기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식에 관한 문제

이번 강의에서는 연습문제를 통해 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 식을 공부해 봅시다 다시 말하지만 직선의 방정식은 y = mx + b 형태로 되어 있습니다 m은 기울기이고 b는 y절편을 의미합니다 그럼 이제 문제를 풀어 볼까요? 문제를 보면 직선의 기울기가 -5네요 따라서 m = -5입니다 그리고 y절편은 6이므로 b = 6입니다 이 문제는 쉽네요 이 직선의 방정식은 y = -5x + 6입니다 어렵지 않은 문제입니다 다음 문제도 풀어 봅시다 이 선은 기울기가 -1이고 (4/5, 0)을 지납니다 기울기가 -1이므로 m = -1이라는 것을 알 수 있습니다 하지만 y절편은 아직 알 수 없습니다 이 직선은 기울기가 -1인 y = -1x + b 형태이며 b는 y절편을 의미합니다 이제 이 좌표가 직선 위에 있다는 사실을 이용해서 b를 구해 봅시다 직선이 이 좌표를 지나므로 x = 4/5와 y = 0을 대입했을 때 이 방정식을 만족시켜야 합니다 각 값을 대입해 봅시다 x = 4/5일 때 y = 0입니다 따라서 0 = -1 · (4/5) + b입니다 조금 내릴게요 이를 정리하면 0 = -4/5 + b입니다 양변에 4/5를 더합니다 좌변에 4/5를 더하고 우변에도 마찬가지로 4/5를 더합니다 -4/5를 없애기 위해 4/5를 더해주는 거예요 그럼 b = 4/5가 됩니다 두 번째 직선의 방정식도 구했습니다 -1 · x = -x이므로 y = -x + b이고 b = 4/5이므로 y = -x + 4/5가 됩니다 다음 문제를 봅시다 이 직선은 (2, 6)과 (5, 0)을 지납니다 기울기와 y절편이 주어지지 않았지만 좌표를 이용해서 이를 구할 수 있습니다 먼저 기울기를 구해 봅시다 기울기 m은 (y값의 변화량) / (x값의 변화량)입니다 여기서 y값의 변화량은 무엇일까요? (2, 6)에서 시작하면 y값의 변화량은 6 - 0이 되겠죠 구분하기 쉽도록 색을 다르게 해 볼게요 이것이 y값의 변화량입니다 x값의 변화량은 2 - 5입니다 이렇게 이 좌표의 y값을 먼저 썼을 때 이 좌표의 x값도 먼저 써 줘야 합니다 그러면 이 좌표는 (2, 6)이고 이 좌표는 (5, 0)이라는 것을 한눈에 볼 수 있기 때문이죠 분모에서 2와 5의 순서를 바꾸면 답이 다르게 나올 거예요 계산해 볼까요? 6 - 0 = 6이고 2 - 5 = -3입니다 -6/3이므로 간단히 하면 -2와 같습니다 기울기를 구했으므로 직선의 방정식을 써 봅시다 y = -2x + b 이제 아까와 같은 방법으로 좌표들 중 하나를 이용해서 b를 구해 봅시다 두 점이 모두 직선 위에 있기 때문에 두 점 모두 이 방정식을 만족합니다 0이 있으면 계산하기 쉬우니까 (5, 0)을 이용해 봅시다 (5, 0)을 대입해 봅시다 x = 5일 때, y = 0이죠 대입해 보면 0 = (-2) · 5 + b가 됩니다 간단히 하면 0 = -10 + b이 되고 이 방정식 양변에 10을 더해주면 우변의 10은 소거되어 b = 10이 됩니다 따라서 b는 10입니다 직선의 방정식을 구했습니다 y = -2x +10 끝났습니다 한 문제 더 풀어 봅시다 이 직선은 (3, 5)와 (-3, 0)을 지납니다 먼저 기울기를 구해 봅시다 기울기(Slope)는 m이라고 합시다 기울기는 x값의 변화에 대한 y값의 변화를 나타냅니다 즉 y값의 변화량을 x값의 변화량으로 나눈 것과 같죠 이것은 모두 같은 의미예요 (y값의 변화량) / (x값의 변화량)을 구해 봅시다 이번에는 (-3, 0)부터 시작합시다 어느 점에서 시작하든 상관 없어요 x값의 변화량은 0 - 5입니다 (-3, 0)을 시작점으로 두고 (3, 5)를 끝점으로 두었어요 이를 쓸 때 분자에는 x값이 아닌 y값을 써줘야 합니다 좌표의 두 번째에 있는 수의 차를 써야 하죠 분모는 -3 - 3입니다 이것은 좌표 (-3, 0)이고 이것은 좌표 (3, 5)입니다 계산해 봅시다 0 - 5 = -5이고 -3 - 3 = -6이 됩니다 음수끼리 소거되어서 답은 5/6가 됩니다 그러면 방정식은 y = 5/6x + b가 됩니다 이제 좌표들 중 하나를 이용해 b를 구해 봅시다 (-3, 0)을 대입해 볼까요? 0 = 5/6(-3) + b x에는 -3을 대입하고 y에는 0을 대입했습니다 이 점은 직선 위에 있으며 직선의 방정식을 만족시킵니다 b의 값을 구해 봅시다 6과 -3은 약분되니 -3은 -1이 되고 6은 2가 됩니다 따라서 방정식은 0 = -5/2 + b가 됩니다 양변에 5/2를 더합니다 보기 쉽게 써 볼게요 따라서 식은 5/2 = b가 됩니다 b는 5/2입니다 따라서 직선의 방정식은 y = 5/6x + 5/2입니다 끝났습니다 다른 문제를 풀어 봅시다 그래프를 보고 직선의 방정식을 구해 봅시다 기울기는 (y값의 변화량)/(x값의 변화량)입니다 x축 방향으로 1만큼 움직이면 x값의 변화량은 1입니다 이때 y값의 변화량은 무엇일까요? y는 정확히 4만큼 올라갑니다 x값의 변화량이 1일 때 y값의 변화량은 4입니다 그래서 (y값의 변화량) / (x값의 변화량)은 4/1이므로 기울기는 4입니다 y절편은 무엇일까요? 그래프를 봅시다 y축과 만나는 점은 -6이죠 정확히는 (0,-6)에서 만납니다 따라서 b는 -6입니다 이제 직선의 방정식을 구해 볼까요? 기울기는 4이고 y절편은 -6이므로 y = 4x + (-6) 즉, y = 4x - 6입니다 이것이 이 직선의 방정식입니다 한 문제 더 풀어 봅시다 f(1.5) = -3과 f(-1) = 2는 무슨 의미일까요? 이 표현은 어떤 함수에서 x가 1.5일 때 그 함수의 값 f(x)가 -3이라는 것을 의미합니다 그러므로 좌표 (1.5, -3)은 이 직선 위에 있습니다 이것은 x가 -1일 때 f(x)는 2라는 것을 의미하므로 좌표 (-1, 2) 역시 직선 상에 있습니다 이렇게 표기한 이유는 함수 표현에 익숙해지도록 하기 위해서입니다 함수식에 1.5를 대입하면 -3이 나옵니다 좌표의 y값은 f(x)와 같으므로 x가 1.5일 때 y값은 -3이 됩니다 이제 직선의 기울기를 구해 봅시다 기울기는 (y값의 변화량) / (x값의 변화량)입니다 (-1, 2)를 시작점으로 잡겠습니다 y값의 변화량은 2 - (-3)이고 x값의 변화량은 -1 - 1.5입니다 같은 좌표에서 가져온 수는 같은 색으로 표시했습니다 만약 노란색 좌표를 먼저 썼다면 x와 y 둘 다 노란색 좌표를 먼저 써야 합니다 다시 돌아와서 2 - (-3)은 2 + 3과 같으므로 5가 됩니다 -1 - 1.5 = -2.5입니다 5를 2.5로 나누면 2가 되므로 기울기는 -2가 됩니다 어떤 좌표에서 시작하든지 기울기는 같습니다 이번에는 (1.5, -3)을 시작점으로 잡고 계산해 봅시다 (-3 - 2) / (1.5 - (-1))을 계산하면 같은 답이 나와야 합니다 계산해 볼까요? -3 - 2 = -5 1.5 - (-1) = 1.5 + 1 = 2.5 -5/2.5이므로 결국 -2가 나옵니다 어떤 좌표를 먼저 하든 순서를 잘 맞춰서 계산하면 기울기는 똑같이 나옵니다 시작점의 x좌표, y좌표와 끝점의 x좌표, y좌표의 순서를 잘 지켜줘야 합니다 어쨌든 기울기가 -2라는 사실을 구했습니다 이 직선의 방정식은 y = -2x + b y절편을 구해 봅시다 두 좌표 중 소수가 없는 좌표를 이용해 봅시다 좌표 (-1, 2)를 보면 x = -1일 때, y = 2이므로 2 = -2(-1) + b입니다 정리하면 2 = 2 + b입니다 양변에서 2를 빼 봅시다 양변에서 2를 빼면 좌변은 0이 되고 우변은 b가 남습니다 따라서 b는 0입니다 이 직선의 방정식은 y = -2x입니다 이 방정식을 함수식으로 쓰면 f(x) = -2x가 되겠죠 y = f(x)이기 때문입니다 이것이 진짜 직선의 방정식입니다 바로 f(x) = -2x라고 쓸 수 있죠 이 좌표들은 각각 x와 f(x)의 값을 나타냅니다 그러므로 기울기를 Δf(x)/Δx로 쓸 수도 있습니다 표기 방법은 다르지만 나타내는 것은 같습니다