순환소수를 분수로 바꾸기 2

이전 강의에서는 순환마디가 한 자리인 순환소수를 분수로 바꿔 보았습니다 이번 강의에서는 순환마디가 여러 자리인 순환소수 문제를 풀어 볼 거예요 순환소수 0.36이 있습니다 3과 6 위에 선이 있으므로 0.363636.... 이렇게 3과 6이 계속 반복됩니다 이전 강의에서 했던 것과 마찬가지로 순환소수를 x라고 둡시다 하지만 이전처럼 10을 곱하면 안됩니다 소수점을 옆으로 한 칸 더 옮겨야 하기 때문이죠 수를 나열했을 때 소수점 아래가 반복되도록 만들어야 하므로 소수점을 오른쪽으로 두 칸 옮겨야 합니다 그러므로 10의 제곱인 100을 곱해야 합니다 100x는 어떻게 될까요? 100x는 소수점이 두 칸 이동하므로 36.363636...이 됩니다 36이 계속 반복되죠 x를 밑에 다시 적고 100x에서 x를 빼 봅시다 x는 0.363636...이죠 100을 곱했기 때문에 소수점 아래 반복되는 수는 여전히 36입니다 소수를 나열할 때는 소수점 자리를 맞춰주어야 합니다 그래야 100x에서 x를 뺐을 때 반복되는 부분이 사라지기 때문입니다 계산해 볼까요? 좌변을 계산하면 100x - x = 99x이고 우변을 계산하면 소수점 아래가 서로 소거되어 36만 남게 됩니다 그리고 양변을 99로 나누면 x = 36/99가 됩니다 분모와 분자 모두 9로 약분되므로 분자를 9로 나누면 4가 남고 분모를 9로 나누면 11이 남습니다 따라서 0.363636...은 4/11입니다 한 문제 더 풀어 봅시다 어떤 수로 해 볼까요? 0.714로 해 봅시다 순환소수 0.714의 순환마디는 14입니다 아까와 같이 계산해 봅시다 0.714에서 14만 반복되는 것에 유의하세요 그러면 0.7141414...가 되겠죠 이를 x라고 합시다 여기에 1000을 곱해서 소수점을 세 칸 이동하면 소수점 아래에는 순환마디만 남겠죠 하지만 반복되는 부분만 같아지도록 소수점을 이동해서 뺄셈을 했을 때 반복되는 부분을 없앨 수도 있습니다 이 수는 소수점 아래 3개의 수가 있지만 반복되는 수는 두 개이므로 10의 제곱을 곱해 봅시다 100을 곱하면 소수점이 오른쪽으로 두 칸 이동하죠 따라서 100x는 71.414141...이 됩니다 x를 아래에 다시 써보면 x는 0.17141414... 이제 소수점 아래에 141414...만 있죠 뺼셈을 하면 이 부분이 사라질 것입니다 계산하면 좌변은 100x - x = 99x이고 우변의 소수점 아래 부분은 서로 소거되어서 71.4 - 0.7만 남습니다 계산해 볼까요? 일의 자리에서 0.1이 10개를 빌려오면 14 - 7 = 7이고 70 - 0 = 70입니다 따라서 99x는 70.7입니다 양변을 99로 나눠 봅시다 아직 소수점이 남아 있지만 마지막엔 사라질 거예요 양변을 99로 나누어보면 x는 70.7/99입니다 분자에 소수점이 있는 분수는 생소할 수 있지만 분모와 분자에 각각 10을 곱하면 분자에 있는 소수점을 쉽게 없앨 수 있어요 분자와 분모에 10을 곱하면 707/990이 됩니다 한 문제 더 풀어 봅시다 이번에는 순환소수 3.257이 있습니다 순환마디가 257인 순환소수를 분수로 바꿔 봅시다 이 순환소수를 x라고 할게요 이 순환소수는 3.257257...이죠 257만 계속 반복됩니다 수가 세 개 반복되므로 1000을 곱해야 되겠죠 10의 세제곱을 곱하면 소수점이 오른쪽으로 세 칸 이동하여 반복되는 257이 소거될 수 있습니다 따라서 1000x는 소수점이 오른쪽으로 세 칸 이동하므로 3257.257257257... 257이 계속 반복됩니다 밑에 x를 다시 써 볼게요 나열할 때는 소수점 자리를 맞추어서 써야 합니다 x = 3.257257257... 1000을 곱하면 소수점 아래는 257이 반복됩니다 그러므로 뺄셈을 하면 반복되는 부분이 소거되죠 계산하면 좌변은 1000x - 1x = 999x가 됩니다 우변은 소수점 아래 반복되는 부분이 소거되어 3257 - 3이 남습니다 계산하면 7 - 3 = 4이고 나머지 자릿수는 325에요 따라서 999x = 3254가 됩니다 양변을 999로 나누면 x = 3254/999가 됩니다 3254/999는 분자가 분모보다 크므로 가분수입니다 이를 진분수로 바꾸려면 257이 반복되는 부분을 분수로 생각하고 3을 대분수의 정수 부분으로 생각하면 됩니다 아니면 그냥 3254를 999로 나눌 수도 있어요 한번 나눠 봅시다 999가 3254에 3번 들어가고 나머지는 어떻게 될까요? 한번 풀어봅시다 3254 안에는 999가 3번 들어갑니다 3257이 원래는 3.257이었으므로 쉽게 알 수 있죠 계속 계산하면 3 × 9 =27 2가 올라가고 3 × 9 = 27에 2를 더하면 29가 되고, 2가 올라갑니다 마찬가지로 3 × 9 = 27 여기에 2를 더하면 29입니다 뺄셈을 하기 위해 위의 자리 수에서 10을 빌려옵니다 여기는 14가 되고 여기는 4가 됩니다 4는 9보다 작으므로 위의 자리 수에서 빌려오면 여기는 14가 되고 여기는 1이 됩니다 이번에는 1이 9보다 작으므로 위의 자리 수에서 빌려오면 1은 11이 되고 3은 2가 됩니다 14 - 7 = 7 14 - 9 = 5 11 - 9 = 2 따라서 나머지는 257입니다 그러므로 x는 3과 257/999입니다 끝났습니다