기울기와 한 점의 좌표를 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란?

여기 노란색으로 그린 것은 직선입니다 자, 우리가 이 직선에 대해 두가지를 알고있다고 가정해봅시다 우리는 이 직선의 기울기가 m이라는 것과 그리고 점 a,b가 이 직선 위에 있다는 것을 알고 있습니다 여기서 우리가 풀어볼 문제는 우리가 알고 있는 두 정보를 이용하여 이 직선의 방정식을 구하는 것 입니다 자, 한번 해볼가요? (x,y) 같은 어떤 점이든, 이 선에 있는 점들은 조건을 만족시켜야 합니다 점 사이에 있는 기울기-- 이 곳을 (x,y)라고 해봅시다 좌표 x,y는 이 선 위의 임의의 점이에요 그리고 점이 이 직선 위에 있다고 한다면, (a, b) 그리고 (x, y) 사이의 기울기는 반드시 m이 되어야 합니다 위의 내용을 바탕으로 방정식을 세워볼까요? (a, b)와 (x, y) 사이의 기울기는 뭘까요? 기울기가 x의 변화량 분의 y의 변화량이라는 것을 떠올려 보세요 제가 써볼게요. 기울기는 x의 변화량 분의 y의 변화량입니다. 이 삼각형은 델타라는 그리스 문자에요 변화량을 나타내는 기호죠 y의 변화량을 살펴 볼까요? 만약 y좌표가 b가 시작점이고 여기 임의의 y값을 끝점이라고 한다면, 바로 이 y의 변화량은 (y-b)가 되죠 그래프에 쓴 것과 같은 색깔로 써볼게요 y-b는 분자인 x의 변화량 위에 쓰여지죠 같은 방식으로, a를 x의 시작점으로 잡을게요 우리는 x의 값을 여기 무작위로 정한 x값까지로 합니다 x값은 어디든 상관없어요 그래서 x의 변화량은 이 끝점인 x와 시작점인 a를 뺀 x-a가 됩니다 이 기울기가 여기 두 점들 사이의 기울기라는 것을 알고있죠? 선 위의 어느 두 점을 잡든, 두 점 사이의 기울기는 항상 같죠 그래서 이 기울기의 값은 m과 같습니다 그래서 이것은 m과 같습니다 여기서 우리는 이미 이 직선을 묘사하는 방정식을 세웠습니다 익숙한 형태는 아니죠? 하지만 이 방정식이 직선의 기울기를 나타냅니다 이 방정식을 만족하는 모든 x, y는 선 위에 있을 겁니다 왜냐하면 이 식을 만족하는 임의의 점인 (x, y)와 이 좌표 (a,b)의 기울기는 m이 되기 때문이죠 자, 그럼 이걸 다른 형식으로 바꿔볼까요? 알기 쉽게 말이죠. 식을 복사해서 붙일게요. 이 표현을 쉽게 바꿔봅시다 분모인 x-a를 없애는 것으로 말이죠 우변과 좌변에 x-a를 곱해봅시다 양변에 모두 x-a를 곱하는 거에요 이렇게 좌변에 x-a를 곱하고 오른쪽에도 x-a를 곱해봅시다 소괄호를 쳐볼게요 자, (x-a)를 양변에 곱했습니다 좌변을 보면 (x-a)가 (x-a)로 나뉘었죠? 같은 값끼리 나뉘었으니까 좌변은 1이 됩니다 그리고 우변은 m 곱하기 (x-a) 입니다 즉 이렇게 간단하게 바뀐거죠 y-b=m(x-a)로 말이죠 이 식은 수학자들이 점-기울기 꼴의 식이라고 분류한 것 입니다 그래서 이 식은 이 직선에 대해 알려주는 점-기울기 형태의 방정식이죠 왜 이 식을 점-기울기 형태라고 할까요? 확인해보는 것은 매우 쉽습니다 봅시다, 초록색으로 쓴 m은 직선의 기울기에요 이게 직선의 기울기죠 그리고 여기에 두 점을 써볼게요 만약 점(a, b)가 이 선 위에 있다면, '기울기m 곱하기 (x-a)는 (y-b)와 같다' 라는 식이 나옵니다 이제, 왜 이 식이 유용한 식이고 왜 사람들이 이 식을 선호하는지 알아봅시다 이번에는 (a, b) 그리고 기울기 m을 사용하지 않을게요 대신 좀 더 정확하게 써보겠습니다. 임의의 직선에 대하여 가정해봅시다 기울기가 2이고 (-7,5)를 지난다고 가정해봅시다 빠르게 이 정보와 점-기울기 형태에 대한 정보를 이용해 볼까요? 이 것을 이와 같은 식으로 나타내기 위해서요 이렇게 생각할 수 있습니다 점(-7,5)를 포함하고 기울기가 2인 방정식이라면 좌변 y-b는 y-5가 되겠죠 5가 이 직선 위의 좌표니까요 그래서 y-5는 기울기인 2 곱하기 (x-a)가 됩니다 a자리에는 직선 위의 점인 -7이 들어가면 되죠 즉 x- -7이 됩니다 이처럼 기울기가 2이고 이 점을 포함하는 방정식을 완성했습니다 그리고 x- -7라고 쓴게 싫다면 x+7로 바꿔쓰면 됩니다 하지만 이 것이 점-기울기 꼴의 식의 원리를 가장 잘 알려주는 형태입니다 좀 더 쉽게 바꾸고 싶다면, y-5=2 곱하기 (x+7)로 쓸수 있습니다 또한 이 식의 형태 뿐만 아니라. 이 선에 대한 다른 형태의 방정식들도 있습니다 그 중에서 우리에게 가장 익숙한 식은 y= ax + b 꼴일 겁니다. 이 식도 쉽게 y= ax + b 꼴로 바꿀 수 있어요 자, 2를 분배해줍시다 y-5= (2 곱하기 2) + (2 곱하기 7)가 되죠 2 곱하기 7은 14죠 그리고 양변에 5를 더해서 좌변의 -5를 없애봅시다 그러면 좌변에는 y, 우변에는 2x+19가 남게 되죠? 자, 그래서 이 식은 기울기-절편 꼴의 식이 됩니다 (y=ax+b 꼴의 식) 여기 기울기와 y절편이 있죠? 그래서 이것이 기울기-절편 꼴의 식이고 이 위의 것이 점-기울기 형태의 식이 됩니다