가감법을 이용하여 연립방정식 풀기: x-4y=-18 과 -x+3y=11

여기 두 개의 방정식이 있습니다 첫 번째 방정식은 x - 4y = -18이고 두 번째 방정식은 -x + 3y = 11입니다 두 방정식을 모두 만족시키는 x와 y를 찾아 봅시다 이것이 바로 연립방정식을 푸는 것입니다 첫 번째 방정식을 만족시키는 x, y쌍은 아주 많습니다 그래프로 나타내면 직선이 되겠죠 두 번째 방정식을 만족시키는 x, y쌍도 아주 많아요 역시 그래프로 그리면 직선이 됩니다 두 식을 모두 만족시키는 x, y쌍은 두 직선의 교차점이 될 거예요 찾아 볼까요? 먼저 첫 번째 방정식을 다시 써 봅시다 x - 4y = -18 이전에 배웠듯이 양변에 같은 것을 더하거나 빼면 식은 계속 성립합니다 식에 있는 두 변수 중 한 개를 줄이려면 어떻게 해야 할까요? 두 번째 방정식의 -x + 3y를 식의 좌변에 더해 봅시다 -x + 3y 계산하면 x와 -x는 서로 소거되겠죠 따라서 좌변에는 -4y + 3y = -y만 남습니다 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식에 더했더니 x와 -x가 소거되어 -y만 남게 되었어요 그러면 우변에는 무엇을 더해줘야 할까요? 양변에 같은 것을 더해야 한다고 했죠? 양변에 같은 것을 더해야 하니까 우변에도 -x + 3y를 더한다고 생각할 수도 있어요 하지만 그러면 우변이 -18 - x + 3y가 되기 때문에 도움이 되지 않습니다 방정식의 오른쪽에 x가 다시 생기게 되죠 그러면 -x + 3y와 값은 같지만 변수 x가 없는 값을 더해주면 어떻게 될까요? -x + 3y와 같은 값은 11입니다 두 번째 방정식을 보면 알 수 있죠 따라서 우변에 11을 더해주면 양변에 같은 값을 더한 것이 됩니다 좌변에는 -x + 3y를 더해줬지만 두 번째 방정식에 따르면 -x + 3y는 11과 같으므로 우변에는 11을 더해줘야 합니다 다시 말하지만 이 값은 -x + 3y와 같아요 따라서 우변은 -18 + 11 = -7입니다 방정식의 양변에 같은 값을 더했으므로 방정식은 계속 성립하며 식은 -y = -7이 됩니다 이 식의 양변을 -1로 나누거나 양변에 -1을 곱할 수도 있죠 양변에 -1을 곱하면 y = 7을 얻을 수 있어요 두 방정식을 모두 만족시키는 x, y쌍 중 y값을 구했습니다 x는 어떻게 구할 수 있을까요? 여기 두 방정식 중 하나에 y = 7을 대입해 봅시다 어떤 방정식을 사용하든 y = 7일 때의 x값은 같을 거예요 첫 번째 방정식에 y에 7을 대입해 봅시다 x - 4(7) y가 7일 때의 x값을 찾아야 하기 때문이죠 그러므로 식은 x - 4(7) = -18이 됩니다 4 · 7 = 28이죠 좌변에 x만 남기기 위해 양변에 28을 더해 봅시다 양변에 28을 더하면 좌변은 28이 소거되고 x만 남습니다 우변을 계산하면 -18 + 28 = 10이 되죠 이렇게 두 방정식을 만족하는 x, y쌍을 구했습니다 x = 10이고 y = 7이죠 여기에 적어 볼게요 이 값을 좌표처럼 적으면 (10, 7)이 되겠죠 두 번째 방정식에서도 마찬가지로 y에 7을 대입하면 x = 10이 나올 거예요 어떤 방정식을 사용하든지 x = 10이 나옵니다 이 과정을 그림으로 나타내 볼게요 먼저 좌표평면을 그려 볼게요 여기가 y축이고 여기가 x축입니다 첫 번째 방정식을 그려보면 이렇게 생겼을 거예요 두 번째 방정식을 그려보면 이렇게 생겼을 것입니다 두 직선의 교차점이 보이시나요? 이 교차점이 두 방정식을 모두 만족시키는 x, y쌍입니다 이 교차점의 좌표는 아까 구했듯이 x = 10이고 y = 7이 되겠죠 하얀색 직선은 첫 번째 방정식을 만족시키는 모든 x, y쌍이고 주황색 직선은 두 번째 방정식을 만족시키는 모든 x, y쌍입니다 그러므로 두 직선의 교차점은 두 방정식을 모두 만족시키죠 따라서 x = 10, y = 7은 두 방정식을 모두 만족시킵니다