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코스: 중등 1학년 > 단원 5

단원 4: [20-23차시] 입체도형의 부피

부피 공식 복습

각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구의 부피 공식을 복습해 봅시다.

부피 공식이 매우 많은 것 처럼 보이지만 사실 부피 공식은 다 비슷합니다.

각기둥과 각기둥처럼 생긴 도형

{부피}_{각기둥} = (밑면의 넓이) \cdot (높이)

각기둥의 높이는 각기둥의 밑변에 수직해야 합니다. 이것은 각기둥이 누워 있을 때나, 기울어져 있을 때도 성립해야 합니다.

직사각기둥

직사각기둥의 부피에 대해 알아봅시다. 정육면체를 가지고 이 각기둥을 만든다고 생각해봅시다.

직사각기둥의 높이만 밑면에 수직하도록 측정한다면, 어떤 면이든 밑면이 될 수 있습니다.

\begin{aligned} {부피}_{직사각기둥} & = ({넓이}_{직사각기둥}) \cdot (높이) \\ = ((직사각형의 밑변) (직사각형의 높이)) \cdot (각기둥의 높이) \\ = l w h \end{aligned}

삼각기둥

삼각기둥은 밑면이 삼각형입니다.

\begin{aligned} {부피}_{삼각기둥} & = ({넓이}_{삼각형}) \cdot (높이) \\ = (\frac{1}{2} (삼각형의 밑변) (삼각형의 높이)) \cdot (각기둥의 높이) \\ = \frac{1}{2} b h ℓ \end{aligned}

원기둥

원기둥은 밑면이 원인 기둥입니다.

\begin{aligned} {부피}_{원기둥} & = ({넓이}_{원}) \cdot (높이) \\ = (π \cdot (반지름)^{2}) \cdot (높이) \\ = π r^{2} h \end{aligned}

기울어진 각기둥

기울어진 각기둥에서 밑면은 평행한 면입니다.

카벨리에의 정리에 의해 부피를 같은 방법으로 정확히 계산할 수 있습니다.

기울어진 각기둥의 부피를 나타낸 식은 무엇인가요?

각뿔과 각뿔처럼 생긴 입체도형

{부피}_{각뿔} = \frac{1}{3} (밑변의 넓이) \cdot (높이)

각뿔의 높이는 밑면에 수직하게 측정합니다. 카빌리에 법칙에 의해 기울어진 각뿔에 같은 부피 공식을 적용할 수 있습니다.

밑면이 직사각형인 각뿔

직사각뿔의 밑면은 직사각형입니다.

\begin{aligned} {부피}_{밑면이 직사각형인 각뿔} & = \frac{1}{3} ({넓이}_{직사각형}) \cdot (높이) \\ = \frac{1}{3} ((직사각형의 밑변) (직사각형의 높이)) \cdot (각뿔의 높이) \\ = \frac{1}{3} l w h \end{aligned}

원뿔

A 원뿔은 밑면이 원인 뿔입니다.

\begin{aligned} {부피}_{원뿔} & = \frac{1}{3} ({넓이}_{원}) \cdot (높이) \\ = \frac{1}{3} (π \cdot (반지름)^{2}) \cdot (높이) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h \end{aligned}

구

{부피}_{구} = \frac{4}{3} π (반지름)^{3}

잘 물어보셨습니다! 반지름이

r

인 구가 있습니다. 구의 세로 지름에 수직으로 잘라서 단면을 봅시다.

피타고라스 정리에 의해서. 중심으로부터

y

떨어진 구의 단면의 반지름

x

는 다음과 같습니다:

x = \sqrt{r^{2} - y^{2}}

따라서 구의 단면의 높이는 다음과 같습니다:

\begin{aligned} {넓이}_{원의 단면} & = π \cdot x^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

모든 높이에서 같은 단면의 넓이가 있는 다른 도형이 있습니다: 직각, 원기둥의 반지름

r

, 높이가

2 r

인 원뿔 두 개를 제거하였습니다. 각각의 원뿔의 반지름은

r

, 높이는

r

입니다.

어떤 높이에서든 원기둥의 반지름은

r

입니다. 비슷하게 꼭지점에서

y

만큼 떨어진 원뿔의 단면의 반지름은

y

입니다.

따라서 도형의 높이는 다음과 같습니다:

\begin{aligned} {넓이}_{반지 모양의 단면} & = π \cdot r^{2} - π \cdot y^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

카빌리에의 법칙에 의해 도형이 중심에서

y

만크 떨어진 부분의 단면은 같습니다. 또한 같은 부피를 갖습니다.

\begin{aligned} {부피}_{만들어진 도형} \\ = {부피}_{원기둥} - 2 \cdot {부피}_{원뿔} \\ = [π \cdot (반지름)^{2} \cdot (원기둥의 높이)] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot (반지름)^{2} \cdot (원뿔의 높이)] \\ = [π \cdot r^{2} \cdot 2 r] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot r] \\ = 2 π r^{3} - \frac{2}{3} π r^{3} \\ = \frac{4}{3} π r^{3} \end{aligned}

만들어진 도형의 부피는

\frac{4}{3} π r^{3}

입니다. 따라서 카빌리에의 법칙에 의해 구의 부피도

\frac{4}{3} π r^{3}

입니다.

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s221402
일 년 전 에 포스트 됨. s221402' 의 포스트“holle, my name is hyn do ...”로 바로가기
holle, my name is hyn do si
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Jena
3년 전 에 포스트 됨. Jena' 의 포스트“an equilateral triangle w...”로 바로가기
an equilateral triangle with a perimeter of 24 cm is rotated at the axis of symmetry. find the volume of the cone that is formed. round your answer to the nearest hundredth of a cubic centimeter?
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- 혜림 권
  일 년 전 에 포스트 됨. Direct link to 혜림 권' 의 포스트 “예. 그렇습니다. ^^” 로 바로가기
  예. 그렇습니다.
  ^^
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