연립방정식의 해의 개수 구하기

다음 연립일차방정식의 해는 몇 개일까요? 해를 구하는 방법은 여러 가지입니다 한 가지 방법은 그래프를 이용하는 방법입니다 두 그래프가 일치하면 해가 무수히 많으며 두 그래프가 평행하면 해가 없겠죠 두 그래프가 한 점에서 만나면 해는 오직 하나가 될 거예요 이번에는 대수적 추론을 이용해 볼 거예요 먼저 연립방정식을 풀어서 어떻게 되는지 살펴봅시다 첫 번째 방정식을 그대로 가져와 볼게요 5x - 9y = 16 두 번째 방정식을 보면 x항을 소거할 수 있겠네요 두 번째 방정식에 -1을 곱하면 x항의 계수가 -5가 돼서 x항끼리 소거할 수 있습니다 두 번째 방정식에 -1을 곱하면 -5x + 9y = -36이 될 것입니다 이제 식의 좌변과 우변을 더해 새로운 식을 만들어 볼까요? 5x - 5x = 0이고 -9y + 9y = 0입니다 그러므로 좌변의 값은 0이 되겠죠 우변을 계산하면 16 - 36 = -20입니다 계산을 했더니 0 = -20이라는 이상한 식이 되었네요 이 식은 성립할까요? 0 = -20을 만족하는 x, y값이 있을까요? 0은 절대로 -20과 같은 값이 될 수 없습니다 그러므로 0 = -20이 성립하는 x, y값은 존재하지 않습니다 식에서도 x, y값이 소거되어 사라졌습니다 어떠한 경우에도 이 식은 성립할 수 없어요 따라서 이 방정식의 해는 없습니다(No solutions) 두 식을 그래프로 그려보면 서로 평행한다는 것을 확인할 수 있을 거예요 기울기는 같지만 y절편이 다르죠 두 그래프는 평행하기 때문에 교차점이 없어요 다음 문제를 풀어 보겠습니다 다음 연립일차방정식의 해는 몇 개일까요? 아까와 같은 방법으로 첫 번째 방정식을 그대로 가져올게요 -6x + 4y = 2 두 번째 방정식을 이용해 x항을 소거해 봅시다 첫 번째 식의 x항의 계수가 -6이므로 두 번째 식의 x항에 2를 곱하면 x항의 계수가 6이 되겠죠 두 번째 방정식에 2를 곱해 볼까요? 6x - 4y = -2 이제 좌변과 우변을 각각 더해 봅시다 -6x + 6x = 0이고 4y - 4y = 0입니다 그러므로 식의 좌변은 0이 됩니다 우변을 계산해보면 2 - 2 = 0이 되네요 아까 식과 조금 다른 식이 나왔죠 첫 번째 문제에서는 0 = -20이라는 식이 나왔고 이번에는 0 = 0이라는 식이 나왔습니다 x, y가 모두 소거되었을 때 0 = 0을 만족하는 x, y값이 있을까요? 이 식은 x, y값에 상관없이 항상 성립할 것 입니다 x, y값은 더이상 이 식에 영향을 미치지 못합니다 0은 항상 0과 같은 값이 될 것 입니다 따라서 이 식의 해는 무수히 많을 것입니다(Infinitely many solutions) 두 방정식은 같은 방정식이기 때문입니다 계수가 변형되었을 뿐이에요 만약 두 번째 식에 -2를 곱하면 첫 번째 식과 같아질 거예요 따라서 두 방정식의 그래프는 같으며 무수히 많은 해를 가집니다 다음 문제를 봅시다 다음 연립일차방정식의 해를 구하는 과정에서 이반은 몇 단계의 과정을 거쳐 -5 = 20이라는 식을 구했습니다 이 연립방정식의 해는 몇 개일까요? 이 문제는 답을 바로 알 수 있죠? 이반이 구한 -5 = 20이라는 식은 성립하지 않기 때문에 이 연립방정식은 해가 없습니다 두 방정식을 그래프로 그리면 평행한다는 것을 알 수 있을 거예요 두 그래프 사이에 교점이 하나도 없기 때문에 두 방정식을 모두 만족하는 해가 없는 것입니다 다음 문제를 풀어 봅시다 다음 연립일차방정식의 해를 구하는 과정에서 알버스는 몇 단계의 과정을 거쳐 5y = -5라는 식을 구했습니다 이 연립방정식의 해는 몇 개일까요? 5y = -5의 양변을 5로 나누면 y = -1이라는 것을 알 수 있습니다 이 값을 첫 번째 방정식에 대입해보면 y항의 계수는 2가 되며 식의 양변에서 2를 빼주면 5x = 4가 됩니다 따라서 x = 4/5입니다 y = -1을 두 번째 방정식에 대입하면 5x - 3 = 1이 되고 양변에 3을 더해주면 5x = 4가 됩니다 따라서 x = 4/5입니다 그러므로 해는 오직 한 개입니다 (Exactly one solution) x는 4/5이며 y는 -1입니다 한 문제 더 풀어 봅시다 다음 연립일차방정식의 해를 구하는 과정에서 레본은 몇 단계의 과정을 거쳐 0 = 0이라는 식을 구했습니다 여기 있는 식들은 볼 필요가 없겠죠? 어떤 수를 대입해도 0 = 0은 항상 성립하기 때문이에요 따라서 이 연립방정식의 해는 무수히 많을 것 입니다