각형의 대응하는 변이 평행일때 사각형의 대응하는 변이 평행일때 그들의 길이가 같아야만 한다는 것이죠 그 명제를 통해 대응하는 변이 평행이면 그들의 길이가 같다는 것 그리고 그들의 길이가 같아야만 그들이 평행하다는 것을 알 수 있습니다 두 가지 방법으로 증명을 해냈습니다