다각형의 내각의 합

우리는 삼각형의 내각의 합이 180도 라는 것은 이미 알고 있습니다 이 각의 크기를 a 이 각의 크기를 b 이 각의 크기를 c 라고 하면, a+b+c= 180 이 되는데요 변이 세 개 이상인 다각형의 내각의 합은 어떨까요? 변이 네 개인 사각형의 경우나 아마 네 개의 변만 있다면 적용할 수 있습니다 직각이 아니고 평행인 변이 없고 그 밖의 특별한 조건이 없는 그냥 사각형을 보죠 이 선분은 평행선처럼 보이네요 다시 그립시다 네 변의 직사각형에서 우리는 이미 삼각형의 내각의 합이 180도 인 것을 알고 있으니까 두 개의 삼각형으로 나누어서 생각할 수 있습니다 여기 점을 연결해서 선을 그어보면 이 각의 크기를 a, 이 각의 크기는 b 이 각의 크기는 c a+b+c=180 이고 이 각은 x, 이 각은 y, 이 각은 z 이 각들의 크기도 x+y+c=180 입니다 그러므로, 모든 내각의 합의 크기를 구하려면 모든 내각을 이렇게 더하면 a+x가 될 텐데 a+x 는 사각형의 한 각 전체이고 c+y 도 사각형의 한 각 전체가 되고 a+b+c=180 이니까 z+x+y=180 이므로 그러므로, 180을 더하면 360도가 됩니다 일반적인 개념을 생각해보죠 다각형이 몇 개의 삼각형으로 나누어지는가를 생각해 보고 각각의 삼각형은 180도이기 때문에 삼각형의 개수에 180를 곱하면 됩니다 그러면 다각형의 내각의 합을 알 수 있습니다 불규칙한 오각형을 그려볼게요 1,2,3,4,5 집모양처럼 보입니다 오각형의 안쪽에 삼각형을 그립니다 삼각형이 하나 삼각형이 또 하나, 겹쳐지지 않는 삼각형들입니다 오각형을 꽉 채웁니다 삼각형 하나, 또 다른 삼각형, 나머지 하나 각각은 180도 입니다 이 각들의 모든 합을 구하면 이 모든 내각들의 합은 오각형의 내각의 합이 됩니다 이 내각은 오각형의 내각 중에 하나입니다 이 각도 또한 오각형의 내각 중에 하나이지요 이것과 이것의 합을 구했을 때 한 각 전체가 만들어집니다 이것과 이것과 이것의 합을 구하면 역시 한 각 전체가 만들어집니다 모든 삼각형의 내각의 합을 구하면 오각형의 모든 내각의 합이 되는 겁니다 1,2,3 삼각형의 경우 3 곱하기 180이 얼마인가요? 300+240=540도 이니까 일반화해 봅시다 네 변일 경우 계산해 보았는데 네 변을 가지고 있는 사각형 다섯 변을 가지고 있는 오각형 1,2,3,4 변이 네 개면 삼각형이 두 개 만들어집니다 변의 개수가 늘어날 때마다 삼각형이 하나씩 늘어납니다 1,2,3,4,5,6개의 변 이 두 변에서 한 개의 삼각형이 새로 생기게 됩니다 육각형의 1,2 변 육각형의 여기 두 변으로 삼각형이 또 만들어집니다 남아있는 변에서 삼각형이 한 개씩 만들어집니다 한 변에서 삼각형 한 개 여기 또 한 변에서 삼각형 한 개가 만들어지죠 일반적으로 s개의 변을 가지는 다각형과 이미 살펴본 것처럼 네변, 다섯변, 여섯변 처럼 네 변이상의 S를 다뤄봅시다 겹쳐지지 않는 삼각형이 몇 개가 생길까요? 다각형을 완벽하게 채울 수 있는 몇 개의 삼각형으로 나눌 수 있을까요? 삼각형의 개수 곱하기 180도를 하면 다각형의 내각의 합을 구할 수 있습니다 변의 개수의 함수를 생각합니다 변이 4개이면 삼각형이 2개 여기 두개의 변이 있고 여기에도 두 개의 변이 있습니다 두 개의 변으로 한 개씩의 삼각형을 그리고 다각형의 남은 변에서 어떤 일이 일어날까요? 이 검은 종이에 생각을 표현해 봅시다 여기에 다른 변들이 있을 겁니다 두 변으로 이렇게 삼각형 한개를 그리고 여기 두변으로도 삼각형을 한 개 더 그립니다 두 삼각형을 그리는데에 4개의 변을 사용했습니다 남아있는 변의 개수가 몇 개인지 상관없이 대충 이렇게 그려보죠 아니 이것보다 좀 더 정돈되게 그려보죠 대충 그렸을 때 변의 길이가 증가하는 것처럼 보이면 됩니다 여기에 삼각형이 하나 이 변에서 삼각형이 또 하나 이 변에서도 삼각형이 또 하나 만들어집니다 예를 들어서 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 맞죠? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 10각형입니다 10각형의 경우, 삼각형 2개를 만드는 데에 변 4개를 사용했고 남아있는 변 6개로 삼각형을 6개 만들 수 있습니다 변의 개수가 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 개수가 잘 세어지지 않으므로 여기에 선을 더 그려보죠 두 개를 그립니다 삼각형이 더 그려집니다 다 됐습니다 4개의 변으로 삼각형 2개를 만들고 남아있는 6개의 변으로 각각 한 개씩의 삼각형을 만들어서 6개 삼각형을 더하면 8개의 삼각형이 만들어집니다 일반적으로 적어 봅시다 삼각형의 개수는 2 더하기 남아있는 변의 개수가 됩니다 (남아있는 변에서 삼각형이 각각 한 개씩) 남아있는 변의 개수는 (s - 4) 이므로 삼각형의 개수는 2+(s-4) 가 됩니다 s개의 변을 가지는 다각형이라면 s-2 개의 삼각형이 만들어집니다 다각형을 완벽하게 덮을 수 있는 삼각형의 개수입니다 s 개의 변을 가지는 다각형에서 s-2 개의 삼각형이 만들어진다는 것은 어떤 의미일까요? 내각의 합의 공식이 (s-2) 곱하기 180 이 결론입니다 102 각형이 있습니다 s 가 102 입니다 내각의 합은 (102-2) 곱하기 180 이렇게 계산합니다